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江苏省南京市2016届高三9月学情调研测试数学试题


南京市 2016 届高三学情调研考试 数
注意事项: 1.本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题)、解答题(第 15 题~第 20 题)两部分.本 试卷满分为 160 分,考试时间为 120 分钟. 2.答题前,请务必将自己的姓名、学校、班级写在答题纸上.试题的答案写在答题 纸 上对应 .. . 题目的答案空格内.考试结束后,交回答题纸. 参考公式 1

n 1 n 样本数据 x1,x2,?,xn 的方差 s2= ∑(xi-- x )2,其中- x = ∑xi. n i=1 n i=1 1 锥体的体积公式:V= Sh,其中 S 为锥体的底面积,h 为锥体的高. 3 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需要写出解答过程,请把答案写在答题 纸的指定位置上) 1.已知集合 A={-1,0,1,2},B={x|x2-1>0},则 A∩B=________ ▲ . 2.已知复数 z 满足:z(1-i)=2+4i,其中 i 为虚数单位,则复数 z 的模为________ ▲ . 3. 某射击选手连续射击 5 枪命中的环数分别为:9.7,9.9,10.1,10.2,10.1,则这组数据的方差为 ▲ . ________ 4.从 2 个红球,2 个黄球,1 个白球中随机取出两个球,则两球颜色不同的概率是________ ▲ . 5.已知向量 a=(1,2),b=(m,4),且 a∥(2a+b),则实数 m 的值为________ ▲ . 6.如图,它是一个算法的流程图,最后输出的 k 值为________ ▲ .
开始 k←1 S←0 k←k+1



2015.09

y 3

-1
S<20 N 输出 k 结束 (第 6 题图) S←S+2 Y
k

O

3

x

-3
(第 7 题图)

7. 如图, 它是函数 f(x)=Asin(?x +?)(A>0, ?>0, ??[0, 2?) )图象的一部分, 则 f (0)的值为________ ▲ .
[来 源:学§科§网]

x2 y2 8.已知双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的一条渐近线的方程为 2x-y=0,则该双曲线的离心率为 a b ▲ . ________ 9.直三棱柱 ABC-A1B1C1 的各条棱长均为 2,E 为棱 CC1 的中点,则三棱锥 A1-B1C1E 的体积 为________ ▲ 10.对于直线 l,m,平面 α,m?α,则“l⊥m”是“l⊥α”成立的________ ▲ 条件.(在“充分不必 要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个). 1 11. 已知函数 f(x)= x3+x2-2ax+1, 若函数 f(x)在(1, 2)上有极值, 则 实数 a 的取值范围为________ ▲ . 3 → → → → 12. 已知平行四边形 ABCD 中, AD=2, ∠BAD=60° . 若 E 为 DC 中点, 且 AE · BD =1, 则 BD · BE 的值为________ ▲ . 13.已知等比数列{an}的公 比 q>1,其前 n 项和为 Sn.若 S4=2S2+1,则 S6 的最小值为________ ▲ . 14.在平面直角坐标系 xOy 中,A,B 为 x 轴正半轴上的两个动点,P(异于原点 O)为 y 轴上的一 个定点.若以 AB 为直径的圆与圆 x2+(y-2)2=1 相外切,且∠APB 的大小恒为定值,则线段 OP 的长 为________ ▲ . 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把 答案写在答题纸的指定区域内) 15.(本小题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 acosB=bcosA. b (1)求 的值; a 1 π (2)若 sinA= ,求 sin(C- )的值. 3 4

16.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,E 为侧棱 PA 的中点. (1)求证:PC // 平面 BDE; (2)若 PC⊥PA,PD=AD,求证:平面 BDE⊥平面 PAB.
C B

D E P (第 16 题图)

A

17.(本小题满分 14 分) 某市对城市路网进行改造,拟在原有 a 个标段(注:一个标段是指一定长度的机动车道)的基 础上,新建 x 个标段和 n 个道路交叉口,其中 n 与 x 满足 n=ax+5.已知新建一个标段的造价 为 m 万元,新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的 k 倍. (1)写出新建道路交叉口的总造价 y(万元)与 x 的函数关系式; (2)设 P 是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比.若新建的标段数是原有标段数 1 的 20%,且 k≥3.问:P 能否大于 ,说明理由. 20

18.(本小题满分 16 分) x2 y2 2 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,一条准线方程为 x = 2.过椭圆的上顶点 A 作一条 a b 2 与 x 轴、y 轴都不垂直的直线交椭圆于另一点 P,P 关于 x 轴的对称点为 Q. (1)求椭圆的方程; (2)若直线 AP,AQ 与 x 轴交点的横坐标分别为 m,n,求证:mn 为常数,并求出此常数.
y A Q

O P

x

(第 18 题图)

19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)=ex,g(x)=x-b,b∈R. (1)若函数 f(x)的图象与函数 g(x )的图象相切,求 b 的值; (2)设 T(x)=f(x)+ag(x),a∈R,求函数 T(x)的单调增区间; (3)设 h(x)=|g(x)|·f(x),b<1.若存在 x1,x2∈[0,1],使|h(x1)-h(x2)|>1 成立,求 b 的 取值 范围.

20.(本小题满分 16 分) 已知等差数列{an}的前 n 项和为 S n,且 2a5-a3=13,S4=16. (1)求数列{an}的前 n 项和 Sn; (2)设 Tn= ∑ (-1)iai,若对一切正整数 n,不等式 λTn<[an+1+(-1)n 1an]·2n


n

-1

恒成立,求实

i=1

数 λ 的取值范围; (3)是否存在正整数 m,n(n>m>2),使得 S2,Sm-S2,Sn-Sm 成等比数列?若存在,求出所 有的 m,n;若不存在,说明理由.
[来源:Z。xx。k.Com]

南京市 2016 届高三学情调研考试 数学附加题
注意事项: 1.附加题供选修物理的考生使用. 2.本试卷共 40 分,考试时间 30 分钟. 3.答题前,考生务必将自己的姓名、学校写在答题纸上.试题的答案写在答 题 纸 上对应题目的 . . . 答案空格内.考试结束后,交回答 题纸. 21.【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只要选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题纸指 .... 定区域内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .... A.选修 4—1:几何证明选讲 在圆 O 中,AB,CD 是互相平行的两条弦,直线 AE 与圆 O 相切于点 A,且与 CD 的延长线交 于点 E,求证:AD2=AB·ED. A B 2015.09

· O
E D C

B.选修 4-2:矩阵与变换 已知点 P(3,1)在矩阵 A=

(第 21 题(A)图)

? a 2 ?变换下得到点 P′(5,-1).试求矩阵 A 和它的逆矩阵 A-1. ? b -1 ?

C.选修 4-4:坐标系与参数方程
?x=m+2cosα, ? 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为? (α 为参数,m 为常数).以原点 ?y=2sinα ? π O 为极点,以 x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 ρcos(θ- )= 2.若 4

直线 l 与圆 C 有两个公共点,求实数 m 的取值范围.

D.选修 4-5:不等式选讲 设实数 x,y,z 满足 x+5y+z=9,求 x2+y2+z2的最小值.

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答 题 纸指定区域内 作答.解答应写出 . . ...... 文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分) 2 假定某射手射击一次命中目标的概率为 .现有 4 发子弹,该射手一旦射中目标,就停止射击, 3 否则就一直独立地射击到子弹用完.设耗用子弹数为 X,求: (1)X 的概率分布; (2)数学期望 E(X).

[来源:Zxxk.Com]

[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

23.(本小题满分 10 分) 如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 中,AB= 2,CE=1,CE⊥平面 ABCD. (1)求异面直线 DF 与 BE 所成角的余弦值; (2)求二面角 A-DF-B 的大小. E F C B

D
(第 23 题图)

A

南京市 2016 届高三学情调研考试 数学参考答案及评分标准
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分 标准制订相应的评分细则.

2015.09

2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有 较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.{2} 6.5 3 11.( ,4) 2 2. 10 3 2 7. 2 12.3 3.0.032 8. 5 13.2 3+3 4 4. 5 9. 3 3 5.2 10.必要不充分

14. 3

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15.解:(1)由 acosB=bcosA,得 sinAcosB=sinBcosA, 即 sin(A-B)=0. 因为 A,B∈(0,π),所以 A-B∈(-π,π),所以 A-B=0, b 所以 a=b,即 =1. a ???????????????????????????6 分 ?????????????3 分

1 2 2 (2)因为 sinA= ,且 A 为锐角,所以 cosA= . ???????????????8 分 3 3 4 2 所以 sinC=sin(π-2A)=sin2A=2sinAcosA= , ???????????????10 分 9 7 cosC=cos(π-2A)=-cos2A=-1+2sin2A=- .????????????????12 分 9 π π π 8+7 2 所以 sin(C- )=sinCcos -cosCsin = .?????????????????14 分 4 4 4 18 16.证明:(1)连结 AC,交 BD 于 O,连结 OE. 因为 ABCD 是平行四边形,所以 OA=OC.???????????????????2 分 因为 E 为侧棱 PA 的中点,所以 OE∥PC.???????????????????4 分 因为 PC? / 平面 BDE,OE?平面 BDE,所以 PC // 平面 BDE.???????????6 分 (2)因为 E 为 PA 中点,PD=AD,所以 PA⊥DE.???????????????8 分 因为 PC⊥PA,OE∥PC,所以 PA⊥OE. 因为 OE?平面 BDE,DE?平面 BDE,OE∩DE=E, 所以 PA⊥平面 BDE.????????????12 分 因为 PA?平面 PAB,所以平面 BDE⊥平面 PAB. D E P A C O B

????????????14 分

17.解:(1)依题意得 y=mkn=mk(ax+5),x∈N*. 分 (2)方法一 依题意 x=0.2a.

???????????????? 4

????????????????????6 分 ????????????????8 分

mx x 0.2a a 所以 P= = = = y k(ax+5) k (0.2a2+5) k(a2+25) ≤ a = 3(a2+25) ≤ 25 3(a+ ) 3×(2 a 1 1

1 1 = < . ??????????????13 分 25 30 20 a× ) a ????????????????????14 分 ????????????????????6 分

1 答:P 不可能大于 . 20 方法二 依题意 x=0.2a.

mx x 0.2a a 所以 P= = = = .????????????????8 分 y k(ax+5) k (0.2a2+5) k(a2+25) 1 假设 P> ,得 ka2-20a+25k<0. 20 ????????????????10 分

因为 k≥3,所以△=100(4-k2)<0,不等式 ka2-20a+25k<0 无解.????????13 分 1 答:P 不可能大于 . 20 c 2 a2 18.解: ⑴因为 = , = 2, a 2 c 所以 a= 2,c=1,所以 b= a2-c2=1. x2 故椭圆的方程为 +y2=1. 2 ??????????????????4 分 ????????????????????14 分

⑵解法一 设 P 点坐标为(x 1,y1),则 Q 点坐标为(x1, – y1). 因为 kAP= y1-1 y1-1 y1-1 = ,所以直线 AP 的方程为 y= x+1. x1 x1 x1-0 ??????????????????8 分

x1 令 y = 0,解得 m=- . y1-1 因为 kAQ=

-y1-1 y1+1 y1+1 =- ,所以直线 AQ 的方程为 y=- x+1. x1 x1 x1-0 ??????????????????12 分
2

x1 令 y=0,解得 n= . y1+1 -x1 x1 x1 所以 mn= ? = 2. y1-1 y1+1 1-y1
2

??????????????????14 分
2

x2 2 x1 x1 2 2 又因为(x1,y1)在椭圆 + y = 1 上,所以 + y1= 1,即 1-y1= , 2 2 2

x1 所以 2=2,即 mn=2. 1 – y1 所以 mn 为常数,且常数为 2. 分 解法二 设直线 AP 的斜率为 k(k≠0),则 AP 的方程为 y = kx +1, 1 令 y = 0,得 m=- . k 分 ??????????????????6 ??????????????????16

2

?y2= kx + 1, ? 联立 方程组?x 2 ? ? 2 + y =1,

[来源:学。科。网]

4k 消去 y,得(1+2k2)x2+4kx=0,解得 xA=0,xP =- , 1 + 2k2 1-2k2 所以 yP=k× xP+1= , 1+2k2 1-2k2 4k 则 Q 点的坐标为(- ). 2,- 1 + 2k 1+2k2

?????????8 分

??????????????????10 分

1-2k2 -1+2k2-1 1 1 所以 kAQ= = ,故直线 AQ 的方程为 y= x+1. 4k 2k 2k - 1 + 2k2 令 y=0,得 n=-2k, 1 所以 mn=(- )?(-2k)=2. k 所以 mn 为常数,常数为 2. ??????????????????16 分 ??????????????????14 分

19.解:(1)设切点为(t,et),因为函数 f(x)的图象与函数 g(x)的图象相切, 所以 e =1,且 e =t-b, 解得 b=-1. (2)T(x)=e +a(x-b),T ′(x)=e +a. 当 a≥0 时,T′(x)>0 恒成立. 当 a<0 时,由 T′(x)>0,得 x>ln(-a). ??????????????????4 分 ??????????????????6 分
x x t t

???????????????????2 分

所以,当 a≥0 时,函数 T(x)的单调增区间为(-∞,+∞); 当 a<0 时,函数 T(x)的单调增区间为(ln(-a),+∞). ???????????8 分
?(x-b) ex, x≥b, (3) h(x)=|g(x)|·f(x)=? x ?-(x-b) e , x<b.

当 x>b 时,h′(x)=(x-b+1) ex>0,所以 h(x)在(b,+∞)上为增函数; 当 x<b 时,h′(x)=-(x-b+1) ex,

因为 b-1<x<b 时,h′(x)=-(x-b+1) ex<0,所以 h(x)在(b-1,b)上是减函数; 因为 x<b-1 时, h′(x)=-(x-b+1) ex>0,所以 h(x)在(-∞,b-1)上是增函数. ???????????10 分 ① 当 b≤0 时,h(x)在(0,1)上为增函数. 所以 h(x)max=h(1)=(1-b)e,h(x)min=h(0)=-b. 由 h(x)max-h(x)min>1,得 b<1,所以 b≤0. e ②当 0<b< 时, e+1 ???????????12 分

因为 b<x<1 时, h′(x)=(x-b+1) ex>0,所以 h(x)在(b,1)上是增函数, 因为 0<x<b 时, h′(x)=-(x-b+1) ex<0,所以 h(x)在(0,b)上是减函数. 所以 h(x)max=h(1)=(1-b)e,h(x)min=h(b)=0. e-1 由 h(x) max-h(x) min>1,得 b< . e 因为 0<b< e-1 e ,所以 0<b< . e e+1 ???????????14 分

e ③当 ≤b<1 时, e+1 同理可得,h(x)在(0,b)上是减函数,在(b,1)上是增函数. 所以 h(x)max=h(0)=b,h(x)min=h(b)=0. 因为 b<1,所以 h(x)max-h(x)min>1 不成立. e-1 综上,b 的取值范围为(-∞, ). ?????? ?????????16 分 e 20.解:(1)设数列{an}的公差为 d. 因为 2a5-a3=13,S4=16,
?2(a1+4d)-(a1+2d)=13, 所以? 解得 a1=1,d=2,?????????????????2 分 ?4a1+6d=16.

所以 an=2n-1,Sn =n2. (2)①当 n 为偶数时,设 n=2k,k∈N*,

?????????????????4 分

则 T2k=(a2-a1)+(a4-a3)+?+(a2k-a2k-1)=2k. ?????????????????5 分 代入不等式 λTn<[an+1+(-1)n 1an]·2n
+ + -1

4k ,得 λ·2k<4k,从而 λ< . 2k

k 4k 1 4k 4k 4 (3k-1) 设 f(k)= ,则 f(k+1)-f(k)= - = . 2k 2(k+1) 2k 2k(k+1)

因为 k∈N*,所以 f(k+1)-f(k)>0,所以 f(k)是递增的,所以 f(k)min=2, 所以 λ<2. ②当 n 为奇数时,设 n=2k-1,k∈N*, 则 T2k-1=T2k-(-1)2ka2k=2k-(4k-1)=1-2k. ?????????????????8 分 代入不等式 λTn<[an+1+(-1)n 1an]·2n
+ -1

?????????????????7 分

,得 λ·(1-2k)<(2k-1)4k,

从而 λ>-4k.

因为 k∈N*,所以-4k 的最大值为-4,所以 λ>-4. 综上,λ 的取值范围为-4<λ<2. ?????????????????10 分

(3)假设存在正整数 m,n(n>m>2),使得 S2,Sm-S2,Sn-Sm 成等比数列, 则(Sm-S2)2=S2·(Sn-Sm),即(m2-4)2=4(n2-m2), 所以 4n2=(m2-2)2+12,即 4n2-(m2-2)2=12, ?????????????????12 分 即(2n-m2+2)(2n+m2-2)=12. 分 因为 n>m>2,所以 n≥4,m≥3,所以 2n+m2-2≥15. 因为 2n-m2+2 是整数,所以等式(2n-m2+2)(2n+m2-2)=12 不成立, 故不存在正整数 m,n(n>m>2),使得 S2,Sm-S 2,Sn-Sm 成等比数列. ??????16 分 ?????????????????14

南京市 2016 届高三学情调研考试 数学附加题参考答案及评分标准
21.【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共 20 分. A.选修 4—1:几何证明选讲 证明:连接 BD, 因为直线 AE 与圆 O 相切,所以∠EAD=∠ABD.?????????????????4 分 又因为 AB∥CD, 所以∠BAD=∠ADE, 所以△EAD∽△DBA. 分 ED AD 从而 = ,所以 AD2=AB·ED. ??????????????????????10 DA BA 分 B.选修 4—2:矩阵与变换 解:依题意得 ??????????????????????8

2015.09

3a+2 ? ? 5 ? ? a 2 ? ? 3 ?=? ? ?=? ?,????????????????????2 分 ? b -1 ? ? 1 ? ? 3b-1 ? ? -1 ?

?3a+2=5, ?a=1, 所以? 解得 ? ?3b-1=-1, ?b=0. 1 2? 所以 A=? . ????????????????????6 分 ? 0 -1 ? ? 1 2 ?=1×(-1)-0×2=-1,??????????????????8 分 因为 det(A)= ? 0 -1 ? ?1 2? 所以 A-1=? ???????????????????10 分 ?. ? 0 -1 ?

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 解:圆 C 的普通方程为(x-m)2+y2=4. 直线 l 的极坐标方程化为 ρ ( 即 分 |m-2 | 因为圆 C 的圆心为 C(m,0),半径为 2,圆心 C 到直线 l 的距离 d= , 2 所以 d= 分 解得 2-2 2<m<2+2 2. 分 ?????????????????????10 |m-2 | < 2, 2 ??????????????????????8 ??????????????????????2 分 2 2 cosθ+ sinθ)= 2, 2 2 ?????????????????????4

2 2 x+ y= 2,化简得 x+y-2=0. 2 2

D.选修 4—5:不等式选讲 解:由柯西不等式得(x2+y2+z2)(12+52+12)≥(1·x+5·y+1·z)2. ???????????6 分 因为 x+5y+z=9,所以 x2+y2+z2≥3, 1 5 1 当且仅当 x= ,y= ,z= 时取等号. 3 3 3 所以 x2+y2+z2的最小值为 3. ??????????????????????10 分 ???????????????????8 分

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共 20 分. 22.解:耗用子弹数 X 的所有可能取值为 1,2,3,4. 2 当 X=1 时,表示射击一次,命中目标,则 P(X=1)= ; 3 2 2 2 当 X=2 时,表示射击两次,第一次未中,第二次射中目标,则 P(X=2)=(1- )× = ;??? 3 3 9 2分 2 当 X=3 时,表示射击三次,第一次、第二次均未击中,第三次击中,则 P(X=3)=(1- )×(1 3 2 2 - )× 3 3 2 = ; 27 4分 当 X=4 时,表示射击四次,前三次均未击中,第四次击中或四次均未击中, 2 2 2 2 2 2 2 2 1 则 P(X=4)=(1- )×(1- )×(1- )× +(1- )×(1- )×(1- )×(1- )= . 3 3 3 3 3 3 3 3 27 X 的概率分布为
X P 1 2 3 2 2 9 3 2 27 4 1 27

??????????????

??????????????????????6 分 2 2 2 1 40 (2)E(X)=1× +2× +3× +4× = . 3 9 27 27 27 分 → → → 23.解:⑴以{ CD , CB , CE }为正交基底,建立如图空间直角坐标系 C-xyz, 则 D( 2,0,0),F( 2, 2,1),E(0,0,1),B(0, 2,0),C(0,0,0), → → 所以 DF =(0, 2,1), BE =(0,– 2,1),??????2 分 –1 1 → → 从而 cos< DF , BE >= =- . ????????4 分 3 3? 3 z E F C ???????????????????10

B y

1 所以直线 DF 与 BE 所成角的余弦值为 .???????5 分 3 → (2)平面 ADF 的法向量为 m= CD = ( 2,0,0).?????6 分 → 设面 BDF 的法向量为 n = (x,y,z).又 BF =( 2,0,1). → → 由 n· DF =0,n· BF =0, 得 2y+z=0, 2x+z=0, 取 x=1,则 y=1,z=– 2,所以 n = (1,1,- 2),???????????????8 分 2 1 所以 cos<m,n>= = . 4? 2 2 ? 又因为<m,n>∈[0,?],所以<m,n>= . 3 ? 所以二面角 A – DF – B 的大小为 . ??????????????????????10 分 3


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