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三角恒等变换复习课件


第三章 小结与复习

1.理解三角函数中的4个“三”:
(1)从知识层面看:三角函数公式系统的三条主线 ——同角关系式、诱导公式、变换公式(和、差、倍角). (2)从问题层面看:三角变换三大问题 ——求值、化简、证明.

(3)从方法层面看:“三个统一”——解决三角函数问 题时要从“统一角度、统一函数名、统一运算结构”方 面思考

,这也是审题、解题的算法基础.
(4)从算法层面看:使用公式的三重境界 ——顺用、逆用、变用.

2.理解三角恒等变换与代数变换的区别. 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换. 对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有 结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角, 以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三 角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之 间的联系,这是三角式恒等变换的重要特点. 3.归纳并掌握三角恒等变换在研究相关函数性质时 的方法流程. 4.由于向量与三角函数之间天然的联系,注意收集 并积累向量与三角函数交汇的问题.

基础知识:
1、同角三角函数的基本关系式:

(1) 平方关系:sin

2

? ? cos ? ? 1
2

(2) 商数关系:sin ? ? tan ?

cos?

2. 诱导公式总结概括为:

“奇变偶不变 ,符号看象限 ”

3、两角和与差的三角函数公式:

sin( ? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin? tan? ? tan ? . tan(? ? ? ) ? 1 ? tan? tan ?
4、二倍角公式:

sin2? ? 2 sin ? cos ? 2 2 2 2 cos2? ? cos ? ? sin ? ? 2 cos ? ? 1 ? 1? 2 sin ? tan2? ? 2 tan? 1 ? tan2 ?

5、辅助角公式
a sin x ? b cos x a b 2 2 sin x ? cos x ) ? a ?b ( 2 a ? b2 a 2 ? b2 2 2 ? a ? b (cos? sinx ? sin? cos x )
? a 2 ? b2 sin(x ? ? ) .
b a

b 其中? 由 sin? ? , ?? cos , ? ? 共同确定 tan . 2 2 2 2 a a ?b a ?b

a sinx ? b cos x ? a ? b sin(x ? ? )
2 2

5、辅助角公式
a sin x ? b cos x a b 2 2 sin x ? cos x ) ? a ?b ( 2 2 2 2 a ?b a ?b
? a 2 ? b2 (sin? sinx ? cos? cos x ) ? a 2 ? b2 cos(x ? ? ) .
a b

a 其中? 由 sin? ? , ?? cos , ? ? 共同确定 tan . b a 2 ? b2 a 2 ? b2

a sinx ? b cos x ? a ? b cos(x ? ? )
2 2

sin 例1 在 ?ABC 中, A ? cos A ?

求 tan A 的值和?ABC 的面积 .

2 , AC ? 2 , AB ? 3 , 2
2, 2

解: ? sin A ? cos A ? 2 , ?
2

2 cos( A ? 45? ) ?

即 cos(A ? 45?) ? 1 , 2

又 0? ? A ? 180? ,

? A ? 45? ? 60? , A ? 105? , 1? ? tan A ? tan( ??? 60?) ? tan45? ? tan60? ? ?2 ? 3 3 tan 105 45 1 ? tan45? tan60? 1 ? 3
sin A ? sin 105 ? ? sin( ? ? 60?) 45

? S?ABC

2? 6 4 1 AC ? AB ? sinA ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 6 ? 3( 2 ? 6 ) . ? 2 4 4 2
? sin 45? cos 60? ? cos 45? sin 60? ?

已知在锐角 ABC 中, A ? B) ? 3 , sin(A ? B) ? 1 . ? sin( 例2 5 5 ()求证: A ? 2 tanB ; 1 tan
()设 AB ? 3,求 AB边上的高 2 .

(1) 证明: ? sin(A ? B) ? 3 , sin(A ? B) ? 1 , 5 5
?sin A cos B ? cos A sinB ? ? ? ? ?sin A cos B ? cos A sinB ? ? 3 5 1 5 ?si n A cos B ? ? ? ? ?cos A si nB ? ? 2 5 1 5

? tan A ? 2 , ? tan A ? 2 tan B . tan B

, (2) 解:? ?ABC 为锐角三角形 ? ? ? A ? B ? ? , 2 又 sin(A ? B) ? 3 , ? cos(A ? B) ? ? 4 , 5 5

? tan(A ? B) ? ? 3 , 即 tan A ? tanB ? ? 3 1 ? tan A tanB 4 4
将 tan A ? 2 tanB 代入上式得 2 tan2 B ? 4 tanB ? 1 ? 0 , ,
解得 tan B ? 2 ? 6 ? tan A ? 2 ? 6 . 2
C

设AB边上的高为CD(如图),
? CD ? CD ? 3CD , 则 AB =AD + DB tan A tan B 2 ? 6
A D

B

又 AB ? 3 , CD ? 2 ? 6 , 即为AB边上的高. ?

例3 已知 A、B、C是△ABC三内角,向量

m ? (?1 , 3 ) , n ? (cos A , sinA) , m ? n ? 1 . () 2 若 12? sin2B ? ?3 , 求 tanC . () 1 求角 A; 2 cos B ? sin B 解:(1) ? m ? n ? 1 ,
? (?1 , 3 ) ? (cos A , sinA) ? 1 , 3 sin A ? 1 cos A) ? 1 , 即 3 sinA ? cos A ? 1 , 2( 2 2 ? sin(A ? ? ) ? 1 . 6 2 ? 0 ? A ? ? , ? ? ? A ? ? ? 5? , 6 6 6 ? A? ? ? ? , 即 A ? ? . 6 6 3

()由 2

1 ? sin2B ? ?3 , cos2 B ? sin2 B

得 sin2 B ? sinB cos B ? 2 cos2 B ? 0
? cos B ? 0 , ? tan2 B ? tanB ? 2 ? 0 ,

? tanB ? 2 或 ? 1 .
cos2 B ? sin2 B ? 0 (不合题意) 当 tan B ? ? 1 时,
? tan B ? 2 , ? tanC ? tan[ ? ( A ? B)] ? ? tan(A ? B) ?
tan A ? tan B ? ? 2 ? 3 ? 8 ? 5 3 . ?? 11 1 ? tan A tan B 1? 2 3

法 2:
()由 2 1 ? sin2B ? ?3 , cos2 B ? sin2 B

(cosB ? sinB )2 得 ? ?3 , 即 cos B ? sinB ? ?3 , cos B ? sinB cos2 B ? sin2 B
? cos B ? 0 , ? tan B ? 2 , ? tanC ? tan[ ? ( A ? B)] ? ? tan(A ? B) ?
tan A ? tan B ? ? 2 ? 3 ? 8 ? 5 3 . ?? 11 1 ? tan A tan B 1? 2 3

? 1 ? tan B ? ?3 , 1 ? tan B

? 例4 已知 cos? ? 1 , cos( ? ? ) ? 13 , 且0 ? ? ? ? ? ? , 7 14 2 ()求 tan2? 的值; ( )求 ? . 1 2
解: 1 ? cos? ? 1 , 0 ? ? ? ? , () 7 2
1 ? 4 3, ? sin? ? 1 ? cos ? ? 1 ? 2 7 7 tan? ? sin? ? 4 3 , cos? 2 tan? ? 2 ? 4 3 ? ? 8 3 . ? tan2? ? 47 1 ? tan2 ? 1 ? (4 3 )2
2

? 例4 已知 cos? ? 1 , cos( ? ? ) ? 13 , 且0 ? ? ? ? ? ? , 7 14 2 ()求 tan2? 的值; ( )求 ? . 1 2
解: 2 ? cos? ? cos[ ? (? ? ? )] () ? ? cos? cos( ? ? ) ? sin? sin( ? ? ) ? ? 且0? ? ?? ? ? , ? 0?? ?? ? ? , 2 2
? sin(? ? ? ) ? 1 ? cos 2 (? ? ? ) ? 1 ? ( 13 ) 2 ? 3 3 , 14 14 ? cos ? ? cos? cos( ? ? ) ? sin? sin( ? ? ) ? ?
? 1 ? 13 ? 4 3 ? 3 3 ? 1 , 7 14 7 14 2

? ? ?? . 3

? ? cos( ? ) ? ? 1 , sin ( ? ? ) ? 2 , 且 ? ? ? ? ? , ? 例5 设 2 9 2 3 2
0 ? ? ? ? , 求 cos( ? ? ) 的 值 . ? 2 ? ? ? ? ) ? ? ? ? , cos( ? ? ) ? 2 cos2 ? ? ? ? 1 . ? 分析: (? ? 2 ) ? ( 2 2 2

解: ? ? ? ? ? ? , 0 ? ? ? ? ,

2 2 ? ? ? ?? ? ?? , ?? ? ? ?? ? ? , 4 2 4 2 2 ? ? 4 5, ? sin( ? ) ? 1 ? cos2 (? ? ) ? ? 9 2 2 5 , cos( ? ? ? ) ? 1 ? sin 2 ( ? ? ? ) ?
2 2
3

27 9 3 9 3 2 2 ? 2? ?? ? ? ? 239 . ? ? ? ) sin( ? ? ) ? ? ? cos( ? ? )? cos( ? ) cos( ? ? ) ? sin( ? ? 2 cos ?1 729 22 2 2 2

? cos

???
2

? cos[( ? ?

?

? ? ? )]? ? 1 ? 5 ? 4 5 ? 2 ? 7 5 . )?(

f ( x ) ? 1 ? cos x ? sinx ? 1 ? cos x ? sinx 例6 已知: 1 ? sinx ? cos x 1 ? sinx ? cos x 且 x ? 2k? ? ? , k ? Z , 且 x ? k? ? ? , k ? Z . 2 (1) 化简 f ( x ) ; 1 ? tan 2 x 2 ? ( 2) 是否存在 x , 使得 tan x ? f ( x ) ? 2 sin x 若存在求出 的值;若不存在 x ,说明理由 . cos x 2 cos2 x ? 2 sin x cos x 2, 2 2 2?? 解: 1 ? 1 ? cos x ? sinx ? () 1 ? sinx ? cos x 2 sin2 x ? 2 sin x cos x sin x 2 2 2 2 sin x 2, 1? 同样可得: cos x ? sinx ? ? 1 ? sinx ? cos x cos x 2

cos x sin x cos2 x ? sin 2 x 2? 2?? 2 2 ?? 2 , ? f ( x) ? ? sin x sin x cos x sin x cos x 2 2 2 2 ( x ? 2k? ? ? , k ? Z , 且 x ? k? ? ? , k ? Z ) 2 1 ? tan 2 x 2, ( 2) 若 tan x ? f ( x ) ? 2 sin x 1 ? tan 2 x 2 tan x 2 ,即 2 ? ?1 , 则 tan x ? ( ? 2 ) ? 2 sin x sin x 1 ? tan2 x 2 ? sin x ? ?1,

此时 x ? 2k? ? 3? , k ? Z , 即为存在的值. 2

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