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高二数学圆锥曲线综合测试题(选修1-1&2-1)含答案!


\1

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若抛物线 y
1 4

2

? x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点 P 的坐标为(
2



A

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(

,?

)

B

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4

1 2 ( ,? ) 8 4

C

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(

1 4

,

2 4

)

D

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1 2 ( , ) 8 4

2

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椭圆

x

2

?

y

2

49

24

? 1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1 、 F 2 的连线互相垂直,

则△ PF 1 F 2 的面积为( A 3
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B

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C

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D

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24
2

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若点 A 的坐标为 (3, 2 ) , F 是抛物线 y ? 2 x 的焦点,点 M 在 )

抛物线上移动时,使 MF ? MA 取得最小值的 M 的坐标为(

A

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?0 , 0 ?
x
2

B

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?1 ? ? ,1 ? ?2 ?

C

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?1,

2

?

D

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?2 , 2 ?

4

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与椭圆

? y

2

? 1 共焦点且过点 Q (2,1) 的双曲线方程是(



4 x
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2

A

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? y

2

?1

B

x
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? y

2

?1

C

x
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2

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?

y

2

?1

D

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x ?
2

y

2

?1

2

4
2 2

3

3

2

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若直线 y ? kx ? 2 与双曲线 x ? y ? 6 的右支交于不同的两点, 那么 k 的取值范围是( A
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) B ( 0,
15 3

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(?

15 3

,

15 3



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C

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(?

15 3

,0 )

D

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(?

15 3

,? 1 )

6

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2 抛物线 y ? 2 x 上两点 A ( x 1 , y 1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ) 关于直线 y ? x ? m 对称,

且 x1 ? x 2 ? ? A
3
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1 2
2

,则 m 等于( C
5
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B

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D

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3

2

2

1.抛物线 y2=ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是 |a| A. 4 |a| B. 2 C.|a|

( a D.- 2

)

2.过点 A(4,a)与 B(5,b)的直线与直线 y=x+m 平行,则|AB|= A.6 B. 2 C.2 D.不确定

(

)

x2 y2 3.已知双曲线 - =1 的离心率为 e,抛物线 x=2py2 的焦点为(e,0),则 p 的值为( 4 12 A.2 B.1 1 C. 4 1 D. 16

)

1 2 4 . 若 直 线 ax + 2by - 2 = 0(a > 0 , b > 0) 始 终 平 分 圆 x2 + y2 - 4x - 2y - 8 = 0 的 周 长 , 则 + 的 最 小 值 为 a b

( A.1

) B.5 C.4 2 D.3+2 2 ( D.2 )

x2 5.若双曲线 2-y2=1 的一个焦点为(2,0),则它的离心率为 a 2 5 A. 5 3 B. 2 2 3 C. 3

6 . △ABC 的 顶 点 A( - 5,0) , B(5,0) , △ABC 的 内 切 圆 圆 心 在 直 线 x = 3 上 , 则 顶 点 C 的 轨 迹 方 程 是 (
2

) x2 y2 B. - =1 16 9 x2 y2 D. - =1(x>4) 16 9

x y2 A. - =1 9 16 x2 y2 C. - =1(x>3) 9 16

x2 y2 5e 7.双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 y= x(e 为双曲线离心率),则有( a b 5 A.b=2a B.b= 5a C.a=2b D.a= 5b

)

8.抛物线 y=-4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是 17 A. 16 15 B. 16 15 C.- 16 17 D.- 16

(

)

??? ??? ? ? y2 O 9.已知点 A、B 是双曲线 x2- =1 上的两点,O 为坐标原点,且满足 O A · B =0,则点 O 到直线 AB 的距离等于 2

( A. 2

) B. 3 C.2 D.2 2 )

x2 y2 10.(2009· 全国卷Ⅱ)双曲线 - =1 的渐近线与圆(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,则 r=( 6 3 A. 3 B.2
2 2

C.3

D.6

x y 11.(2009· 四川高考)已知双曲线 - 2=1(b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,其一条渐近线方程为 y=x,点 P( 3,y0) 2 b
P 在该双曲线上,则 P F 1 · F 2 = ???? ????

( C.0

) D.4

A.-12

B.-2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请把正确答案填在题中横线上). 14. 过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 45° 的直线交抛物线于 A、 两点, B 若线段 AB 的长为 8, p=________. 则 三、解答题 15.已知抛物线 y ? 4 x ,焦点为 F,顶点为 O,点 P 在抛物线上移动,Q 是 OP 的中点,M 是 FQ 的中点,求点 M
2

的轨迹方程. (12 分)
x
2

16.P 为椭圆

?

y

2

25

9

? 1 上一点, F1 、 F 2

为左右焦点,若

? F1 PF 2 ? 60 ?

(1) 求△ F1 PF 2 的面积; (2) 求 P 点的坐标.

17.(本小题满分 12 分)已知:圆 C:x2+y2-8y+12=0,直线 l:ax+y+2a=0. (1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切; (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点,且 AB=2 2时,求直线 l 的方程. 18.已知动圆过定点 F(0,2),且与定直线 L:y=-2 相切. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)若 AB 是轨迹 C 的动弦, AB 过 F(0,2), 且 分别以 A、 为切点作轨迹 C 的切线, B 设两切线交点为 Q, 证明: AQ⊥BQ. 19.)已知圆(x-2)2+(y-1)2= 20 2 ,椭圆 b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)的离心率为 ,若圆与椭圆相交于 A、B,且线段 AB 3 2

是圆的直径,求椭圆的方程. 1
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B 点 P 到准线的距离即点 P 到焦点的距离,得 P O ? P F ,过点 P 所作的高也是中线
1 8

? Px ?

,代入到 y

2

? x 得 Py ? ?

2 4

,? P ( , ?
8
2 2

1

2 4

)

2

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D

P F1 ? P F2 ? 14, ( P F1 ? P F2 ) ? 196, P F1 ? P F2 ? (2 c ) ? 100 ,相减得
2 2

2 P F1 ? P F 2 ? 9 6, S ?

1 2

P F1 ? P F 2 ? 2 4
? 2 ,代

3

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D

M F 可以看做是点 M 到准线的距离,当点 M 运动到和点 A 一样高时, MF ? MA 取得最小值,即 M

y

入 y ? 2x 得M x ? 2
2

4

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A

c ? 4 ? 1, c ?
2

3, 且焦点在 x 轴上,可设双曲线方程为

x a

2 2

?

y

2 2

3?a

? 1 过点 Q (2,1)



4 a
2

?

1 3?a
2

? 1 ? a ? 2,
2

x

2

? y ?1
2

2

5

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D

?x2 ? y2 ? 6 2 2 2 2 , x ? ( kx ? 2 ) ? 6, (1 ? k ) x ? 4 kx ? 1 0 ? 0 有两个不同的正根 ? ? y ? kx ? 2

? 2 ?? ? 40 ? 24k ? 0 ? 2 4k ? 则 ? x1 ? x 2 ? ? 0,得? 2 1? k ? ?10 ? ?0 2 ? x1 x 2 ? 1? k ?

15 3

? k ? ?1

6

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A

k AB ?

y 2 ? y1 x 2 ? x1

? ? 1, 而 y 2 ? y 1 ? 2 ( x 2 ? x1 ), 得 x 2 ? x1 ? ?
2 2

1 2

,且(

x 2 ? x1 2

,

y 2 ? y1 2

)

在直线 y ? x ? m 上,即
2 2

y 2 ? y1 2

?

x 2 ? x1 2
2

? m , y 2 ? y 1 ? x 2 ? x1 ? 2 m 3 2

2 ( x 2 ? x1 ) ? x 2 ? x1 ? 2 m , 2[( x 2 ? x1 ) ? 2 x 2 x1 ] ? x 2 ? x1 ? 2 m , 2 m ? 3, m ?

|a| 1、解析:由已知焦点到准线的距离为 p= . 2 答案:B b-a 2、解析:由题知 =1,∴b-a=1. 5-4 ∴|AB|= (5-4)2+(b-a)2= 2. 答案:B 1 1 1 3、解析:依题意得 e=2,抛物线方程为 y2= x,故 =2,得 p= . 2p 8p 16 答案:D 4、解析:由(x-2)2+(y-1)2=13,得圆心(2,1), ∵直线平分圆的周长,即直线过圆心. ∴a+b=1. 1 2 1 2 b 2a ∴ + =( + )(a+b)=3+ + ≥3+2 2, a b a b a b b 2a 当且仅当 = ,即 a= 2-1,b=2- 2时取等号, a b 1 2 ∴ + 的最小值为 3+2 2. a b 答案:D 5、解析:由 a2+1=4,∴a= 3, ∴e= 2 2 3 = . 3 3

答案:C 6、解析:如图|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|, 所以|CA|-|CB|=8-2=6. x2 y2 根据双曲线定义,所求轨迹是以 A、B 为焦点,实轴长为 6 的双曲线的右支,方程为 - =1(x>3). 9 16 答案:C b 5 7、解析:由已知 = e, a 5 b 5 c ∴ = × ,∴c= 5b,又 a2+b2=c2, a 5 a ∴a2+b2=5b2,∴a=2b. 答案:C 1 8、解析:准线方程为 y= , 16 1 15 由定义知 -yM=1?yM=- . 16 16 答案:C
O 9、解析:本题是关于圆锥曲线中的点到线的距离问题,由 O A · B =0?OA⊥OB,由于双曲线为中心对称图形, ??? ??? ? ?

为此可考查特殊情况,令点 A 为直线 y=x 与双曲线在第一象限的交点,因此点 B 为直线 y=-x 与双曲线在第四

?x2-y =1 ? 2 象限的一个交点,因此直线 AB 与 x 轴垂直,点 O 到 AB 的距离就为点 A 或点 B 的横坐标的值,由? ? ? ?y=x
x= 2. 答案:A 1 |3| 10、解析:双曲线的渐近线方程为 y=± x 即 x± 2y=0,圆心(3,0)到直线的距离 d= = 3. 2 ( 2)2+1 答案:A 11、解析:由渐近线方程 y=x 得 b= 2, x2 y2 点 P( 3,y0)代入 - 2=1 中得 y0=± 1. 2 b 不妨设 P( 3,1),∵F1(2,0),F2(-2,0),
P ∴ P F 1 · F 2 =(2- 3,-1)· (-2- 3,-1) ???? ????

2

=3-4+1=0. 答案:C 14、解析: (x0-a)2+(y0-b)2 可看作点(x0 ,y0)与点(a,b)的距离.而点(x0 ,y0)在直线 ax+by=0 上,所以 |a· a+b· b| (x0-a)2+(y0-b)2的最小值为点(a,b)到直线 ax+by=0 的距离 2 = a2+b2. a +b2 答案: a2+b2 解析:由焦点弦|AB|= 2p 2p 得|AB|= 2 , sin2α sin 45°

1 ∴2p=|AB|× ,∴p=2. 2 答案:2
15. (12 分)[解析]:设 M( x , y ) ,P( x 1 , y 1 ) ,Q( x 2 , y 2 ) ,易求 y ∵M 是 FQ 的中点,∴
x ? y ?
2

2

? 4 x 的焦点 F 的坐标为(1,0)
x2 ? y2 ? x1 2 y1 2

1? x2 2 y
2

? x 2 ? 2 x ? 1 ,又 Q 是 OP 的中点∴
y2 ? 2y

?

x1 ? 2 x 2 ? 4 x ? 2 y1 ? 2 y 2 ? 4 y



2
2

∵P 在抛物线 y ? 4 x 上,∴ ( 4 y ) ? 4 ( 4 x ? 2 ) ,所以 M 点的轨迹方程为 y 2

? x?

1 2

.

16. [解析]:∵a=5,b=3? c=4 (1)设 | PF 1 |? t 1 , | PF 2 |? t 2 ,则 t 1 ? t 2 ? 10
t
2 1



? t ? 2 t 1 t 2 ? cos 60 ? ? 8
2 2

2

②,由①2-②得 t 1 t 2 ? 12
3 2 ? 3 3

? S ? F1 PF 2 ?

1 2

t 1 t 2 ? sin 60 ? ?

1 2

? 12 ?

(2)设 P ( x , y ) ,由 S ? F PF ? 1 ? 2 c ? | y |? 4 ? | y | 得
1 2

4 | y |? 3 3 ?| y |? 3 3
4

? y ? ?

3 3 4

2

,将 y ? ? 3 3
4

代入椭圆方程解得

x ? ?

5 13 4

,? P ( 5

4

13 3 3 或 5 13 5 13 3 3 或 3 3 或 5 13 3 3 , ) P (? , ) P( ,? ) P (? ,? ) 4 4 4 4 4 4 4

17、解:法一:设点 M 的坐标为(x,y), ∵M 为线段 AB 的中点, ∴A 的坐标为(2x,0),B 的坐标为(0,2y).

∵l1⊥l2,且 l1、l2 过点 P(2,4), ∴PA⊥PB,kPA·PB=-1. k 而 kPA= ∴ 4-0 4-2y ,k = ,(x≠1), 2-2x PB 2-0

2 2-y · =-1(x≠1). 1-x 1

整理,得 x+2y-5=0(x≠1). ∵当 x=1 时,A、B 的坐标分别为(2,0),(0,4), ∴线段 AB 的中点坐标是(1,2),它满足方程 x+2y-5=0. 综上所述,点 M 的轨迹方程是 x+2y-5=0. 法二:设 M 的坐标为(x,y),则 A、B 两点的坐标分别是(2x,0),(0,2y),连结 PM, ∵l1⊥l2,∴2|PM|=|AB|. 而|PM|= ( x ? 2 ) ? ( y ? 4 ) ,
2 2

|AB|= ( 2 x ) ? ( 2 y ) ,
2 2

∴2 ( x ? 2 ) ? ( y ? 4 ) ?
2 2

4x ? 4y .
2 2

化简,得 x+2y-5=0 即为所求的轨迹方程. 法三:设 M 的坐标为(x,y), 由 l1⊥l2,BO⊥OA,知 O、A、P、B 四点共圆, ∴|MO|=|MP|,即点 M 是线段 OP 的垂直平分线上的点. ∵kOP=
4?0 2?0
1 2

=2,线段 OP 的中点为(1,2),

∴y-2=-

(x-1),

即 x+2y-5=0 即为所求. 18、解:(1)依题意,圆心的轨迹是以 F(0,2)为焦点,L:y=-2 为准线的抛物线. 因为抛物线焦点到准线距离等于 4, 所以圆心的轨迹是 x2=8y. (2)证明:因为直线 AB 与 x 轴不垂直, 设 AB:y=kx+2. A(x1,y1),B(x2,y2).

?y=kx+2, ? 由? 1 2 ?y=8x , ?
可得 x2-8kx-16=0,x1+x2=8k,x1x2=-16. 1 1 抛物线方程为 y= x2,求导得 y′= x. 8 4

1 1 1 1 1 所以过抛物线上 A、B 两点的切线斜率分别是 k1= x1,k2= x2,k1k2= x1·x2= x1·2=-1. x 4 4 4 4 16 所以 AQ⊥BQ. c 19.解:∵e= = a a2-b2 2 = ,∴a2=2b2. a2 2

因此,所求椭圆的方程为 x2+2y2=2b2, 又∵AB 为直径,(2,1)为圆心,即(2,1)是线段 AB 的中点, 设 A(2-m,1-n),B(2+m,1+n),则

?(2+m) +2(1+n) =2b , ? ? ?|AB|=2 20 ? 3
2 2 2 2 2 2

(2-m)2+2(1-n)2=2b2,

?8m+8n=0, ? ?? ?2 m +n =2 ?
2 2

8+2m2+4+4n2=4b2, 20 3

?2b =6+m +2n , ? ?? 2 2 10 得 2b2=16. m =n = , ? 3 ?
故所求椭圆的方程为 x2+2y2=16.


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