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三角形五心的位置


复习三角形五心的位置 (1)内心:三角形的三条角平分线的交点(即内切圆圆心). (2)外心:三角形三边垂直平分线的交点(即外接圆圆心). (3)重心:三角形三条中线的交点. (4)垂心:三角形三条高线的交点. (5)旁心:三角形的一条内角平分线与不相邻的两条外角平分线的交点(即三角形旁切圆圆 心). 相关结论 (1)三角形的内心到三角形三边距离相等. (2)三角形的外心到三角形三个顶点距离相等. (3)三角形的重心把每条中线均分成 2:1 两部分. (4)直角三角形的内切圆半径 r= 1/2 (a+b-c);外接圆半径 R= c/2 (5)三角形面积公式:S= 1/2 * 周长 * r 三角形外心的性质
设⊿ABC 的外接圆为☉G(R),角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,p=(a+b+c)/2. 边的垂直平分线的交于一点,该点即为三角形外接圆的圆心. ∠BGC=2∠A,或∠BGC=2(180°-∠A). 4、R=abc/4S⊿ABC. 三角形的外心在三角形外;直角三角形的外心在斜边上,与斜边中点重合. 1、三角形三条 3、 2、锐角三角形的外心在三角形内;钝角 3、GA=GB=GC=R. 5、点 G 是平面 ABC 上一点,那么点 G 是⊿

ABC 外心的充要条件是: (向量 GA+向量 GB)· 向量 AB= (向量 GB+向量 GC)· 向量 BC=(向量 GC+向量 GA)· 向 量 CA=向量 0. 6、点 G 是平面 ABC 上一点,点 P 是平面 ABC 上任意一点,那么点 G 是⊿ABC 外心的充要条 件是:向量 PG=((tanB+tanC)向量 PA+(tanC+tanA)向量 PB+(tanA+tanB)向量 PC)/2(tanA+tanB+tanC). 7、点 G 是平面 ABC 上一点,点 P 是平面 ABC 上任意一点,那么点 G 是⊿ABC 外心的充要条件是: 量 PG=(cosA/2sinBsinC)向量 PA+(cosB/2sinCsinA)向量 PB+(cosC/2sinAsinB)向量 PC. 心坐标:( (c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c,(c1+c2)/2c )。 三角形重心的性质 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2:1。 三角形面积相等。 三角形垂心的性质 2、重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个 9、外心到三顶点的距离相等。 d3 分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。 c1=d2d3, c2=d1d3, c3=d1d2; c=c1+c2+c3。 向 重 8、 d1, 设 d2,

设⊿ABC 的三条高为 AD、BE、CF,其中 D、E、F 为垂足,垂心为 H,角 A、B、C 的对边 分别为 a、b、c,p=(a+b+c)/2. 1、锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂 心在直角顶点上; 钝角三角形的垂心在三角形外. 2、三角形的垂心是它垂足三角形的内 心;或者说,三角形的内心是它旁心三角形的垂心; 3、 垂心 H 关于三边的对称点, 均在△ABC 的外接圆上。 4、 △ABC 中,有六组四点共圆,有三组(每组四个)相似的直 角三角形,且 AH·HD=BH·HE=CH·HF。 5、 H、A、B、C 四点中任一点是其余三点为顶 点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。 6、 △ABC,△ABH, △BCH, △ACH 的外接圆是等圆。 7、 在非直角三角形中,过 H 的直线交 AB、AC 所在直线分别于 P、 Q,则 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。 8、 三角形任一顶点到垂心的距 离, 等于外心到对边的距离的 2 倍。 9、 设 O, 分别为△ABC 的外心和垂心, H 则∠BAO= ∠HAC,∠ABH=∠OBC,∠BCO=∠HCA。 10、 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等 于其内切圆与外接圆半径之和的 2 倍。 11、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心; 锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中, 以垂足三角形的周长最短。 12、 西姆松(Simson)定理(西姆松线) 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要 条件是该点落在三角形的外接圆上。


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