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佛山市2013届高三第二次质量检测理科数学


佛山市 2013 届高三第二次质量检测 理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择)题两部分,满分 150 分.考试用时 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题,共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.设全集 U ? R , A ? { x | x ( ? x ? 3 ) ? 0 }, B ? { x | y ? ln( ? x ? 1 )}, 则 右图中阴影部分表示的集合为( A. { x | x ? 0 } C. { x | ? 3 ? x ? ? 1} )

B. { x | ? 3 ? x ? 0 } D. { x | x ? ? 1}

2. 0 ? x ? 5 是不等式 | x ? 4 |? 4 成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若复数(a 2 - 4a+3)+(a -1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为( ) A.1 B.3 C.1 或 3 D.-1 4.函数 f ( x ) ? 2 x ? 6 ? ln x 的零点一定位于下列哪个区间 A. (1, 2 )
?
2 3? 4
, 3? 4 )? ( 5? 4 ,

B. ( 2 , 3 )
5? 4
3? 2 )

C. ? 3, 4 ?
?
4

D. ? 4 , 5 ?
5? 4

5.已知点 P (sin ? – cos ? ,tan ? )在第一象限,则在[0,2 ? ]内 ? 的取值范围是 A. ( C. (
, ) ? (? , )

B. ( D. (

,

?
2

) ? (? ,
3? 4

)

?
2

?
4

,

?
2

)? (

,? )

6.偶函数 f ( x )( x ? R ) 满足: f ( ? 4 ) ? f (1 ) ? 0 ,且在区间[0,3]与 [ 3 , ?? ) 上分别递减和递 增,则不等式 x f ( x ) ? 0 的解集为
3

A. ( ?? , ? 4 ) ? ( 4 , ?? ) C. ( ?? , ? 4 ) ? ( ? 1, 0 )

B. ( ? 4 , ? 1 ) ? (1, 4 ) D. ( ?? , ? 4 ) ? ( ? 1, 0 ) ? (1, 4 )

7. f ( x ) 是定义在 ( 0 , ?? ) 上的非负可导函数,且满足 x f ? ( x ) ? f ( x ) ? 0 ,对任意正数 a , b , 若 a ? b ,则必有( A. af ( b ) ? bf ( a ) C. af ( a ) ? f ( b ) ) B. bf ( a ) ? af ( b )
y

D. bf ( b ) ? f ( a )

2

A

8.函数 f(x)的图象是如图所示的折线段 OAB,点 A 坐标为(1,2),点 B 坐 标为(3,0).定义函数 g ( x ) ? f ( x ) ? ( x ? 1) .则函数 g(x)最大值为( A.0 B.2 C.1 D.4
1

)

B o 1 3 x

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. ?
2 0

4 ? x dx =
2

?0 ? x ? 2 ? 2 2 10.若 x、y 满足 ? 0 ? y ? 2 , 则 ? x ? 1 ) ? ( y ? 1 ) 的取值范围是 ?x ? y ? 1 ?



11.已知向量 a , b 的夹角为 60 ? ,且 a ? 2 , b ? 1 ,则 a ? 2 b ? _________ 量 a ? 2 b 的夹角的大小为_________.

;向量 a 与向

12.设函数 f ( x ) 在 ( ?? , ?? ) 上满足 f ( x ) ? f ( 4 ? x ), f ( 7 ? x ) ? f ( 7 ? x ) ,且在闭区间[0, 7]上,只有 f (1 ) ? f ( 3 ) ? 0 ,则函数 f ( x ) 的最小正周期为 ,方程 f ( x ) ? 0 在闭 区间[-2005,2005]上有 个根。 13.(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,过圆 ? ? 6 c o s ? 的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 14.(不等式选讲选做题)
B


C

函数 y ? x ? 1 ? x ? 1 的最大值是 15.(几何证明选讲选做题)

_.
A D

O

如图,已知圆 O 的半径为 2,从圆 O 外一点 A 引切线 A D 和割线 A B C , 圆心 O 到 A C 的距离为 3 , A B ? 3 ,则切线 A D 的长为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步 16.(本小题满分 12 分) 一盒中装有 20 个大小相同的弹子球,其中红球 10 个,白球 6 个,黄球 4 个,一小孩随 手拿出 4 个,求至少有 3 个红球的概率.

17.(本小题满分 12 分) 设向量 m ? ( c o s ? , s in ? ) , n ? ( 2 2 ? s i n ? , 2 2 ? c o s ? ) , ? ? ( ? 若 m ? n ? 1 ,求: (1) sin( ? ?
?
4 ) 的值;
?? ?

3 2

? ,?? ) ,

??

?

(2) cos( ? ?

7 12

? ) 的值.

2

18.(本小题满分 14 分) 四棱锥 P—ABCD 中,侧面 PDC 是边长为 2 的正三角形, 且与底面垂直,底面 ABCD 是∠ADC ? 60 ? 的菱形, M 为 PB 的中点,Q 为 CD 的中点. (1) 求证:PA⊥CD; (2) 求 AQ 与平面 CDM 所成的角. D

P

M Q
第 18 题图

C B

A
19.(本小题满分 14 分)
4 3 2 设函数 f ( x ) ? x ? a x ? 2 x ? b ( x ? R ) ,其中 a, b ? R .

(Ⅰ)当 a ? ?

10 3

时,讨论函数 f ( x ) 的单调性;

(Ⅱ)若函数 f ( x ) 仅在 x ? 0 处有极值,求 a 的取值范围; (Ⅲ)若对于任意的 a ? ? ? 2, ? ,不等式 f ( x ) ≤ 1 在 ? ? 1,? 上恒成立,求 b 的取值范围 2 1

20.(本小题满分 14 分) 据调查,某地区 100 万从事传统农业的农民,人均收入 3000 元,为了增加农民的收入,当 地政府积极引进资金,建立各种加工企业,对当地的农产品进行深加工,同时吸收当地部分 农民进入加工企业工作,据估计,如果有 x (x >0)万人进企业工作,那么剩下从事传统农 业的农民的人均收入有望提高 2x %, 而进入企业工作的农民的人均收入为 3000a 元(a >0). (1)在建立加工企业后,要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的所 有农民的年总收入,试求 x 的取值范围; (2)在(1)的条件下,当地政府应该如何引导农民(即 x 多大时) ,能使这 100 万农民的 人均年收入达到最大.

3

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? a x ? b x ? 1 ( a , b 为实数), x ? R , F ( x ) ? ?
2

? f (x) ? ? f (x)

( x ? 0) ( x ? 0)

.

(1)若 f ( ? 1) ? 0 , 且函数 f ( x ) 的值域为 [ 0 ,

? ? ) ,求 f ( x ) 的表达式;

(2)在(1)的条件下,当 x ? [ ? 2 , 2 ] 时, g ( x ) ? f ( x ) ? k x 是单调函数,求实数 k 的取值 范围; (3)设 m ? n ? 0 , m ? n ? 0 , a ? 0 且 f ( x ) 为偶函数,判断 F ( m ) + F ( n ) 能否大于零.

4

参考答案
一、选择题: 1 C 2 A 3 B 4 B
?1 ?

5 B
? ?

6 D

7 A 11. 2 3

8 C
?
6

二、填空题: 9. ?

10. ? , ? 2 2 14. 2.

12. 10 、 802

13. ? c o s ? ? 3 . 三、解答题:

15. 15 .

16.恰有 3 个红球的概率 P1 ?

C 10 C 10 C 20 C 10 C 20
4 4 4

3

4

?

80 323

……5 分

有 4 个红球的概率 P2 ?

?

14 323

……9 分
94 323

至少有 3 个红球的概率 P ? P1 ? P2 ?
?? ?

……11 分 答:……12 分

17.解: (1)依题意, m ? n ? c o s ? ( 2 2 ? s i n ? ) ? s i n ? ( 2 2 ? c o s ? )
? 2 2 ( s in ? ? c o s ? )

…3 分 ? 4 s in (? ?
?
4 ) ? 1 4

?
4

) …5 分

又m ? n ? 1

??

?

∴ sin( ? ?
3 2

……………6 分
?
4 ? (? 5 4
) ? ? 15 4 3 ? 8

(2)由于 ? ? ( ?
?
4 7 12

? , ? ? ) ,则 ? ?

? ,?

3 4

? ) ……7 分

结合 sin( ? ?

) ?

1 4

,可得 cos( ? ?

?
4

……9 分

则 c o s (? ?

?)

? c o s [(? ?

1 4

?)?

1 3

? ] ? (?

15 4

)?

1 2

?

1 4

?

3 2

? ?

15

…12 分
P

18.解:(1)连结 PQ,AQ. ∵△PCD 为正三角形, ∴PQ⊥CD. ∵底面 ABCD 是∠ADC ? 60 ? 的菱形, ∴AQ⊥CD. ∴CD⊥平面 PAQ. ……4 分 ∴PA⊥CD. F (2)设平面 CDM 交 PA 于 N,∵CD//AB, ∴CD//平面 PAB. ∴CD//MN.由于 M 为 PB 的中点,∴N 为 PA 的中点. D 又 PD=CD=AD,∴DN⊥PA. 由(1)可知 PA⊥CD, ? M ∴PA⊥平面 CDM. ………………8 分 A ∴平面 CDM⊥平面 PAB. ∵PA⊥平面 CDM,联接 QN、QA,则 ?AQN 为 AQ 与平面 CDM 所成的角. …10 分 在 Rt?PMA 中,AM=PM= 3 ,

E

C G
B

5

∴AP= 6 ,∴AN=

6 2

,sin?AQN=

AN AQ

=

2 2

.

P

∴?AQN =45° .…………14 分 (2)另解(用空间向量解) : 由(1)可知 PQ⊥CD,AQ⊥CD. D 又由侧面 PDC⊥底面 ABCD,得 PQ⊥AQ. 因此可以如图建立空间直角坐标系 Q ? xyz . ……………6 分 易知 P(0 , 0 , 3 )、A( 3 , 0 , 0)、B( 3 , 2 , 0)、 C(0 , 1 , 0) 、D(0 , ?1 , 0). ………7 分 ①由 PA =( 3 , 0 , ? 3 ) CD =(0 , ?2 , 0) , ,得 PA ? CD =0. ∴PA⊥CD.…………………9 分 ②由 M(
3 2

M

N

Q
第 17 题图

C B

A

,1,?

3 2

) CM =( ,

3 2

,0,?

3 2

) ,得 PA ? CM =0. z P

∴PA⊥CM .……………10 分 ∴PA⊥平面 CDM,即平面 CDM⊥平面 PAB. 从而 PA 就是平面 CDM 的法向量.……12 分 设 AQ 与平面所成的角为 ? , 则 sin? =|cos< QA , PA >|= |
3 3 ? 6 |? 2 2

M . D

N
x

Q

C

y B

∴AQ 与平面所成的角为 45° .…………14 分

第 18 题图

3 2 2 19.解: (Ⅰ) f ? ( x ) ? 4 x ? 3 a x ? 4 x ? x ( 4 x ? 3 a x ? 4 ) .

A

当a ? ?

10 3

2 时, f ? ( x ) ? x ( 4 x ? 1 0 x ? 4 ) ? 2 x ( 2 x ? 1) ( x ? 2 ) .

令 f ? ( x ) ? 0 ,解得 x 1 ? 0 , x 2 ?

1 2

, x3 ? 2 .

当 x 变化时, f ? ( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:
1 ? ? ? 0, ? 2 ? ?

x

( ?∞ , ) 0

0

1 2

? 1 ? 2 ? ,? ? 2 ?

2

( 2, ∞ ) ?

f ?( x )

?

0

?

0

?

0

?

f (x)


? ? 1 ? 2 ?

极小值



极大值


? 1

极小值



所以 f ( x ) 在 ? 0 , ? , ( 2, ∞ ) 内是增函数,在 ( ?∞ , ) , ? ? 0

? , ? 内是减函数. 2 ? 2 ?

6

2 (Ⅱ)解: f ? ( x ) ? x ( 4 x ? 3 a x ? 4 ) ,显然 x ? 0 不是方程 4 x 2 ? 3 a x ? 4 ? 0 的根.

为使 f ( x ) 仅在 x ? 0 处有极值,必须 4 x 2 ? 3 a x ? 4 ≥ 0 恒成立,即有 ? ? 9 a 2 ? 6 4 ≤ 0 . 解此不等式,得 ?
8 3 ≤ a≤ 8 3
? 8 8?

.这时, f ( 0 ) ? b 是唯一极值.

因此满足条件的 a 的取值范围是 ? ? , ? . ? 3 3? (Ⅲ)解:由条件 a ? ? ? 2, ? 可知 ? ? 9 a 2 ? 6 4 ? 0 ,从而 4 x 2 ? 3 a x ? 4 ? 0 恒成立. 2 当 x ? 0 时, f ? ( x ) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ? ( x ) ? 0 . 因此函数 f ( x ) 在 ? ? 1,? 上的最大值是 f (1) 与 f ( ? 1) 两者中的较大者. 1 为使对任意的 a ? ? ? 2, ? ,不等式 f ( x ) ≤ 1 在 ? ? 1,? 上恒成立,当且仅当 2 1
? f (1) ≤ 1, ? ? f ( ? 1) ≤ 1,

即?

? b ≤ ? 2 ? a, ?b ≤ ?2 ? a

在 a ? ? ? 2, ? 上恒成立.所以 b ≤ ? 4 ,因此满足条件的 b 的取值范围是 2 20.解: (I)由题意得:(100-x)· 3000 ·(1+2x%) ≥100×3000,…3 分 2 即 x -50x≤0,解得 0≤x≤50,……5 分 又∵x>0 ∴0<x≤50;………7 分 (II)设这 100 万农民的人均年收入为 y 元, 则 y= (100-x)× 3000× (1+2x%)+3000ax -60x2+3000(a+1)x+300000 = 100 100 (0<x≤50) ……9 分

3 即 y=- [x-25(a+1)]2+3000+475(a+1)2 5

(i)当 0<25(a+1)≤50,即 0<a≤1,当 x=25(a+1)时,y 最大;…………11 分 (ii)当 25(a+1)>50,即 a >1,函数 y 在(0,50]单调递增, ∴当 x=50 时,y 取最大值…13 分 答:在 0<a≤1 时,安排 25(a+1)万人进入企业工作,在 a>1 时安排 50 万人进入企业工 作,才能使这 100 万人的人均年收入最大.………14 分 解:(1)∵ f ( ? 1 ) ? 0 ,∴ a ? b ? 1 ? 0 ,……………………(1 分) 又 x ? R , f ( x ) ? 0 恒成立,∴ ?
2

?a ? 0 ?? ? b
2

? 4a ? 0

-………………(2 分) ,

∴ b ? 4 ( b ? 1 ) ? 0 ,∴ b ? 2 , a ? 1 ………………(3 分). ∴ f ( x ) ? x ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1) . ………………(4 分)
2 2

(2) g ( x ) ? f ( x ) ? k x ? x ? 2 x ? 1 ? k x ? x ? ( 2 ? k ) x ? 1 ………………(5 分)
2 2

? (x ?

2 ? k 2

)

2

?1?

(2 ? k ) 4

2

,当

k ? 2 2

? 2或

k ? 2 2

? ? 2 时,………(7 分)

7

即 k ? 6 或 k ? ? 2 时, g ( x ) 是单调函数.…………………………(8 分) (3) ∵ f ( x ) 是偶函数,∴ f ( x ) ? ax
2
2

? 1 , …………………………(9 分)

? (x ? 0) ? ax ? 1 ………………………………(10 分) , F (x) ? ? 2 ? ? ax ? 1 ( x ? 0 ) ?

∵ m ? n ? 0 , 设 m ? n , 则 n ? 0 .又 m ? n ? 0 , m ? ? n ? 0 , ∴ | m | ? | ? n | ,------(12 分)
F ( m ) + F ( n ) ? f ( m ) ? f ( n ) ? ( am
2

? 1 ) ? an

2

? 1 ? a (m

2

? n ) ? 0 ,
2

∴ F ( m ) + F ( n ) 能大于零. …………………………(14 分)

8


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