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新疆乌鲁木齐地区2013届高三3月第二次诊断性测验数学文试题(WORD)


2013 年乌鲁木齐地区高三年级第二次诊断性测验

文科数学试卷(问卷)
(卷面分值:150 分考试时间:120 分钟) 注意事项: 1.本卷分为问卷(4页)和答卷(4页),答案务必书写在答卷(或答题卡)的指定位置上. 2. 答卷前,先将答卷密封线内{或答题卡中的相关信息)的项目填写清楚.

第I卷(选择题共60分) 一、选择题:共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1. 设i为虚数单位,则复数 A. -i B. i
2?i 1 ? 2i

=

C.1-i D. 1 + i
s in x cos x

2. 有四个函数:① y =sinx+cosx ②y=sinx -cosx ③y =sinx .cosx ④y= 其中在(0,
?
2



)上为单调增函数的是

A.① B② C.①和③ D.②和④
?x ? y ? 1 ? 3. 设变量x,y满足 ? ? x ? y ? 1 ,则x+3y的最大值和最小值分别为 ?y ? 0 ?

A.3, -1

B.3, -3 C. 1, -3

D. 1, -1

4. 巳知等差数列{ a n }的前n项和为Sn,若 A.
4 3

B.

5 3

C. 2 D. 3

5. 棱长都为 3 的四面体的四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为 A. 3π B. 4π C. π D. 6π
2 2 2 6. 已知点P是抛物线y =4x上一个动点,Q为圆x + (y - 4) = 1上一个动点,则点P到点Q

的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是 A.
17

B.

17 -1

C.4

D.

10 ? 1

x 7. 设函数 f(x)=a (a >0,a≠l)在 x ∈[ -1,1 ]上的最大值与最小值之和为 g(a),则 j 函数

g(a) 的取值范围是

A.(0,1) 8. 设函数f(x) = A.
?
3
x 2

B. (0,2)

C. (1, +oo )

D. (2, +∞)

+ sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{xn},则x1 = C.
5? 6

B.

2? 3

D.

4? 3

9. 在长方体 A1B1C1D1 - ABCD 中,直线 A1C 与平面 BC1D 交于点 M,则 M 为△ BC1D 的 A.垂心 B.内心 C.外心 D 重心

10.若定义在 R 上的奇函数 y=f(x)的图象关于直线 x= 1 对称,且当 0<x≤1 时,f(X) =log3x,
则方程 3f(x) +1 =f(0)在区间(2 012,2 014)内所有实根之和为

A.4 022 U.双曲线
x a
2 2

B. 4 024
? y b
2 2

C. 4 026
2

D.4 028

? 1(a>0) 的右焦点 F (c ,0) ,方程 ax +bx-2c =0 的两根为 xl,x2 ,

则点 P(x1 ,x2)可能在

A.圆 x 2 +y 2 =2 上

B. 圆 x +y
2

2

2 2 2 2 =3 上 C. 圆 x +y =4 上 D. 圆 x +y =5 上

1 ? |, x ? 0 ?| x ? x 12. 已知函数 f(x)= ? = 则关于 x 的方程 f 2 (x) +bf(x) +c=0 有 5 个不同 ?0, x ? 0 ?

实数解的充要条件是

A.b<-2 且 c>0

B.b >-2 且 c<0

C.b<-2 且 c=0

D. b ? -2 且 c=0

第 II 卷(非选择题共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21 题为必考题,每个试题考生都必须作 答.第22 题~第 24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
3 3 13.已知函数 f(x) =lgx,若 f(a ) +f(b ) =3,则 ab 的值为 _______.

14. 执行右边的框图所描述的算法程序,记输出的一列数为 a1,a2,?,an ,n∈N* .若输人 λ =2,则 a8 =______ .

2 2 15.若直线 y=k1x + 1 与直线 y = k2x -1 的交点在椭圆 2x +y = 1 上,

则 k,k2 的值为______ .

16.如图,O为 ? A B C 的外心,AB=4,AC=2, ? BAC 为钝角,M是边BC的中点,



的值为______.

三、解答题:解答应在答卷{答题卡)的相应各题中写出文字说明,证明过程或演算步 骤. 17. (本小题满分12分) 已知锐角△ABC的三个内角A,B,C对边分别是a,b,c,且 (I)求角A的大小; (II)若角 B 是Δ ABC 的最大内角,求 sinB - cosB 的取值范围. .

18. (本小题满分12分)
如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为 C1C、DB的中点.

(I)求证:A1F丄平面EDB; (II)若 AB =2,求点 B 到平面 A1DE 的距离.

19. (本小题满分12分) 若空气质量分为1、2、3三个等级.某市7天的空气质量等级相应的天数如图所示.
,这 (I)从7天中任选2 天 求 2天空气质量等级一样的概率; ,这 (II)从7天中任选2 天 求 2天空气质量等级数之差的绝对值为1的概率.

20. (本小题满分12分)
已知椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 (a > b>0)的离心率为

1 2

,焦点 F 在直线 l:x + my + 1 =0 上.

(I)求此椭圆的方程;

点自 (II)设直线L与椭圆相交于M、N 两 , M、N向直线x = a作垂线,垂足分别是M1、N1.

记Δ FMM1、Δ FM1N1、Δ FNN1的面积分别为S1、S2、S3,若S1, m的值.

1 4

S2,S3成等比数列,求

21. (本小题满分12分)
巳知函数 f(x) =ln(x + 1) -x + ax .
2

(I)若 a =

1 2

,f(x) ? 0; , 证 x? 0 时 求 :当

,证 (II) 当a ? 0 时 求 :曲线y = f( x)上任意一点P处的切线与该曲线有且仅有这一个公共

点P.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答 时用 2B铅笔在答卷(答题卡)上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4- 1:几何证明选讲 如图,Δ ABO三边上的点C、D、E都在 (I)求证:直线AB是 O的切线;
1 2

, 知 O 上 已 AB//DE,AC = CB.

(II)若 AD=2 ,且 tan ? ACD =

-,求

O 的半径 r 的长.

23.(本小题满分10分)选修4- 4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中, 以坐标原点O为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已 x 知圆C的极坐标方程为p =4sinθ . (I )求圆C的直角坐标方程;
,点 (II)在平面直角坐标系xOy 中 过 P( 1,1)的直线2与圆C交于A,B两点. 求证:|PA|.|PB|是定值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4- 5:不等式选讲
设 f(x) = |x-1|+|x+1|.

(I) 求 f(x)≤ x+2 的解 集; ( I I )若不等式 f ( x ) ?
| a ? 1 | ? | 2a ? 1 | |a |

成 , 对任意实数a ≠ 0 恒 立 求 x 的取值范围.

2013 年乌鲁木齐地区高三年级第二次诊断性测验文科数学试

题参考答案及评分标准
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
题 号 选 项 1 B
2?i 1 ? 2i

2 D
?

3 A

4 B

5 A
? 5i 5

6 B
? i.

7 D

8 D

9 D

10 C

11 D

12 C

1.选 B【解析】

? 2 ? i ? ?1 ? 2 i ? ?1 ? 2 i ? ?1 ? 2 i ?

2.选 D【解析】由①得 y ?

? ? ? 2 sin ? x ? ? ,由②得 y ? 4 ? ?

? ? ? 2 sin ? x ? ? ,由③得 4 ? ?

y ?

1

? ? ? sin 2 x ,由④得 y ? ta n x ,只有②和④这两个函数在 ? 0 , ? 上单调递增. 2 2 ? ?

? x ? y ? 1, ? 3.选 A【解析】作出 ? ? x ? y ? 1, 确定的可行域,设 z = x + 3 y , ? y ? 0. ?

则y= ?

x 3

+

z 3

,当 x ? ? 1, y ? 0 时, z m in ? ? 1 ;当 x ? 0, y ? 1 时, z m a x ? 3 .

4.选 B【解析】 S n 为等差数列的前 n 项和,则 S 3 , S 6 ? S 3 , S 9 ? S 6 , S 1 2 ? S 9 为等差数列;又
S6 S3 ? 3 ,∴ S 6 ? 3 S 3 ,∴ S 6 ? S 3 ? 2 S 3 ,∴ S 9 ? S 6 ? 3 S 3 , S 1 2 ? S 9 ? 4 S 3 ,于是

S 1 2 ? 1 0 S 3 , S 9 ? 6 S 3 ,故

S12 S9

?

5 3

.

5.选 A【解析】这个四面体的四个顶点可以看成是棱长为 1 的正方体的其中的四个顶点,问 题转化为求此正方体的外接球,其直径为正方体的对角线,长度为 3 ,所以此球的表面
? 3 ? ? 3? . 积为 S ? 4 ? ? ? 2 ? ? ? ?
2

6.选 B【解析】 P 到抛物线的准线距离即为 P 到抛物线的焦点 F ? 1, 0 ? 的距离,于是,问题 转化为求 P Q ? P F 最小,由三角形“两边之和大于第三边”可得,需要 F , P , Q 三点共 线,也就是求 F Q 的最小值,连接圆心 ? 0 , 4 ? 和 F ? 1, 0 ? ,与圆的交点 Q 即为所求,此时
FQ ? 17 ? 1 .

7.选 D【解析】根据题意, f ? x ? 在 x ? ? ? 1,1 ? 上的最大(小)值在 x ? 1 ? x ? ? 1 ? 处取得 ∴ g ? a ? ? f ?1 ? + f ? ? 1 ? = a ?
1 a

,由 a ? 0 ,且 a ? 1 ,得 g ? a ? ? a ?

1 a

? 2.

8.选 D 【解析】f ? ? x ? ?

1 2

? cos x , f ? ? x ? ? 0 , c s 令 则o

x ? ?
2 3

1 2

, x ? 2k? ? 得
*

2 3

?
4? 3

?k
.

? Z?,

由 x n 是 f ? x ? 的第 n 个正的极小值点知, x n ? 2 n ? ?

?

? n ? N ? ,∴ x

1

?

9.选 D【解析】连接 A C ,与 B D 交于 O ,则平面 A C C 1 A1 ? 平面 B C 1 D = C 1O . 又 M ? A1 C ? 平面 A C C 1 A1 , M ? 平面 B C 1 D ,∴ M ? C 1 O 故 C 1 , M , O 三点共线.而
O C ∥ A1 C 1 ,∴ ? O M C ∽ ? C 1 M A1 ,∴

OM M C1

?

OC A1 C 1

?

1 2

,又∵ C 1 O 是 ? B C 1 D 的中

线,∴ M 为 ? B C 1 D 的重心. 10.选 C 【解析】 由题意得, f ? x ? 2 ? ? f ? ? x ? ? ? f ? x ? , f ? x ? 4 ? ? ? f ? x ? 2 ? ? f ? x ? 故 ∴ f ? x ? 是以 4 为 周期的周期函数 .又∵ f ? 0 ? ? 0 ∴方程 3 f ? x ? ? 1 ? f ? 0? 可 化为
f

?x? ?

?

1 3

.数形结合可知 f ? x ? ? ?
1 3

1 3

在 ? 0,1 ? , ? 1, 2 ? 内各有一个实根,且这两根之和

为 2 ,∴由周期性可知 f ? x ? ? ? 这两根之和为 4 0 2 6 .

在 ? 2 0 1 2 , 2 0 1 3 ? , ? 2 0 1 3, 2 0 1 4 ? 内各有一个实根,且

11.选 D【解析】∵ a x ? b x ? 2 c ? 0 , a ? 0 , c ? 0 ,∴ ? ? b ? 4ac > 0 , x 1 ? x 2 ? ?
2 2

b a



x1 x 2 ? ?

2c a
2

∴ x1 ? x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 2 x1 x 2 ?
2 2 2
2 2

b a

2 2

?

4c a

?

c ? a
2

2

a

2

?

4c a

? e ? 4e ? 1
2

? ? e ? 2 ? ? 5 ≥ 0 ,而 e ? 1 ,∴ x1 ? x 2 ? 4 ,故点 P ? x1 , x 2 ? 可能在圆 x ? y ? 5 上.
2 2

12.选 C 【解析】 u= f x? ? , 令 则方程 f ? x ? + b f ? x ? + c = 0 转化为 g ? u ? = u + b u + c = 0
2 2

∵ x?

1 x

? 2 ,原方程有 5 个不同的根,所以方程 g ? u ? = u + b u + c = 0 应有一个大于
2

? b ? ? 0, ? 2 ? 2 的正根与一个零根,所以 ? g ? 2 ? ? 0 , 即 b ? ? 2 且 c ? 0 . ? c ? 0. ? ?

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.填 1 0 .【解析】由题意得 lg a ? lg b ? 3 ? lg a ? lg b ? 1 ? lg a b ? 1 ? a b ? 1 0 .
3 3

14.填

7 8

.【解析】设 ? i , a i ? ,由此框图得 ? 1, 0 ? ? ? 2 ,
?
7 8

?

1? ? 2? ? n ?1? ? ? ? 3, ? ? ? ? ? n , ?, 2? n ? ? 3? ?

a8 ?

.

2 ? x ? ? k 2 ? k1 ? ? y ? k 1x ? 1 k ? k1 ? 2 ? , 2 15.填 ? 2 .【解析】由 ? 得? ,即交点为 ? ? ,它在椭圆 k 2 ? k1 ? y ? k 2x ? 1 ? k 2 ? k1 k 2 ? k1 ? ?y ? ? k 2 ? k1 ?
? ? ? k 2 ? k1 ? 2 2 x ? y ? 1 上,于是有 2 ? ? ? ?? ? ? 1 ,化简后得 k 1 k 2 ? ? 2 . k 2 ? k1 ? k 2 ? k1 ? ? ?
2 2
2 2

16.填 5 .【解析】设 D , E 分别是 A B , A C 的中点,则 O D ? A B , O E ? A C , 又 AM ?
? ???? ???? ? ? 1 ??? ???? 1 ??? A B ? A C ,∴ A M ? A O ? AB ? 2 2 ???? ???? ??? ???? ? ???? ???? ? A D ? A O ? A E ? A O ? A D A O cos ? D A O ? ???? ?

?

?

?

???? ???? ? 1 ??? ???? 1 ???? ???? AC ? AO ? AB ? AO ? AC ? AO 2 2 ??? ???? ? 2 2 A E A O cos ? E A O ? A D ? A E

?

? 2 ?1 ? 5.
2 2

三、解答题(共 6 小题,共 70 分) 17.(Ⅰ)由
a cos A ? b?c cos B ? cos C

及正弦定理得,

s in A cos A

?

s in B ? s in C cos B ? cos C

,即
C ?A ?

sin A co s B ? sin B co s A ? sin C co s A ? sin A co s C , sin 故

? A ? B ? ?sin

?

∵ A, B , C ? ? 0,
?

?

? ?

? A?B ? ,? ?C ? A? ,∴ A ? B ? C ? A ? ,∴ ? 2 ? 2 2 2 2

?

?

?

?

又 A ? B ? C ? ? ,∴ A ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 A ?
?
3
B 是 ? A B C 的最大内角,故

?
3


2? 3

?6 分 ,而 0 ? C ?
?
2

,故 B ? C ?
?
3

?
2



? B ?

,∴
? ?? ?? 2 s in ? ? ?? 4 ?? ? 2

s in B ? c o s B ?

? ? ? ? 2 s in ? B ? ?? ? 4 ? ? ?
? ? 3 ?1 2 ? ,1 ? . ? ?

? ? ?? 2 s in ? ? ?, 4 ? ? 3

即 s in B ? c o s B ? ?

?12 分

18.(Ⅰ)连接 A1 B 、 E F ,设此正方体的棱长为 2 a , 则 A1 D ? A1 B ? 2 2 a , F 为 D B 的中点,∴ A1 F ? D B . 在 R t ? A1 F D 中, A1 F ? A1 D ? D F ? 6 a .
2 2 2 2

在 R t ? E C B 中, E B ? E C ? B C ? 5 a ,
2 2 2 2

在 R t ? E F B 中, E F ? E B ? F B ? 3 a .
2 2 2 2

在 R t ? A1 C 1 E 中,A1 E ? A1C 1 ? C 1 E ? 9 a , A1 E ? A1 F ? F E , AF ?F 故 即 1 E
2 2 2 2 2 2 2



又 D B , E F ? 平面 E D B , D B ? E F ? F ,故 A1 F ? 平面 E D B ; (Ⅱ)由 A B ? 2 知, A1 D ? 2 2 , A1 E ? 3 , D E ? ∴ c o s ? D A1 E ?
S ?A DE ?
1

?6 分

5,

A1 D ? A1 E ? D E
2 2

2

2 A1 D ? A1 E

?

2 2

,∴ ? D A1 E ?

?
4



1 2

A1 D ? A1 E s in ? D A1 E ? 3 .

在等腰 ? E D B 中, E F ?

3 , S ?EDB ?

1 2

EF ? DB ?

6 .

在 R t ? A1 A F 中, A1 A ? 2, A F ?

2 ,故 A1 F ?
1

6 ,由(Ⅰ)知 A1 F ? 平面 E D B
1 3 S ? E D B ? A1 F ,解得 h ? 2 .

设点 B 到平面 A1 D E 的距离为 h ,∵ S ? A D E ? h ?
3
1

故点 B 到平面 A1 D E 的距离为 2 . 19.由题意知空气质量为 1 级的有 2 天, 2 级的有 3 天, 3 级的有 2 天.

?12 分

记空气质量为 1 级的天数为 A1 , A 2 , 2 级的天数为 B 1 , B 2 , B 3 , 3 级的天数为 C 1 , C 2 . 从 7 天中任选 2 天,共有 ? A1 , A 2 ? , ? A1 , B1 ? , ? A1 , B 2 ? , ? A1 , B 3 ? , ? A1 , C 1 ? , ? A1 , C 2 ? ,

? A 2 , B1 ? , ? A 2 , B 2 ? , ? A 2 , B 3 ? , ? A 2 , C 1 ? , ? A 2 , C 2 ? , ? B 1 , B 2 ? , ? B 1 , B 3 ? , ? B 1 , C 1 ? ,
? B 1 , C 2 ? , ? B 2 , B 3 ? , ? B 2 , C 1 ? , ? B 2 , C 2 ? , ? B 3 , C 1 ? , ? B 3 , C 2 ? , ? C 1 , C 2 ? 等 21 种情形.
(Ⅰ)记事件 A 为 “从 7 天中任选 2 天, 2 天空气质量等级一样” 有 ? A1 , A 2 ? , ? B1 , B 2 ? , 这 ,

? B 1 , B 3 ? , ? B 2 , B 3 ? , ? C 1 , C 2 ? 5 种情形,故 P ? A ?

?

5 21



?6 分

(Ⅱ) 记事件 B 为“从 7 天中任选 2 天,这 2 天空气质量等级数之差的绝对值为 1 ”,有

? A1 , B 1 ? , ? A1 , B 2 ? , ? A1 , B 3 ? , ? A2 , B1 ? , ? A2 , B 2 ? , ? A2 , B 3 ? , ? B1 , C 1 ? , ? B1 , C 2 ? , ? B 2 , C 1 ? ,

? B 2 , C 2 ? , ? B 3 , C 1 ? , ? B 3 , C 2 ? 12 种情形,故 P ? B ? ?
20.(Ⅰ) 由题意知椭圆
x a
2 2

12 21

?

4 7



?12 分

?

y b

2 2

? 1 ? a ? b ? 0 ? 的焦点为 ? c , 0 ? , ? ? c , 0 ? , c ? 0 ,

直线 l : x ? m y ? 1 ? 0 过焦点 F ,可知 F 为左焦点且 c ? 1 ,又

c a

?

1 2

,解得

a

2

? 4 ,b

2

? 3 ,于是所求椭圆的方程为

x

2

?

y

2

? 1;

?4 分

4

3

(Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ) ,N ( x 2 , y 2 ) , 直线 M N 的方程为 x ? ? m y ? 1 , M 1 ( 2, y 1 ) ,N 1 ( 2 , y 2 ) 则
?6m ? ? x ? ? m y ? 1, y ? y2 ? , 2 ? 1 ? 2 ? 3m ? 4 2 2 2 由? x 消去 x ,得 ? 3 m ? 4 ? y ? 6 m y ? 9 ? 0 ,故 ? y ?9 ? ? 1. ? ?y y ? . 3 ? 4 1 2 2 ? 3m ? 4 ?

因为 S 1 S 3 ?
?

1 2
1

?2 ?
2

x1 ? y 1 ?

1 2

?2 ?

x2 ? y2 ?

1 4

(3 ? m y 1 )(3 ? m y 2 ) y 1 y 2 ,
81 (3 m
2

?m 4 ?

? y1 y 2 ? ? 3 m ? y1 ?
2

y 2 ? ? 9 ? y1 y 2 ? ?

? 4)

2



1 ?1 9 8 1( m ? 1) 2 ?1 ? ? ?? y ? y ? ? 4 y y ? ? . 1 2 1 2 ? S2 ? ? ? ? 3 ? y1 ? y 2 ? ? 2 2 ? 16 ? 2 64 ? 4 (3 m ? 4 ) ?4 ? ?
2

2

8 1( m ? 1) 81 ?1 ? ? 由 S 1 , S 2 , S 3 成等比数列,得 ? S 2 ? ? S 1 S 3 ,即 2 2 2 2 4 (3 m ? 4 ) (3 m ? 4 ) 4 ?4 ?
2

2

1

解得 m ? ? 3 .
1 2

?12 分
x
2

21.(Ⅰ) 当 a ?

时, f ( x ) ? ln ( x ? 1) ? x ?

,则 f ?( x ) ?

1 x ?1

?1? x ?

x

2

2

x ?1



当 x ≥ 0 时, f ?( x ) ≥ 0 ,∴函数 y ? f ( x ) 在 x ≥ 0 时为增函数. 故当 x ≥ 0 时, f ( x ) ≥ f ( 0 ) ? 0 ,∴对 ? x ≥ 0 时, f ( x ) ≥ 0 成立; ?4 分 (Ⅱ) 设点 P ( x 0 , y 0 ) , 曲线 y ? f ( x ) 在点 P 处的切线方程为 y ? ( x ? x 0 ) f ?( x 0 ) ? f ( x 0 ) , 令 g ( x ) ? f ( x ) ? ( x ? x 0 ) f ?( x 0 ) ? f ( x 0 ) . 曲线 y ? f ( x ) 在点 P 处的切线与曲线只有这一个公共点 P 等价于函数 g ( x ) 有唯一 零点. 因为 g ( x 0 ) ? 0 ,且 g ?( x ) ? f ?( x ) ? f ?( x 0 ) ? ( x ? x 0 ) ? 2 a ?
? ? ? ?. ( x ? 1)( x 0 ? 1) ? 1

当 a ≤ 0 时,若 x ≥ x 0 ? ? 1 ,有 g ?( x ) ≤ 0 ,∴ g ( x ) ≤ g ( x 0 ) ? 0 ; 若 ? 1 ? x ? x 0 ,有 g ?( x ) ? 0 ,即 g ( x ) ? g ( x 0 ) ? 0 .

所以曲线 y ? f ( x ) 上任意一点 P 处的切线与该曲线有且仅有这一个公共点 P .?12分 22. (Ⅰ) A B ∥ D E , ∵ ∴
OB ? OD OE OA

, OD ?OE 又

r ?

, OA ?OB 得



连结 O C ,∵ A C ? C B .∴ O C ? A B . 又点 C 在⊙ O 上,∴ A B 是⊙ O 的切线; ?5分 (Ⅱ)延长 D O 交⊙ O 于 F ,连结 F C . 由(Ⅰ) A B 是⊙ O 的切线,∴弦切角 ? A C D ? ? F , 于是△ A C D ∽△ A F C . 而 ? D C F ? 9 0 ? ,又∵ ta n ? A C D ? ta n ? F ? ∴
AD AC ?
2

1 2

,∴

CD FC

?

1 2



CD FC

?

1 2

,而 A D ? 2 ,得 A C ? 4 .
2

又 AC

? A D ? A F ? 2 ? ( 2 ? 2 r ) ? 4 ,于是 r ? 3 .
?

?10 分

23.(Ⅰ)由 ? ? 4 sin ? ,得 ? ? 4 ? sin ? ,即 x ? y ? 4 y = 0 ,
2 2

∴圆 C 的直角坐标方程为 x 2
(Ⅱ)过点 P ? 1,1 ? 的参数方程为 ?
2 2
2

? y ? 4y= 0.
2

?5分

? x ? 1 ? t cos ? ? y ? 1 ? t s in ?

( t 为参数),将其代入圆 C 的方程

x ? y ? 4 y = 0 ,得 t ? 2 ? co s ? ? sin ? ? t ? ? = 0 .

∴ t1 t 2

? 2

,故

PA ? PB ? 2 .

?10分

24.(Ⅰ)由 f ? x ? ? x ? 2 得,
?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0 ? ? ? ,或 ? ? 1 ? x < 1 ,或 ? x ? 1 ,解之 ? x ? ?1 ?1 ? x ? x ? 1 ? x ? 2 ?1 ? x ? x ? 1 ? x ? 2 ?x ?1? x ?1 ? x ? 2 ? ? ?

,得
0 ? x ? 2 ,∴ f
a ? 1 ? 2a ? 1 a

?x? ?

x ? 2 的解集为 ? x 0 ? x ? 2 ? ;
1 a 1 a

?5分

(Ⅱ)∵

? 1?

? 2?

≤1?

1 a

? 2?

1 a

? 3

(当且仅当 ? 1 ?
?

?

1 ?? 1? ? ? 2 ? ? ≤ 0 ,上式取等号) a ?? a?

由不等式 f ? x ? ≥

a ? 1 ? 2a ? 1 a

对任意实数 a ? 0 恒成立,可得,

x ? 1 ? x ? 1 ≥ 3 ,解此不等式,得 x ≤ ?

3 2

,或 x ≥

3 2



?10分

以上各题的其它解法,限于篇幅从略.请相应评分.


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