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不等式的证明(5)--放缩法和反证法


《高中数学同步辅导课程》

不等式的证明(5)--放缩法和反证法

教学目的: 要求学生掌握放缩法和反证法证明不等式 . 教学重点: 放缩法 .
王新敞
奎屯 新疆

教学难点: 反证法 .

一、复习引入

1.基本不等式及其常用变式 (1)a 2 ? b 2 ? 2ab (a, b ? R) a?b ? (2) ? ab (a, b ? R ) 2 a b (3) ? ? 2 (ab ? 0) b a a ? b 2 a 2 ? b2 (4)ab ? ( ) ? ( a, b ? R ) 2 2 2 2 2 (5)a + b + c ? ab+bc + ca (a,b,c ? R)

一、复习引入

2.调和平均数、几何平均数、算术平均 数、平方平均数(均方根)的大小关系:a,b ? R ? , 2ab a?b a 2 ? b2 则 ? ab ? ? a+ b 2 2
3.极值定理的应用条件: 一正二定三相等 极值定理的应用规则:和定积最大,积定和最小

一、复习引入

4.作差比较法的步骤: 作差——变形(化简)——定号(差值 的符号)
5.作商比较法的步骤: 作商——变形(化简)——判断 (商值与实数1的大小关系)——得出结论

一、复习引入 6.综合法: 依据题设的条件与常见的基本不等式,以及不 等式的性质,运用不等式的变换,从已知条件推出 所要证明的不等式,这种证明方法叫做综合法. 7.综合法的思维特点是: 由因导果,即由已知条件出发,利用已知 的数学定理、性质和公式,推出结论的一种证 明方法 .

A ? B1 ? B2 ? …… ? Bn ? B

一、复习引入 8.分析法: 证明不等式时,有时可以从求证的不等式 出发,分析使这个不等式成立的条件,把证明不 等式转化为判定这些条件是否具备的问题,如果 能够肯定这些条件都已具备,那么就可以断定原 不等式成立,这种方法通常叫做分析法 . 9.用分析法证明不等式的逻辑关系是:

B ? B1 ? B2 ? ? ? Bn ? A

一、复习引入 10.分析法的思维特点是:执果索因 11.分析法的书写格式: 要证明命题B为真, 只需要证明命题B1为真,从而有…… 这只需要证明命题B2为真,从而又有…… …… 这只需要证明命题A为真 而已知A为真,故命题B必为真.

一、复习引入 12.换元法的含义是:引进一个或几个新变量代替原 式中某些变量,使得原式化为简单明了的式子进行 论证或求值的方法叫做换元法. 三角代换法,如: ①若x2+y2=1,可令x=cosα,y=sinα
②若x2+y2≤R2,可令x=rcosα,y=rsinα(r≤R) ③当-1≤x≤1时,可令x=cosα,α∈[0,π] ④若y= 1 ? x2 可令x=cosα,此时y=sinα,α∈[0,π] 代数换元:整体换元、均值换元、设差换元等方法

二、新授内容 13.放缩法:在证明不等式中常将一边(或其中 一项)A放大为B(或缩小为B),得到不等式A≤B (或A≥B),连续使用不等式链A ≤ B ≤ …≤M,以 达到证明A≤M的方法,称为放缩法.其中放缩适度是 解决问题的关键. 14.放缩常用的技巧: (1)拿掉(或加进去)一些项,以期达到目的 (2)在分式中放大或缩小分子或分母 (3)可利用基本不等式进行放缩 放缩时一定要适度,放缩过大或不足都将达 不到预期的目的.因此要控制放缩的尺度.

二、新授内容 15.反证法的一般步骤: 反设结论

找出矛盾

肯定结论

在直接证明不等式有困难时,可以试用反证 法,在用反证法证明不等式时要严格按照步骤进 行,尤其反设要正确,推理要严密,防止由于推 理错误导致假证.

三、例题讲解 例1 若a, b, c, d?R+,求证:
a b c d 1? ? ? ? ?2 a?b?d b?c?a c?d ?b d ?a?c

证明:(用放缩法)记
a b c d m? ? ? ? a?b?d b?c?a c?d ?b d ?a?c

∵a, b, c, d?R+
a b c d ?m ? ? ? ? ?1 a ?b?c ? d a ?b?c ?a c ?d ?a ?b d ?a ?b ?c a b c d m? ? ? ? ?2 a?b a?b c?d d ?c

∴1 < m < 2

即原式成立.

三、例题讲解 例2 当 n > 2 时,求证: logn (n ? 1) logn (n ? 1) ? 1 证明:(用放缩法)∵n > 2

?logn (n ?1) ? 0, logn (n ?1) ? 0
? logn (n ?1) ? logn (n ? 1) ? ?logn (n ?1)logn (n ? 1) ? ? ? 2 ? ?
2 2 2 2

2

? log n (n ? 1) ? ? log n n ? ?? ? ?? ? ?1 2 ? ? ? 2 ?

∴n > 2时, logn (n ? 1) logn (n ? 1) ? 1

三、例题讲解 1 1 1 1 例3 求证: 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 1 2 3 n 证明:(用放缩法)当n≥2时, 1 1 1 1 ? 2? ? ? n n(n ? 1) n ? 1 n

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 2 ?? ? 2 1 2 3 n
1 1 1 1 1 1 ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 2? ? 2 2 2 3 n ?1 n n

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 2 ??? 2 ? 2 1 2 3 n

三、例题讲解 例4 设0 < a, b, c < 1,求证: 1 (1 ? a)b、(1 ? b)c、(1 ? c)a 不可能同时大于 4 证明:(用反证法)假设结论不正确,即
1 则三式相乘: (1 ? a)b(1 ? b)c(1 ? c)a ? 64

1 1 1 (1 ? a)b ? , (1 ? b)c ? , (1 ? c) a ? , 4 4 4

2

又∵a, b, c ∈(0 , 1) ?0 ? (1 ? a)a ? ? (1 ? a) ? a ? ? 1 ? ? 2 4 ? ? 1 1 (1 ? c )c ? (1 ? b)b ? 同理 4 4

此与①矛盾. 1 ∴(1 ? a)b、(1 ? b)c、(1 ? c)a 不可能同时大于 4
将以上三式相乘

(1 ? a )a (1 ? b)b(1 ? c)c ?

1 64

三、例题讲解 例5 已知a + b + c > 0,ab + bc + ca > 0,abc > 0, 求证:a, b, c ∈( 0 ,+∞).

证明:(用反证法)假设结论不正确, 即 a, b, c中至少有一个不是正数,不妨设a ≤0, ∵abc > 0, ∴ a <0, bc < 0 由a + b + c > 0得 b + c >?a > 0
∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 此与题设条件ab + bc + ca > 0相矛盾, ∴必有a > 0.

同理可证 b > 0, c > 0.

x? y x y ? 1.设 x > 0, y > 0, a ? , b? ,求证:a < b 1? x ? y 1? x 1? y x? y x y x y 放缩法:1 ? x ? y ? 1 ? x ? y ? 1 ? x ? y ? 1 ? x ? 1 ? y

四、练习 证明下列不等式:

2.lg9?lg11 < 1
lg 9 ? lg11? ? lg 99 ? ? 2? ? ?? ? ? ? ? ?1 2 ? ? ? 2 ? ? 2? 1 1 1 1 3. ? ? ??? ?1 2 n ?1 n ? 2 2n 1 1 1 1 1 ?n ? ? ??? ? ?n ?1 放缩法: 2n n ?1 n ? 2 2n n ? 1

放缩法: lg 9 ? lg11 ? ? ?

2

2

2

四、练习 证明下列不等式:
1? y 1? x 4.若 x, y > 0,且 x + y >2,则 和 中至少有一个小于 2. x y

1? y 1? x 反证法:假设结论不正确,即 ? 2, ?2 x y
∵x, y > 0, ∴1+y ≥2 x, 1+ x≥2y

∴ x + y ≤2 与x + y >2矛盾.

1? y 1? x ∴ 和 中至少有一个小于 2. x y

五、小结

1.放缩常用的技巧: (1)拿掉(或加进去)一些项,以期达到目的 (2)在分式中放大或缩小分子或分母 (3)可利用基本不等式进行放缩 放缩时一定要适度,放缩过大或不足都将达 不到预期的目的.因此要控制放缩的尺度.
2.反证法的一般步骤:

反设结论

找出矛盾

肯定结论

本节课到此结束,请同学们 课后再做好复习。谢谢!


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