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高中数学《1.3.1二项式定理》教案3 新人教A版选修2-3


高中新课程数学(新课标人教 A 版)选修 2-3《1.3.1 二项式 定理》教案 3
例 3.求 ( x ? a)12 的展开式中的倒数第 4 项
王新敞
奎屯 新疆

解: ( x ? a)12 的展开式中共 13 项,它的倒数第 4 项是第 10 项,
9 3 T9?1 ? C12 x12?9a9 ? C12 x3a9 ? 220x3a9 .

例 4.求(1) (2a ? 3b)6 , (2) (3b ? 2a)6 的展开式中的第 3 项.
2 解: (1) T2?1 ? C6 (2a)4 (3b)2 ? 2160a4b2 , 2 (2) T2?1 ? C6 (3b)4 (2a)2 ? 4860b4 a2 .

点评: (2a ? 3b)6 , (3b ? 2a)6 的展开后结果相同,但展开式中的第 r 项不相同 例 5. (1)求 ( ?

王新敞
奎屯

新疆

x 3

3 9 ) 的展开式常数项; x

(2)求 ( ?

x 3

3 9 ) 的展开式的中间两项 x
r 9

王新敞
奎屯

新疆

3 9? r x 9? r 3 r r 2 r ?9 解:∵ Tr ?1 ? C ( ) ( ) ? C9 ? 3 x 2 , 3 x

∴(1)当 9 ? (2) ( ?

3 6 r ? 0, r ? 6 时展开式是常数项,即常数项为 T7 ? C9 ? 33 ? 2268 ; 2

x 3

3 9 ) 的展开式共 10 项,它的中间两项分别是第 5 项、第 6 项, x
15 9? 42 5 , T6 ? C9 ? 310?9 x 2 ? 378 x3 x3

T5 ? C94 ? 38?9 x9?12 ?

王新敞
奎屯

新疆

第三课时 例 6. (1)求 (1 ? 2 x) 的展开式的第 4 项的系数;
7
3 (2)求 ( x ? ) 的展开式中 x 的系数及二项式系数
9

1 x

王新敞
奎屯

新疆

3 解: (1 ? 2 x) 的展开式的第四项是 T3?1 ? C7 (2x)3 ? 280x3 ,
7

∴ (1 ? 2 x) 的展开式的第四项的系数是 280 .
7

1

(2)∵ ( x ? ) 的展开式的通项是 Tr ?1 ? C9 x
r

1 9 x ∴ 9 ? 2r ? 3 , r ? 3 ,
3

9? r

1 (? ) r ? (?1) r C9r x 9? 2 r , x

3 3 ∴ x 的系数 (?1)3 C9 ? ?84 , x 的二项式系数 C9 ? 84 .
3

例 7.求 ( x 2 ? 3x ? 4) 4 的展开式中 x 的系数

王新敞
奎屯

新疆

分析:要把上式展开,必须先把三项中的某两项结合起来,看成一项,才可以用二项式 定理展开,然后再用一次二项式定理, ,也可以先把三项式分解成两个二项式的积,再用二 项式定理展开
王新敞
奎屯 新疆

解: (法一) ( x 2 ? 3x ? 4) 4 ? [(x 2 ? 3x) ? 4]4
0 1 2 3 4 ? C4 ( x2 ? 3x)4 ? C4 ( x2 ? 3x)3 ? 4 ?C4 ( x2 ? 3x)2 ? 42 ?C4 ( x2 ? 3x) ? 43 ? C4 ? 44 ,

显然,上式中只有第四项中含 x 的项,
3 ∴展开式中含 x 的项的系数是 ? C4 ? 3 ? 43 ? ?768

(法二) ( x 2 ? 3x ? 4) 4 ? [(x ? 1)(x ? 4)]4 ? ( x ? 1) 4 ( x ? 4) 4 :
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 ? (C4 x 4 ? C4 x 3 ? C4 x 2 ? C4 x ? C4 ) (C4 x4 ? C4 x3 ? 4 ? C4 x2 ? 42 ? C4 x ? 43 ? C4 ? 44 ) 3 3 ∴展开式中含 x 的项的系数是 ? C 4 4 4 ? C4 4 3 ? ?768 .

例 8.已知 f ( x) ? ?1 ? 2x? ? ?1 ? 4x?
m

n

(m, n ? N * ) 的展开式中含 x 项的系数为 36 ,

求展开式中含 x 项的系数最小值
2

2

王新敞
奎屯

新疆

分析:展开式中含 x 项的系数是关于 m, n 的关系式,由展开式中含 x 项的系数为 36 , 可得 2m ? 4n ? 36 ,从而转化为关于 m 或 n 的二次函数求解 解: ?1 ? 2 x ? ? ?1 ? 4 x ? 展开式中含 x 的项为
m n
王新敞
奎屯 新疆

1 1 1 1 Cm ? 2x ? Cn ? 4x ? (2Cm ? 4Cn ) x 1 1 ∴ (2Cm ? 4Cn ) ? 36 ,即 m ? 2n ? 18 ,

?1 ? 2 x ?

m

? ?1 ? 4 x ? 展开式中含 x 2 的项的系数为
n

2 2 t ? Cm 22 ? Cn 42 ? 2m2 ? 2m ? 8n2 ? 8n ,

∵ m ? 2n ? 18 , ∴ m ? 18 ? 2n ,
2 2 ∴ t ? 2(18 ? 2n) ? 2(18 ? 2n) ? 8n ? 8n ? 16n ? 148n ? 612
2

2

? 16(n 2 ?

37 153 37 * n? ) ,∴当 n ? 时, t 取最小值,但 n ? N , 4 4 8

2 ∴ n ? 5 时, t 即 x 项的系数最小,最小值为 272 ,此时 n ? 5, m ? 8

3


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