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圆锥曲线定义、方程与性质


圆锥曲线定义、 第11讲 │ 圆锥曲线定义、方程与性质 11讲

第11讲 圆锥曲线定义、 11讲 圆锥曲线定义、 方程与性质

第11讲 │ 主干知识整合 11讲
主干知识整合
1.圆锥曲线的统一性 . (1)从方程的形式看 ,在直角坐标系中 , 椭圆 、 双曲 从方程的形式看,在直角坐标系中, 椭圆、 从方程的形式

看 线和抛物线这三种曲线的方程都是二元二次的, 所以也叫 线和抛物线这三种曲线的方程都是二元二次的 , 二次曲线. 二次曲线. (2)从点的集合 或轨迹 的观点看,它们都是与定点和 从点的集合(或轨迹 的观点看, 从点的集合 或轨迹)的观点看 的点的集合(或轨迹 或轨迹), 定直线距离的比是常数 e 的点的集合 或轨迹 ,这个定点 是它们的焦点,定直线是它们的准线, 是它们的焦点,定直线是它们的准线,只是由于离心率 e 取值范围的不同, 而分为椭圆、 双曲线和抛物线三种曲线. 取值范围的不同 , 而分为椭圆、 双曲线和抛物线三种曲线.

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(3)这三种曲线都可以是由平面截圆锥面得到 这三种曲线都可以是由平面截圆锥面得到 的截线,因而才称之为圆锥曲线. 的截线, 因而才称之为圆锥曲线. (4)圆锥曲线第二定义把 “ 曲线上的点 M” 、 圆锥曲线第二定义把“ 圆锥曲线第二定义把 ” “ 焦点 F”、 “ 相应准线 l”和 “离心率 e”四者巧 ” ” ” 妙地联系起来,所以在圆锥曲线的问题中, 凡与准 妙地联系起来, 所以在圆锥曲线的问题中, 圆锥曲线的问题中 离心率、焦点有关的问题应充分利用第二定义. 线 、离心率、焦点有关的问题应充分利用第二定义.

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2.焦半径 . 圆锥曲线上一点与其焦点的连线段称为这一点的焦半 下面是用的较多的焦半径公式: 径 , 下面是用的较多的焦半径公式 : x2 y2 (1)对于椭圆 2+ 2= 1(a>b>0)而言, 1|=a+ex0, 2| 而言, |PF 对于椭圆 而言 |PF = + a b = a-ex0. - x2 y2 (2)对于双曲线 2- 2= 1(a>0,b>0)而言, 若点 P 在右 而言, 对于双曲线 , 而言 a b 半支上, 半支上, 则 |PF1|=a+ex0, |PF2|=ex0- a; = + = ; 在左半支上, =-(ex |PF =- =-(ex 若点 P 在左半支上 , |PF1|=- 0+ a), 2|=- 0 则 =- , - a). . p 2 (3)对于抛物线 y = 2px(p>0)而言,|PF|= x0+ . 而言, 对于抛物线 而言 = 2

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以上各式中, 是曲线上的一点, 以上各式中 , P(x0, y0)是曲线上的一点 , F1、 F2 是曲线上的一点 分别是椭圆、双曲线的左、右焦点, 分别是椭圆 、双曲线的左、 右焦点 ,F 是抛物线的焦 在这里特别强调的是,由于曲线方程的不同, 点 ,在这里特别强调的是 , 由于曲线方程的不同 ,焦 半径公式也各不相同. 半径公式也各不相同.

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3.几个常用结论 . 椭圆的焦点三角形: (1)椭圆的焦点三角形:椭圆上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1、 椭圆的焦点三角形 F2 组成的三角形称为椭圆的焦点三角形 , 组成的三角形称为椭圆的焦点三角形, 解决与椭圆焦点三角形 有关的问题时,应注意椭圆的定义、正弦和余弦定理的运用. 有关的问题时, 应注意椭圆的定义 、 正弦和余弦定理的运用 . (2)关于抛物线焦点弦的几个结论: 设 AB 为过抛物线 y2= 关于抛物线焦点弦的几个结论 关于抛物 线焦点弦的几个结论: 2px(p>0)焦点的弦,A(x1,y1)、B(x2,y2),直线 AB 的倾斜角为 θ, 焦点的弦, 焦点的弦 、 , , p2 2p 2 =-p 则 ①x1x2= , y1y2=- ; ② |AB|= 2 ; ③以 AB 为直径的圆 = 4 sin θ 1 与准线相切; B 与准线相切 ; 焦点 F 对 A、 在准线上射影的张角为 90°; ④ 、 ; ⑤ |FA| + 1 2 = p. |FB|

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要点热点探究

?

探究点一

椭圆的标准方程与几何性质

例 1 已知两点 F1(-2,0), 2(2,0), - , F , 曲线 C 上的动点 M 满足|MF1 | 满足 + |MF2 |= 2|F1F2 |,直线 MF2 与曲线 C 交于另一点 P. = , (1)求曲线 C 的方程及离心率 ; 求曲线 的方程及离心率; (2)设 N(- 4,0),若 S△MNF2∶ S△PNF2= 3∶2,求直线 MN 的 设 - , △ △ ∶ , 方程. 方程 .

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解答】 【 解答 】 (1)因为 |F1F2|= 4, |MF1|+ |MF2|= 2|F1F2|= 因为 = , + = = 8>4, , 为焦点, 的椭圆. 所以曲线 C 是以 F1, F2 为焦点 ,长轴长为 8 的椭圆. x 2 y2 1 曲线 C 的方程为 + =1,离心率为 . , 16 12 2

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(2)显然直线 MN 不垂直于 x 轴, 显然直线 轴重合或平行. 也不与 x 轴重合或平行. , , = + 设 M(xM,yM),P(xP,yP),直线 MN 的方程为 y=k(x+ 4),其中 k≠0. , ≠
2 y2 ?x ? + =1 由?16 12 ,得(3+4k2)y2-24ky=0. + = ?y=k(x+4) ? = ( + ) 24k 24k .依题意 yM= 2 解得 y=0 或 y= 2 = = 依题意 , 4k +3 4k +3

-16k2+12 1 xM= yM- 4= .因为 S△ MNF2 ∶ S△ PNF2 = = 因为 △ △ 2 k 4k + 3 |MF2| 3 → 2 = 3 F 2 P. → 3∶2,所以 ∶ , = , 则MF |F2P| 2 2

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3 ? - ) ?2-xM=2(xP-2), 于是? ?0-yM=3(yP-0), - ) 2 ? 24k2+ 2 ? 2 ?xP= (2-xM)+ 2= 2 - = , 3 4k +3 ? 所以? -16k 2 ? ?yP=-3yM=4k2+3. ?
?24k 2+ 2? ? - 16k ? ? ?2 ?2 3? 2 + 4? 2 ?4k + 3? = 48. 4k +3 ? ? ? ? ?
2

因为点 P 在椭圆上,所以 在椭圆上,
4 2

7 3 2 舍去), 整理得 48k +8k - 21=0,解得 k = 或 k =- (舍去 , = , 舍去 12 4 21 21 .所以直线 MN 的方程为 y=± (x+4). 从而 k=± = 所以直线 = + . 6 6

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点评】 解决椭圆,双曲线,抛物线的问题, 【点评】 解决椭圆,双曲线,抛物线的问题,要牢牢 抓住其定义和性质,一些看起来很复杂,没有头绪的问题, 抓住其定义和性质,一些看起来很复杂,没有头绪的问题, 如果从定义上来考虑,往往会迎刃而解. 如果从定义上来考虑,往往会迎刃而解.一定不可脱离基 本概念,过分去追求技巧方法. 本概念,过分去追求技巧方法.本题的第二问需要把面积 问题转化为方程问题,用方程思想解决, 问题转化为方程问题,用方程思想解决,对运算化简能力 要求较高. 要求较高.

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已知线段 CD=2 3,CD 的中点为 O,动点 A = , , 为正常数). 满足 AC+AD=2a(a 为正常数 . + = (1)求动点 A 所在的曲线方程; 求动点 所在的曲线方程; (2)若存在点 A,使 AC⊥AD,试求 a 的取值范围 ; 若存在点 , 的取值范围; ⊥ , (3)若 a=2,动点 B 满足 BC+BD=4,且 AO⊥ OB, 若 = , + = , ⊥ , 试求△ 面积的最大值和最小值. 试求 △ AOB 面积的最大值和最小值 .

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解答】 为圆心, 【解答】 (1)以 O 为圆心, CD 所在直线为轴建立平面 以 直角坐标系. 直角坐标系. 若 AC+AD=2a<2 3,即 0<a< 3,动点 A 所在的曲线 + = , , 不存在; 不存在; 若 AC+AD=2a=2 3,即 a= 3,动点 A 所在的曲线 + = = , = , 方程为 y=0(- 3≤x≤ 3); = - ≤ ≤ ; 若 AC+AD=2a>2 3,即 a> 3,动点 A 所在的曲线方 + = , , x2 y2 程为 2+ 2 = 1. a a -3

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(2)由 (1)知 a> 3,要存在点 A,使 AC⊥AD,则以 O 为 由 知 , , ⊥ , 圆心, = 为半径的圆与椭圆有公共点 为半径的圆与椭圆有公共点. 圆心 ,OC= 3为半径的圆与椭圆有公共点.故 3≥ a2- 3, ≥ , 所以 a2≤ 6, , 所以 a 的取值范围是 3<a≤ 6. ≤

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x2 2 (3)当 a=2 时 ,其曲线方程为椭圆 + y = 1. 当 = 4 x2 B 由条件知 A, 两点均在椭圆 + y2= 1 上 , AO⊥ OB. , 且 ⊥ 4 设 A(x1, y1),B(x2, y2), OA 的斜率为 k(k≠0),则 OA , , ≠ , 1 的方程为 y=kx,OB 的方程为 y=- x. = , =- k ?y=kx, ? = , 4 4k 2 2 2 解方程组?x 得 x1= 2, y 1= 2. 2 1+4k 1+4k + + , ? 4 + y = 1, ? 4k2 4 2 2 同理可求得 x2= 2 , y 2= 2. k +4 1+4k +

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△ AOB 2 的 面 积 S = 1 2 1+ k2 |x1| + 1+ + 1 |x | = k2 2

(1+k2)2 + . (1+4k2)(k2+ 4) + )( ) 令 1+ k = t(t>1),则 S=2 + , =
2

t2 =2 4t2+ 9t- 9 -

1 9 9 - 2+ t + 4 t

.

?1 1 ?2 25 9 9 =-9 令 g(t)=- 2 + t + 4=- ? t - 2? + (t>1), =- =- , t 4 ? ?

所以 4<g(t)≤ ≤

25 4 , 即 ≤ S<1. 4 5

4 4 ≤ , 当 k=0 时 , 可求得 S=1,故 ≤ S≤1,故 S 的最小值为 , = = , 5 5 最大值为 1.

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? 探究点二 双曲线的标准方程与几何性质

x2 y2 例 2 如图 5- 11- 1 所示 , - - 所示, 已知点 F 是双曲线 2- 2= 1(a, , a b b>0)的一个焦点, A(-a,0), B(0, b),双曲线的离心率为 2, 的一个焦点, - 的一个焦点 , , , , 点 C 在 x 轴上 , BC·BF= 0, B,C, F 三点所确定的圆 M 恰 轴上, → → , , , 好与直线 l:x+ 3y+3=0 相切 , 求双曲线的方程 . : + + = 相切,求双曲线的方程.

11- 图 5- 11- 1

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解答】 依题意, 【 解答 】 依题意 ,设双曲线的半焦距为 c,由离心 , c b= B(0, F(- 率 e=2= , c=2a, = 3a, , 3a), -2a,0). = = 得 = , , , . 设 a C(x,0), → (x, 3a), C(x,0), BC= (x, 3a),→ = (-2a, 3a), BC·BF 故 BF (- 2a, 3a), BC·BF - - 由→ →
?3a ? 3a ? = 0,得 x= ,所以 C? 2 , 0 ?. , = ? 2 ? ? 的直径, 易知 FC 是 B,C,F 三点所确定的圆 M 的直径, 圆 , , ? a ? 3a 7a ? ? 心 M?-4, 0?, 直径为 - (-2a)= . - = 2 2 ? ?

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又 圆 M 恰 好 与 直 线 l: x + 3y + 3 = 0 相 切 , 则 :
?- a ? ? ? +3? ? 4 ? ? ?- a ? 7a 7a 4 ? ? = ∴ 2 2= 4 ,即? 4 + 3 ?= 2 ,得 a= 5.∴ 双曲线的方 ? ? 1 + ( 3) )

x2 y2 25x2 25y2 程为 - = 1,即 , - = 1. 16 48 16 48 25 25

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点评】 江苏高考对双曲线要求不高, 【点评】 江苏高考对双曲线要求不高,本题以双曲 线为载体,实质是对直线与圆的知识的考查. 线为载体,实质是对直线与圆的知识的考查.

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? 探究点三 抛物线的标准方程与几何性质

例 3 设抛物线 y2= 4ax(a>0)的焦点为 A,以点 B(a+ 4,0) 的焦点为 , + 为圆心, 为半径, 轴上方画半圆, 为圆心 ,|BA|为半径,在 x 轴上方画半圆 ,设抛物线与半圆相 为半径 的中点. 交于不同的两点 M、N,点 P 是 MN 的中点 . 、 , (1)求 |AM|+ |AN|的值; 求 的值; + 的值 (2)是否存在实数 a,恰使 是否存在实数 ,恰使|AM|、|AP|、|AN|成等差数列? 成等差数列? 、 、 成等差数列 若存在, 若存在 , 求出 a;若不存在 , 说明理由 . ; 若不存在,说明理由.

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解答】 【 解答 】 设 M、 N、P 在抛物线的准线上的射影分别为 、 、 M′, N′, P′, 由抛物线定义得 : ′ ′ ′ 由抛物线定义得: |AM|+|AN|=|MM′|+|NN′ |= xM+ xN+ 2a, + = ′+ ′= , 又圆的方程 为 [x- (a+ 4)]2+ y2= 16,将 y2= 4ax 代入得 x2- 2(4-a)·x+ a2 - + , - + + 8a=0,∴ xM+ xN= 2(4-a),所以 = , - , 所以|AM|+|AN|= 8. + = (2)假设存在这样的 a,使得 : 2|AP|=|AM|+|AN|, 假设存在这样的 , 使得: = + , ∵ |AM| + |AN| = |MM′| + |NN′| = 2|PP′| , ∴ |AP| = ′ ′ ′ |PP′|. ′ 必在抛物线上, 由定义知点 P 必在抛物线上 , 这与点 P 是弦 MN 的中点矛 不存在. 盾 , 所以这样的 a 不存在 .

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点评】 本题的“ 几何味” 特别浓, 【 点评 】 本题的 “ 几何味 ” 特别浓 , 这就为本题注入 了活力.圆锥曲线的有关问题常常与平面几何知识相结合, 了活力.圆锥曲线的有关问题常常与平面几何知识相结合, 这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视, 这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视 ,也只有这样 才能挖掘出丰富多彩的解析几何的题目. 才能挖掘出丰富多彩的解析几何的题目.

第11讲 │ 规律技巧提炼 11讲
规律技巧提炼

1.当椭圆的焦点位置不明确,而无法确定其标准方 .当椭圆的焦点位置不明确, x2 y2 程时, 程时 ,可设方程为 + = 1(m>0,n>0 且 m≠n),这样 , ≠ , m n 可以避免讨论和繁杂的运算,椭圆与双曲线的标准方程 可以避免讨论和繁杂的运算 , 来表示, 均可用简单形式 mx2+ ny2= 1(mn≠0)来表示, 所不同的 ≠ 来表示 是 :若方程表示椭圆,则要求 m>0,n>0 且 m≠n;若方 若方程表示椭圆, , ≠ ; 程表示双曲线, 程表示双曲线 ,则要求 mn<0, ,利用待定系数法求标准方 程时,应注意此方法的合理使用,以避免讨论. 程时 ,应注意此方法的合理使用,以避免讨论 .

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2.双曲线是具有渐近线的曲线,复习中要注意以下两个问题 : .双曲线是具有渐近线的曲线 ,复习中要注意以下两个问题: (1)已知双曲线方程 , 求它的渐近线方程 , 将双曲线的标准方 已知双曲线方程, 求它的渐近线方程, 已知双曲线方程 x2 y2 x 2 y2 中的常数“1”换成 换成“0”,即得 2- 2= 0,然后分解因式 换成 , , 程 2- 2= 1 中的常数 a b a b x y 即可得到其渐近线方程a±b= 0;若求中心不在原点,对称轴平行于 ;若求中心不在原点, 坐标轴的双曲线的渐近线方程, 坐标轴的双曲线的渐近线方程 ,只需将双曲线方程 x,y 分别配方 , , 分别配方, 然后将常数“1”换成 换成“0”,再分解因式 ,则可得渐近线方程,例如双 然后将常数 换成 ,再分解因式,则可得渐近线方程, y2 y2 曲线(x+ 的渐近线方程为(x+ 曲线 + 2)2- 2= 1 的渐近线方程为 + 2)2- 2= 0,即 y= ±3(x+ , = + 3 3 2),因此,如果双曲线的方程已经确定,那么它的渐近线方程也就 ,因此 ,如果双曲线的方程已经确定, 确定了. 确定了 .

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(2)求已知渐近线的双曲线方程:已知渐近线方程 求已知渐近线的双曲线方程: 求已知渐近线的双曲线方程 为 ax±by= 0 时 , 可 设 双 曲 线 方 程 为 a2x2 - b2y2 = = λ(λ≠0),再利用其他条件确定 λ 的值,求法的实质是 ≠ , 再利用其他条件确定 的值, 待定系数法,如果已知双曲线的渐近线, 待定系数法, 如果已知双曲线的渐近线, 双曲线方程 却不是唯一确定的. 却不是唯一确定的.

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3. 在建立抛物线的标准方程的坐标系时 , 以抛 . 在建立抛物线的标准方程的坐标系时, 物线的顶点为坐标原点, 物线的顶点为坐标原点,对称轴为一条坐标轴建立坐 标系,这样不仅具有对称性,而且曲线过原点,方程 标系 ,这样不仅具有对称性,而且曲线过原点, 不含常数项,形式更为简单,便于应用. 不含常数项,形式更为简单,便于应用.

第11讲 │ 江苏真题剖析 11讲
江苏真题剖析

2010· 江苏卷] [2010· 江苏卷] 在平面直角坐标系 xOy 中 , 双 x2 y2 3, 曲线 - = 1 上一点 M 的横坐标是 3,则 M 到双 4 12 曲线右焦点的距离是__________. . 曲线右焦点的距离是

第11讲 │ 江苏真题剖析 11讲

答案】 【 答案】 4 4 MF 解析】 【 解析 】 = e= = 2,d 为点 M 到右准线 x= 1 = , = d 2 的距离,d= 2,∴ MF= 4. 的距离, = , = 【 点评】 本题是考查双曲线的定义,只要审题清 点评】 本题是考查双曲线的定义 , 准确计算不难解决.对于双曲线与抛物线, 楚 ,准确计算不难解决 .对于双曲线与抛物线 ,江苏高 级要求, 考只是 A 级要求 , 平时复习要关注对课本习题的变式训 不要随意加大试题的难度. 练 , 不要随意加大试题的难度.


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