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2014《创新设计》三轮——考前体系通关倒数第4天


倒数第 4 天

立体几何

[保温特训] 1.一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该球的体积为 4 3π,则该正方 体的表面积为________. 解析 4πR3 设正方体的棱长为 a,球的半径为 R,则依题意有 3 =4 3π,解得 R

= 3.因为 3a=2R=2 3,所以 a=2.故该正方体的面积为 6a2

=24. 答案 24

2.一块边长为 10 cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的 四个全等的等腰三角形作侧面,以它们的公共顶点 P 为顶点,加工成一个如 图所示的正四棱锥形容器.当 x=6 cm 时,该容器的容积为________cm3.

解析

由题意可知道,这个正四棱锥形容器的底面是以 6 cm 为边长的正方

形,侧高为 5 cm,高为 4 cm,所以所求容积为 48 cm3. 答案 48

3.如图,在多面体 ABCDEF 中,已知 ABCD 是边长为 1 的正方形,且△ADE、 △BCF 均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为________.

解析

如图,分别过点 A、B 作 EF 的垂线,垂足分别为 G、

1 H,连接 DG、CH,容易求得 EG=HF=2,AG=GD=BH 3 =HC= 2 , 1 2 2 所以 S△AGD=S△BHC=2× 2 ×1= 4 ,

1 2 1 1 2 1 2 2 所以 V=VE ADG+VF BHC+VAGD BHC= × 3 4 ×2+3× 4 ×2+ 4 ×1= 3 . 答案 2 3

4.已知 l,m 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,下列命题: ①若 l?α,m?α,l∥β,m∥β,则 α∥β; ②若 l?α,l∥β,α∩β=m,则 l∥m; ③若 α∥β,l∥α 则 l∥β; ④若 l⊥α,m∥l,α∥β,则 m⊥β. 其中真命题是______________(写出所有真命题的序号). 解析 答案 ①:只有当 l 与 m 相交时,才可证明 α∥β;③:l 可能在平面 β 内. ②④

5.设 α,β 为两个不重合的平面,m,n 为两条不重合的直线,给出下列四个命 题: ①若 m⊥n,m⊥α,n?α 则 n∥α; ②若 α⊥β,则 α∩β=m,n?α,n⊥m,则 n⊥β; ③若 m⊥n,m∥α,n∥β,则 α⊥β; ④若 n?α,m?β,α 与 β 相交且不垂直,则 n 与 m 不垂直. 其中,所有真命题的序号是________. 解析 ③错误, α, β 相交或平行; ④错误, n 与 m 可以垂直, 不妨令 n=α∩β,

则在 β 内存在 m⊥n. 答案 ①②

6.已知 α,β 是两个不同的平面,下列四个条件: ①存在一条直线 a,a⊥α,a⊥β; ②存在一个平面 γ,γ⊥α,γ⊥β; ③存在两条平行直线 a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α; ④存在两条异面直线 a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α. 其中是平面 α∥平面 β 的充分条件的为________(填上所有符号要求的序号). 解析 ①正确,此时必有 α∥β;②错误,因为此时两平面平行或相交均可;

③错误,当两直线 a,b 在两平面内分别与两平面的交线平行即可;④正确,

由于 α∥β,经过直线 α 的平面与平面 β 交于 a′,则 a∥a′,即 a′∥α,又 b∥α,因为 a,b 为异面直线,故 a′,b 为相交直线,由面面平行的判定定 理可知 α∥β,综上可知①④是平面 α∥平面 β 的充分条件. 答案 ①④

7.设 a,b 为空间的两条直线,α,β 为空间的两个平面,给出下列命题: ①若 a∥α,a∥β,则 α∥β;②若 a⊥α,α⊥β,则 α⊥β; ③若 a∥α,b∥α,则 a∥b; ④若 a⊥α,b⊥α,则 a∥b. 上述命题中,所有真命题的序号是________. 解析 若 a∥α,a∥β,则 α∥β 或 α 与 β 相交,即命题①不正确;若 a⊥α,a

⊥β,则 α∥β,即命题②不正确;若 a∥α,b∥α,则 a∥b 或 a 与 b 相交或 a 与 b 异面,即命题③不正确;若 a⊥α,b⊥α,则 a∥b,即命题④正确,综上 可得真命题的序号为④. 答案 ④

8.已知棱长为 2的正方体,则以该正方体各个面的中心为顶点的多面体的体积 为________.

解析

以正方体各个面的中心为顶点的多面体是两个全等的正四棱锥的组合

体,如图,一个正四棱锥的高是正方体的高的一半,故所求的多面体的体积 1 ?1 2 ? 1 为 2×3×?2× 2× 2?×2× 2= 3 . ? ? 答案 2 3

9.已知平面 α,β,γ,直线 l,m 满足:α⊥γ,γ∩α=m,γ∩β=l,l⊥m,那么 ①m⊥β;②l⊥α;③β⊥γ;④α⊥β. 由上述条件可推出的结论有 ________( 请将你认为正确的结论的序号都填 上). 解析 画图可知

①m⊥β、③β⊥γ 不一定成立. 答案 ②④

10.已知直线 l⊥平面 α,直线 m?平面 β,给出下列命题: ①α∥β?l⊥m;②α⊥β?l∥m;③l∥m?α⊥β;④l⊥m?α∥β. 其中正确命题的序号是________. 解析 α∥β?直线 l⊥平面 β,由于直线 m?平面 β,∴l⊥m 故①正确;由 l

∥m,直线 l⊥平面 α 可推出直线 m⊥平面 α,而直线 m?平面 β,∴α⊥β 故 ③正确. 答案 ①③

11.在三棱柱 ABC A1B1C1 中,AA1⊥BC,∠A1AC=60° , AA1=AC=BC=1,A1B= 2. (1)求证:平面 A1BC⊥平面 ACC1A1; (2)如果 D 为 AB 的中点,求证:BC1∥平面 A1CD. 证明 (1)在△A1AC 中,∠A1AC=60° ,AA1=AC=1,

∴A1C=1,△A1BC 中,BC=1,A1C=1,A1B= 2, ∴BC⊥A1C,又 AA1⊥BC,∴BC⊥平面 ACC1A1, ∵BC?平面 A1BC,∴平面 A1BC⊥平面 ACC1A1. (2)连接 AC1,交 A1C 于 O,连接 DO,则由 D 为 AB 中点,O 为 A1C 中点得,OD∥BC1,OD?平面 A1DC,BC1?平面 A1DC, ∴BC1∥平面 A1DC. 12.如图,在三棱锥 S ABC 中,平面 EFGH 分别与 BC, CA,AS,SB 交于点 E,F,G,H,且 SA⊥平面 EFGH, SA⊥AB,EF⊥FG. 求证:(1)AB∥平面 EFGH; (2)GH∥EF; (3)GH⊥平面 SAC. 证明 (1)因为 SA⊥平面 EFGH,GH?平面 EFGH,

所以 SA⊥GH. 又因为 SA⊥AB,SA,AB,GH 都在平面 SAB 内, 所以 AB∥GH.

因为 AB?平面 EFGH,GH?平面 EFGH, 所以 AB∥平面 EFGH. (2)因为 AB∥平面 EFGH,AB?平面 ABC, 平面 ABC∩平面 EFGH=EF, 所以 AB∥EF. 又因为 AB∥GH,所以 GH∥EF. (3)因为 SA⊥平面 EFGH,SA?平面 SAC, 所以平面 EFGH⊥平面 SAC,交线为 FG. 因为 GH∥EF,EF⊥FG,所以 GH⊥FG. 又因为 GH?平面 EFGH, 所以 GH⊥平面 SAC. 13.如图 a,在直角梯形 ABCD 中,AB⊥AD,AD∥BC,F 为 AD 的中点,E 在 BC 上,且 EF∥AB.已知 AB=AD=CE=2,沿线 EF 把四边形 CDFE 折起如 图 b,使平面 CDFE⊥平面 ABEF.

(1)求证:AB⊥平面 BCE; (2)求三棱锥 C ADE 体积. (1)证明 在题图 a 中,EF∥AB,AB⊥AD,

∴EF⊥AD, 在题图 b 中, CE⊥EF, 又平面 CDFE⊥平面 ABEF, 且平面 CDFE∩ 平面 ABEF=EF, CE⊥平面 ABEF,AB?平面 ABEF,∴CE⊥AB,又∵AB⊥BE,BE∩CE=E, ∴AB⊥平面 BCE; (2)解 ∵平面 CDFE⊥平面 ABEF,且平面 CDFE∩平面 ABEF=EF,AF⊥

FE,AF?平面 ABEF,∴AF⊥平面 CDEF,∴AF 为三棱锥 A CDE 的高,且 1 AF=1,又∵AB=CE=2,∴S△CDE=2×2×2=2,

1 1 2 ∴VC S AF = × 2 × 1 = △CDE· ADE= · 3 3 3. [知识排查] 1.弄清楚球的简单组合体中几何体度量之间的关系,如棱长为 a 的正方体的外 3 接球的半径为 2 a. 2.搞清几何体的表面积与侧面积的区别,几何体的表面积是几何体的侧面积与 所在底面面积之和,不能漏掉几何体的底面积. 3.立体几何中,平行、垂直关系可以进行以下转化:线∥线?线∥面?面∥面, 线⊥线?线⊥面?面⊥面,这些转化各自的依据是什么? 4. 平面图形的翻折,立体图形的展开等一类问题,要注意翻折,展开前后有关 几何元素的“不变量”与“不变性”. 5. 立几问题的求解分为“作”, “证”, “算”三个环节, 不能只“作”, “算”, 而忽视了“证”这一重要环节.


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