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2015-2016学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程章末小结 新人教A版选修1-1


2015-2016 学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程章末小结 新人教 A 版选修 1-1

圆锥曲线是高考的重点内容之一,主要考查以下几方面: 1.考查椭圆、双曲线、抛物线的几何性质、待定系数法求圆锥曲线方程,圆锥曲线定 义的应用等,尤其是离心率是高考的热点,题型上选择,填空、解答题都有可能出现; 2.双曲线的渐近线是一种独特的性质,也是高考考查的重要内容

,充分运用渐近线方 程,简化解题过程; 3.直线与圆锥曲线位置关系问题是高考的热点,涉及直线与圆锥曲线的关系中的求弦 长、焦点弦长及弦中点问题、取值范围、取值等问题.题型以解答题的形式出现居多,这类 问题往往综合性强,注重与一元二次方程中根的判别式、根与系数的关系、函数的单调性、 不等式、平面向量等知识相综合.

专题一 圆锥曲线定义的应用 利用圆锥曲线的定义解题的策略:(1)在求轨迹方程时,若所求轨迹符合某种圆锥曲线 的定义,则根据圆锥曲线的定义,写出所求的轨迹方程;(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两 个焦点构成三角形问题时,常用定义结合解三角形的知识来解决;(3)在求有关抛物线的最 值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形,利用几何意义 去解决.总之,圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用,要注意灵活运用. 2 例 1 如图,直线 AB 过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F,且点 A,B 在抛物线准线上的射 影分别为 A1,B1,则∠A1FB1 的大小为( )

1

π π π π B. C. D. 6 4 3 2 解析:由抛物线的定义可知|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,且 AA1,BB1 都平行于 x 轴,∴ 1 π ∠AA1F=∠AFA1=∠A1FO, ∠BB1F=∠BFB1=∠B1FO, ∴∠A1FB1=∠AFA1+∠BFB1= ?π = . 2 2 答案:D 变式迁移 2 1.已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,则抛物线 y =4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是(A) 11 37 A.2 B.3 C. D. 5 16 2 解析:如图,可知直线 l2:x=-1 为抛物线 y =4x 的准线,由抛物线的定义知,P 到 l2 的距离等于 P 到抛物线的焦点 F(1,0)的距离,故本题可化为:在抛物线 y2=4x 上找一个 点 P,使得 P 到点 F(1,0)和到直线 l1 的距离之和最小,则最小值为 F(1,0)到直线 l1:4x |4-0+6| -3y+6=0 的距离,即 dmin= =2. 5 A.

例 2 已知圆 C 的方程为(x-3) +y =4,定点 A(-3,0),求过定点 A 且和圆 C 外切的 动圆圆心 P 的轨迹方程. 解析:因为圆 P 与圆 C 外切,如图

2

2

所以|PC|=|PA|+2,即|PC|-|PA|=2, 因为 0<|PC|-|PA|<|AC|, 所以由双曲线的定义,点 P 的轨迹是以 A,C 为焦点,2 为实轴长的双曲线的左支,其 中 a=1,c=3, 2 2 2 所以 b =c -a =9-1=8.
2

故所求轨方程为 x - =1(x<0). 8 变式迁移 2 2 2 2 2.一动圆和两圆 x +y =1,x +y -8x+12=0 都外切,则动圆圆心轨迹为(C) A.圆 B.椭圆 C.双曲线一支 D.抛物线 2 2 2 2 解析:C1:x +y =1,C2:(x-4) +y =4,设动圆圆心为 P,半径为 r,因为动圆与两 定圆都外切,所以|PC1|=r+1,|PC2|=r+2,所以|PC2|-|PC1|=1,故 P 点轨迹为以 C1、 C2 为焦点的双曲线的一支. 专题二 圆锥曲线的方程与性质的应用 圆锥曲线的方程与性质的应用主要体现在已知圆锥曲线的方程研究其几何性质, 已知圆 锥曲线的性质求其方程.重在考查基础知识、基本思想方法,属于低中挡题目,其中对离心 率的考查是重点.

2

y2

x2 y2 例 3 (2013?新课标全国卷Ⅱ)设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>c)的左、右焦点分别为 F1、 a b F2,P 是 C 上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为( )
A. C. 3 6 1 B. 3

1 3 D. 2 3

2 3 4 3 解析:因为 PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,所以|PF2|=2ctan 30°= c,|PF1|= c. 3 3 6 3 c 1 3 又|PF1|+|PF2|= c=2a,所以 = = , 3 a 3 3 即椭圆的离心率为 答案:D 变式迁移 3.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上,且 BF⊥x → → 轴,直线 AB 交 y 轴于点 P.若AP=2PB,则椭圆的离心率是(D) 3 2 A. B. 2 2 1 1 C. D. 3 2 3 ,选 D. 3

x2 y 2 a b

b → → 解析:如图,由于 BF⊥x 轴,故 xB=-c,yB= ,设 P(0,t),∵AP=2PB, a

2

? ? ∴(-a,t)=2?-c, -t?, ?
b a

2

?

c 1 ∴a=2c,∴e= = . a 2

专题三 直线与圆锥曲线的位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系,主要涉及判定直线与圆锥曲线的交点个数、求弦长、最值
3

等问题,它是圆锥曲线的定义、性质与直线的基础知识的综合应用,涉及数形结合、函数与 方程、分类讨论等数学思想方法.直线与圆锥曲线的位置关系主要有: (1)有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题,应注意数形结合; (2)有关弦长问题,应注意运用弦长公式及根与系数的关系; (3)有关垂直问题,要注意运用斜率关系及根与系数的关系,设而不求,简化运算. 特别提醒:涉及直线的斜率不确定时,要讨论斜率不存在的情况,消元后一元二次方程 二次项有字母,则要讨论系数为零的情况. 2 例 4 如图,直线 l:y=x+b 与抛物线 C:x =4y 相切于点 A.

(1)求实数 b 的值; (2)求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程. 分析:本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与 方程思想、数形结合思想. ?y=x+b, ? 2 解析:(1)由? 2 得 x -4x-4b=0,① ?x =4y ? 2 因为直线 l 与抛物线 C 相切,所以Δ =(-4) -4?(-4b)=0,解得 b=-1. 2 2 (2)由(1)可知 b=-1,故方程①即为 x -4x+4=0,解得 x=2,代入 x =4y,得 y= 1.故点 A(2,1),因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切,所以圆 A 的半径 r 等于圆心 A 到抛物线 2 2 的准线 y=-1 的距离,即 r=|1-(-1)|=2,所以圆 A 的方程为(x-2) +(y-1) =4. 变式迁移 4.(2015?东北三校联考)在平面直角坐标系 xOy 中,经过点(0, 2)且斜率为 k 的直 线 l 与椭圆 +y =1 有两个不同的交点 P 和 Q. 2 求 k 的取值范围; 解析:由已知条件,直线 l 的方程为 y=kx+ 2 代入椭圆方程得 +(kx+ 2) =1, 2 ?1 2? 2 整理得? +k ?x +2 2kx+1=0. ?2 ? ?1 2? 2 2 由Δ =8k -4? +k ?=4k -2>0, ?2 ? 解得 k<- 2 2 或 k> . 2 2

x2

2

x2

2

2? ? 2 ? ?∪? ,+∞?. 2? ?2 ? 专题四 圆锥曲线的综合应用 即 k 得取值范围为?-∞,- 例 5 设 F1,F2 分别为椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,过 F2 的直线 l 与椭 圆 C 相交于 A,B 两点,直线 l 的倾斜角为 60°,F1 到直线 l 的距离为 2 3. (1)求椭圆 C 的焦距; → → (2)如果AF2=2F2B,求椭圆 C 的方程. 解析:(1)设焦距为 2c,由已知可得 F1 到直线 l 的距离 3c=2 3,故 c=2.
4

? ?

x2 y2 a b

所以椭圆 C 的焦距为 4. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知 y1<0,y2>0,直线 l 的方程为 y= 3(x-2). ? ?y= 3(x-2), 联立?x2 y2 ? 2+ 2=1,

?a
2

b

得(3a +b )y +4 3b y-3b =0. 2 -4 3b ∴y1+y2= 2 2 ,① 3a +b 4 -3b y1y2= 2 2.② 3a +b → → ∵AF2=2F2B,所以-y1=2y2. 2 -4 3b 代入①②可得-y2= 2 2 ,③ 3a +b 4 - 3 b 2 -2y2= 2 2.④ 3a +b 2 2 2 ③ ÷④可得 3a +b =32. 又 a -b =4,得 a=3.而 a -b =4,所以 b= 5.故椭圆 C 的方程为 + =1. 9 5 变式迁移 5.已知点 M(-2,0),N(2,0),动点 P 满足条件|PM|-|PN|=2 2.记动点 P 的轨迹为
2 2 2 2

2

2

2

4

x2 y2

W.
(1)求 W 的方程; → → (2)若 A,B 是 W 上的不同两点,O 是坐标原点,求OA?OB的最小值. 解析: (1)依题意, 点 P 的轨迹是以 M,N 为焦点的双曲线的右支,所求方程为: - = 2 2 1(x≥ 2). 2 (2)当直线 AB 的斜率不存在时,设直线 AB 的方程为 x=x0,此时 A(x0, x0-2),B(x0, → → 2 - x0-2),OA?OB=2. 当直线 AB 的斜率存在时, 设直线 AB 的方程为 y=kx+b, 代入双曲线方程 - =1 中, 2 2 得: 2 2 2 (1-k )x -2kbx-b -2=0,① 依题意可知方程①有两个不相等的正数根, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 2 2 2 2 Δ =4k b -4(1-k )?(-b -2)>0,

x2 y2

x2 y2

? kb ?x +x =12- >0, k ? b +2 ? ?x x =k -1>0,
1 2 2 2 2 1 2

→ → 2 解得|k|>1,又OA?OB=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b)=(1+k )x1x2+kb(x1+x2) 2 2k +2 4 2 +b = 2 =2+ 2 >2.② k -1 k -1 → → 综上可知,OA?OB的最小值为 2. 专题五 求轨迹方程 求轨迹方程的常用方法: (1)直接法.直接利用条件建立 x 、y 之间的关系 f(x,y)=0.
5

(2)待定系数法.已知所求曲线的类型,求曲线方程.先根据条件设出所求曲线的方程, 再由条件确定其待定系数. (3)定义法.先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接定出动 点的轨迹方程. (4)代入转移法.动点 P(x,y)依赖于另一动点 Q(x0,y0)的变化而变化,并且 Q(x0,y0) 又在某已知曲线上,则可先用 x、y 的代数式表示 x0,y0,再将 x0、y0 代入已知曲线得要求 的轨迹方程. 例 6 已知⊙O 的半径为 3,直线 l 与⊙O 相切,一动圆与 l 相切,并与⊙O 相交的公共 弦恰为⊙O 的直径,求动圆圆心的轨迹方程. 分析:问题中的几何性质十分突出,如何利用切线、直径、垂直、圆心这些几何性质是 关键,动圆圆心满足的条件是关注的焦点. 解析:如图,设动圆圆心为 M(x,y),⊙O 与⊙M 的公共弦为 AB,⊙M 与 l 切于点 C,取 过 O 点且与 l 平行的直线为 x 轴,过 O 点且垂直于 l 的直线为 y 轴,建立直角坐标系.

则|MA|=|MC|. ∵AB 为⊙O 的直径, ∴MO 垂直平分 AB 于 O. 2 2 2 2 2 由勾股定理得|MA| =|MO| +|AO| =x +y +9, 而|MC|=|y+3|, 2 2 ∴ x +y +9=|y+3|. 2 化简得 x =6y,这就是动圆圆心的轨迹方程. 方法总结:直接法求轨迹方程的步骤是“建系,设点,列式,化简”,建系的原则是特 殊化(把图形放在最特殊的位置上),这类问题一般需要通过对图形的观察、分析、转化,找 出一个关于动点的等量关系. 2 2 2 2 例 7 一动圆与已知圆 O1:(x+3) +y =1 外切,与圆 O2:(x-3) +y =81 内切,试求 动圆圆心的轨迹方程. 分析:运用圆锥曲线的定义和圆的几何性质判断轨迹形状后,再根据已知求解. 解析:两定圆的圆心和半径分别为 O1(-3,0),r1=1; O2(3,0),r=9.设动圆圆心为 M(x,y),半径为 R, 则由题设条件可得|MO1|=1+R,|MO2|=9-R. ∴|MO1|+|MO2|=10. 由椭圆的定义知:M 在以 O1、O2 为焦点的椭圆上, 且 a=5,c=3. 2 2 2 ∴b =a -c =25-9=16, 故动圆圆心的轨迹方程为 + =1. 25 16 方法总结: 若根据条件得出动点的轨迹特征符合某一基本轨迹的定义, 可由曲线的定义 直接写出动点的轨迹方程. 例 8 设双曲线 2- =1 的焦点分别为 F1、F2,离心率为 2. a 3 (1)求此双曲线的渐近线 l1,l2 的方程; (2)若 A、B 分别为 l1、l2 上的动点,且 2|AB|=5|F1F2|,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方
6

x2

y2

y2 x2

程并说明轨迹是什么曲线. 分析:(1)双曲线方程易得 a、c 的关系,再代入离心率.(2)设出 A、B 坐标,再代入 2|AB|=5|F1F2|,再由 M 为 AB 的中心求得轨迹方程。 a2+3 2 解析:(1)∵e= =2,∴a =1. |a| 3 3 x 和 y=- x. 3 3 (2)∵|F1F2|=4,2|AB|=5|F1F2|, ∴|AB|=10. ∴A 在 l1 上,B 在 l2 上,设 A( 3y1,y1),B(- 3y2,y2), 2 2 ∴ 3(y1+y2) +(y1-y2) =10.① 设 AB 的中点 M(x,y), 3y1- 3y2 y1+y2 则 x= ,y= . 2 2 2x ∴y1-y2= ,y1+y2=2y, 3 2 4x 2 代入①得 12y + =100, 3 x2 3y2 即 + =1 为中心 M 的轨迹方程,故轨迹为椭圆. 75 25 方法总结:一动点依赖于另一动点的变化而变化,一般用代入转化法. 变式迁移 → → → 6.已知点 M(4,0),N(1,0),若动点 P 满足MN?MP=6|NP|.求动点 P 的轨迹 C. → → → 解析:设动点 P(x,y),MN=(-3,0),MP=(x-4,y),NP=(x-1,y). → → → 由MN?MP=6|NP|, 2 2 得-3(x-4)=6 (x-1) +y , ∴渐近线 l1、l2 的方程为:y= 所以 x -8x+16=4(x -2x+1)+4y ,整理得 + =1. 4 3 所以轨迹 C 是焦点为(±1,0),长轴长为 4 的椭圆.
2 2 2

x2 y2

7


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