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济南市历城区统考2009-2010学年高二下学期期中考试数学(文)试题


济南市历城区统考 2009-2010 学年高二下学期期中考试数学(文)试题
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填 在题后的括号内(每小题 5 分,共 60 分) 。 1.满足条件 ?0,1 ? A ? ?0,1 的所有集合 A 的个数是 ? ? A.1个 B. 2个 C. 3个 D.4个 2.否定结论“至多有两个解“的说法

中,正确的是 A.有一个解 B. 有两个解 C.至少有三个解 D.至少有两个解

?2 x ? x 2 (0 ? x ? 3) ? 3.函数 f ( x) ? ? 2 的值域是 ? x ? 6 x(?2 ? x ? 0) ?
A. R B. [?9, ??) C. [?8,1] D. [?9,1]

4.已知 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y), 且 f (1) ? 2 ,则 f (1) ? f (2) ? ?? ? f (n) 不能等于 A. f (1) ? 2 f (1) ? 3 f (1) ? ?? ? nf (1) C. n(n ? 1) 5. 设两个相互独立的事件 A, B 都不发生的概率为 生的概率,则事件 A 发生的概率 P ( A) 是 A. B. f [

n(n ? 1) ] 2

D. n(n ? 1) f (1)

1 , A 发生 B 不发生的概率等于 B 发生 A 不发 9 1 3
D.

2 9

B.

1 18

C.

2 3

6.下列命题正确的是 A.若 x ? C , 则 则a?i ? b?i

x2 ? 0

B.若 x1 , x2 ? C ,且 x1 ? x2 ? 0 ,则 x1 ? x2 C.a ? b

D.虚数的共轭复数一定是虚数

7.变量 x 与 y 具有线性相关关系,当 x 取值16,14,12,8时,通过观测得到 y 的值分别为11,9, 8,5.若在实际问题中, y 的最大取值是10,则 x 的最大取值不能超过 A.16 B.17 C.15 D.12 8.函数 f(x)=loga x ? 1 ,在(-1,0)上有 f(x)>0,那么 A. f ( x ) 在 ( ??, 0) 上是增函数 C. f ( x ) 在 (??, ?1) 上是增函数 B. f ( x ) 在 ( ??, 0) 上是减函数 D. f ( x ) 在 (??, ?1) 上是减函数

9.某工厂去年 12 月份的产值是去年 1 月份产值的 m 倍,则该厂去年产值的月平均增长率为

A.

m 11
x

B.

m 12

C. 12 m ? 1

D. 11 m ? 1

10.设 f(x)=lg(10 +1)+ax 是偶函数,g(x)=

4x ? b 是奇函数,那么 a+b 的值为 2x
D.

A. 1

B.-1

C.-

1 2

1 2

11.某地的中国移动“神州行”卡与中国联通130网的收费标准如下表: 网络 甲:联通130网 乙:移动“神州行”卡 月租费 12元 无 本地话费 每 分 钟 0.36 元 每分钟0.6元 长途话费 每6秒钟0.06 元 每6秒钟0.07 元

(注:本地话费以分钟为单位计费,长途话费以6秒钟为单位计费) 若某人每月拨打本地电话时间是长途电话时间的5倍,且每月通话时间(分钟)的范围在区间 (60,70)内,则选择较为省钱的网络为 A.甲 B.乙 C.甲乙均一样 D.分情况确定 12.若 ?ABC 可剖分为两个与自身相似的三角形,那么这个三角形的形状是 A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.任意三角形 二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 4 分,共 16 分). 13.用集合分别表示下列各图中的阴影部分: (1) (2) (3) (4)

2 14 . 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x ) , 当 x ? 0 时 , f ( x) ? x ? | x | ?1 , 那 么 x ? 0 时 ,

f ( x) =
2 ? 2 ? ?

.
?

15. 已知等式 sin 30 ? sin 30 ? sin 30 sin 30 ?

3 3 2 ? 2 ? ? ? ,sin 40 ? sin 20 ? sin 40 sin 20 ? , 4 4
. .

请你写出一个具有一般性的等式,使此等式包括了已知的两个等式 16.函数 f ( x ) = log3 | 2 x ? a | 的图象的对称轴方程为 x ? 2 ,则常数 a = 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分). 17. (12分)若集合 M ? {a | a ? x ? y , x ? Z , y ? Z} .
2 2

(1)整数8,9,10是否属于M; (2)证明:一切奇数都属于M.

18. (12分)设 x1 , x2 是关于 x 的一元二次方程 x2 ? 2(m ?1) x ? m ? 1 ? 0 的两个实根,又
2 y ? x12 ? x2 ,求 y ? f (m) 的解析式及最值.

19. 分) (12 设函数 f ( x ) 对任意 x, y ? R , 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , x ? 0 时, f ( x) ? 0 , 且

f (1) ? ?2 .
⑴求证: f ( x ) 是奇函数; ⑵试问在 ? 3 ? x ? 3 时, f ( x ) 是否有最值?如果有求出最值;如果没有,说出理由.

20. (12 分)面对 SARS,各国医疗科研机构都在研究疫苗,现有 A、B、C 三个独立的研究机构在 一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是 (1) 他们都研制出疫苗的概率; (2) 他们都失败的概率; (3) 他们能够研制出疫苗的概率.

1 1 1 , , .求: 4 3 2

21. (12 分)设函数 f ( x ) ? 2 ?
x

a ? 1 ( a 为实数) 2x

(1)当 a ? 0 时,若函数 y ? g ( x) 的图象与 f ( x ) 的图象关于直线 x ? 1 对称,求函数

y ? g ( x) 的解析式;
(2)当 a ? 0 时,求关于 x 的方程 f ( x ) =0在实数集R上的解.

22. (14 分)设函数 f ( x) ? a ?
x

x?2 (a ? 1) , x ?1

(1)证明:函数 f ( x ) 在 (?1, ??) 上是增函数; (2)用反证法证明:方程 f ( x) ? 0 没有负数根.

期中测试参考答案 一、DCCDDD CCDDAA 二、13.(1)(A∩C)∪(B∩C)(或(A∪B)∩C);(2)(A∩C)∪B(或(A∪B)∩(C∪B)); (3)(A∩CUB)∪(B∩C);(4)A∪(B∩C);
2 2 ? ?

14. ? x ? x ? 1 ;
2

15. sin ? ? sin (60 ? ? ) ? sin ? sin(60 ? ? ) ? 16. ?4 ;

3 ; 4

三、17. 解:(1)∵8=32-1,9=52-42,∴8∈M,9∈M. ???????? 3 分 假设10=x2-y2,x,y∈Z,则(|x|+|y|)(|x|-|y|)=10,且|x|+|y|>|x|-|y|>0. ?? 5 分 ∵10=1×10=2×5, ∴?

? x ? y ? 10, ? x ? y ? 5, , 或? x ? y ?1 x ? y ? 2, ? ?

显然均无整数解,∴ 10 ? M 。 ???????????? 8分 (2)设奇数为2n+1,n∈Z,则恒有2n+1=(n+1)2-n2,∴2n+1∈M,即一切奇数都属于M。

??????????????????????? 12分 2 18. 解:∵x1,x2 是 x -2(m-1)x+m+1=0 的两个实根, 2 ∴ ? =4(m-1) -4(m+1) ? 0,解得 m ? 0 或 m ? 3。 ????? 2 分 又∵x1+x2=2(m-1), x1·x2=m+1, ??????????? 4 分

∴y=f(m)=x1 +x2 =(x1+x2) -2x1x2=4m -10m+2, 2 即 y=f(m)=4m -10m+2(m ? 0 或 m ? 3)。 ????????? 8 分 最小值为 f (0) ? 2 ,无最大值。 ??????????? 12 分 19.解:⑴证明:令 x ? y ? 0 ,则有 f (0) ? 2 f (0) ? f (0) ? 0 . ??? 2 分 令 y ? ? x ,则有 f (0) ? f ( x) ? f (? x) . 即 f (? x) ? ? f ( x) ,? f (x) 是奇函数.

2

2

2

2

?????????????????? 4 分
⑵任取 x1 ? x 2 ,则 x2 ? x1 ? 0. ? f ( x2 ? x1 ) ? 0. ???? 6 分 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f (? x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ? ? f ( x2 ? x1 ) ? 0 .

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) . ???????????? 8 分
? y ? f (x) 在 R 上为减函数. ????????? 9 分
因此 f (3) 为函数的最小值, f (?3) 为函数的最大值. f (3) ? f (1) ? f (2) ? 3 f (1) ? 6 ,

f (?3) ? ? f (3) ? ?6 , ? 函数最大值为 6,最小值为-6.??? 12 分
20 解:记 A、B、C 分别表示他们研制成功这件事 那么 P ( A) ?

1 1 1 , P ( B ) ? , P (C ) ? 4 3 2
1 ????????? 4 分 24

(1) P ( ABC ) ? ?? ? (2) P ( ABC ) ?

1 ???????????? 8 分 4
3 ??????????? 12 分 4

(3) 1 ? P ( ABC ) ?

21.解: (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? 2x ?1 设 y ? g ( x) 图像上任意一点 P(x、y) ,则 P 关于 x=1 的对称点为 P (2-x,y)
/

????????????? 3 分
由题意 P (2-x,y)在 f ( x ) 图像上,所以, y ? 22? x ?1 ,即 g ( x) ? 22? x ? 1;
/

????????? ???????? 6 分
(2) f ( x) ? 0 ,即 2 ?
x

a ? 1 ? 0 ,整理,得: (2x ) 2 ? 2 x ? a ? 0 x 2

所以 2 x ? 1 ? 1 ? 4a ,又 a<0,所以
2 2

1 ? 4a >1

所以 2 x ? 1 ? 1 ? 4a , ????????? 10 分

从而 x ? log 2 1 ? 1 ? 4a
2

。 ??????? 12 分

22. (1) 证明: ? ? 1 ? x1 ? x2 , 则 ??????????? 2 分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a x1 ?

x1 ? 2 x ?2 3( x1 ? x2 ) ? (a x2 ? 2 ) ? ?? ? a x2 (a x1 ? x2 ? 1) ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) x1 ? 1 x2 ? 1

????????????????????? 5 分

??1 ? x1 ? x2 ,?a x1 ?x2 1 ? 0, 且 a x2 ? 0, x1 ? 1 ? 0, x2 ? 1 ? 0 ,
所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ?????????????? 7 分 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 故 f ( x ) 在 (?1, ??) 上是增函数。 ???????????? 8 分 (2)证明:设存在 x0 ? 0( x0 ? ?1) 满足 f ( x0 ) ? 0 ????? 10 分 则a
x0

??

x0 ? 2 ? (0,1) ????????????? 12 分 x0 ? 1

1 ? x0 ? 1 ???????????????? 13 分 2 与假设矛盾,故方程无负数根。 ??????????? 14 分
解得


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