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四川省达州市大竹县文星中学2015届高三3月月考数学(理)试题 Word版含答案


第 I 卷(选择题)

一、选择题:共 12 题 每题 5 分 共 60 分
1.设集合

,则

=

A.

B.

C.

D.

2.若

是纯虚数,则

的值为<

br />
A.-1

B.1

C.

D.

3.已知平面上三点 A、B、C 满足

,则

的值等于

A.25

B.24

C.

D.

4.

表示不重合的两个平面,

表示不重合的两条直线.若







则“∥ ”是“∥ 且∥ ”的

A.充分且不必要条件

B.必要且不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5.某次数学摸底考试共有 10 道选择题,每道题四个选项中有且只有一个选项是正确的;张三

同学每道题都随意地从中选了一个答案,记该同学至少答对 9 道题的概率为 P,则下列数据中
第 - 1 - 页 共 15 页

与 P 的值最接近的是

A.

B.

C.

D.

6.设变量

满足约束条件

,则目标函数

取值范围是

A.

B.

C.

D.

7.若 α∈(0,),且 sin α+cos 2α=,则 tanα 的值为

2

A.

B.

C.

D.

8.集合 A={(x,y)|y=lg(x+1)-1},B={(x,y)|x=m},若 A∩ B=?,则实数 m 的取值范围是

A.(-∞,1)

B.( -∞,1]

C.(-∞,-1)

D.(-∞,-1]

9.已知正方体

,过顶点

作平面,使得直线



与平面所成的角都为

,这样的平面可以有

A.4 个

B.3 个

C.2 个

D.1 个

10.过抛物线

的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A,B 两点.若 AB 中点 M 到抛物线准线的

距离为 6,则线段 AB 的长为 A.6 B.9 C.12 D.无法确定

11.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

第 - 2 - 页 共 15 页

A.

B.

C.40

D.80

12. 若函数

的图象在

处的切线与圆

相切, 则

的最大值是

A.4

B.

C.2

D.

第 - 3 - 页 共 15 页

第 II 卷(非选择题)

二、填空题:共 4 题 每题 5 分 共 20 分
13.已知函数

的最大值为 3,

的图象

与 y 轴 的 交 点 坐 标 为

, 其 相 邻 两 条 对 称 轴 间 的 距 离 为 2 , 则

14.若等比数列{

}的首项为,且

,则公比等于

.

15. 如图所示,点 B 在以 PA 为直径的圆周上,点 C 在线段 AB 上,已知 PA=5,PB=3,PC=

,设∠APB=α,

∠APC=β,α,β 均为锐角,则角 β 的值为

.

16.已知函数

.下列命题:

①函数

既有最大值又有最小值;

②函数

的图象是轴对称图形;

③函数

在区间

上共有 7 个零点;

④函数

在区间

上单调递增.
第 - 4 - 页 共 15 页

其中真命题是

.(填写出所有真命题的序号)

三、解答题:共 7 题 每题 12 分 共 84 分
17.已知函数



(其中

),其部分图像如图

所示.

(1)求函数 f(x)的解析式;

(2)已知横坐标分别为-1、1、5 的三点 M,N,P 都在函数 f(x)的图像上,求

的值.

18.口袋里装着标有数字 1,2,3,4 的小球各 2 个,从口袋中任取 3 个小球,按 3 个小球上

最大数字的 8 倍计分,每个小球被取出的可能性相等,用表示取出的 3 个小球上的最大数字, 求:

(I)取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率;

(II)随机变量的概率分布和数学期望;

(III)计分介于 17 分到 35 分之间的概率.

19.已知各项均为整数的数列

满足



,前 6 项依次成等差数列, 从第 5 项

起依次成等比数列.

第 - 5 - 页 共 15 页

(1)求数列

的通项公式;

(2)求出所有的正整数 m ,使得

.

20.在如图所示的几何体中,四边形

是等腰梯形

, .

.在梯形

中,

,且



⊥平面

(1)求证:



(2)若二面角



,求

的长.

21. 在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,短半轴长为 2,椭

圆 C 上的点到右焦点的距离的最小值为 5 ? 1 .

(1)求椭圆 C 的方程;
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(2)设直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且 ?AOB ?

π . 2

①求证:原点 O 到直线 AB 的距离为定值; ②求 AB 的最小值.
5 2 x ? ax ? b ( a, b 为常数) ,其图象是曲线 C . 2

3 22.已知函数 f ( x) ? x ?

(1)当 a ? ?2 时,求函数 f ( x) 的单调减区间;

(2)设函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) ,若存在唯一的实数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? x0 与 f ?( x0 ) ? 0 同时成 立,求实数 b 的取值范围;

(3)已知点 A 为曲线 C 上的动点,在点 A 处作曲线 C 的切线 l1 与曲线 C 交于另一点 B ,在点 设切线 l1 , l2 的斜率分别为 k1 , k2 .问:是否存在常数 ? , 使得 k2 ? ? k1 ? B 处作曲线 C 的切线 l2 , 若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由.

第 - 7 - 页 共 15 页

参考答案

, 从而

,由





.

解法二: 因为

,所以 , ,

, ,

则 .

. 由

,得

18.解:(Ⅰ)“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事件记为 A ,
3 1 1 1 C4 ? C2 ? C2 ? C2 4 ? 则 P ( A) ? 3 C8 7

第 - 8 - 页 共 15 页

(Ⅱ)由题意 ? 所有可能的取值为:2,3,4.

2 1 1 2 2 1 1 2 C2 ? C2 ? C2 ? C2 C4 ? C2 ? C4 ? C2 1 2 P(? ? 2) ? ? ; P(? ? 3) ? ? ; 3 3 C8 14 C8 7

P(? ? 4) ?

1 1 2 C62 ? C2 ? C6 ? C2 9 ? ; 3 C8 14

所以随机变量 ? 的概率分布为

因此 ? 的数学期望为 E? ? 2 ?

1 2 9 25 ? 3? ? 4 ? ? 14 7 14 7

(Ⅲ)“一次取球所得计分介于 17 分到 35 分之间”的事件记为 C , 则 P (C ) ? P (? ? 3或? ? 4) ? P (? ? 3) ? P (? ? 4) ?

2 9 13 ? ? 7 14 14

19. (1) 设数列前 6 项的公差为 d ,则 a5 ? ?1 ? 2d , a6 ? ?1 ? 3d ( d 为整数)

又 a5 , a6 , a7 成等比数列,所以 (3d ? 1) 2 ? 4(2d ? 1) ,

即 9d 2 ? 14d ? 5 ? 0 ,得 d ? 1

当 n ? 6 时, an ? n ? 4 ,

所以 a5 ? 1 , a6 ? 2 ,数列从第 5 项起构成的等比数列的公比为 2,

第 - 9 - 页 共 15 页

所以,当 n ? 5 时, an ? 2n ?5 .故 an ? ?

?n ? 4, (n ? 4) ?2
n ?5

, (n ? 5)

(2)由(1)知,数列 {an } 为:-3,-2,-1,0,1,2,4,8,16,?

当 m ? 1 时等式成立,即 ?3 ? 2 ? 1 ? ?6 ? (?3) ? (?2) ? (?1) ;

当 m ? 3 时等式成立,即 ?1 ? 0 ? 1 ? 0 ? (?1) ? 0 ? 1 ;

当 m ? 2或4 时等式不成立;

当 m≥5 时, am ? am ?1 ? am ? 2 ? 2

m ?5

(23 ? 1) ? 7 ? 2m ?5 , am am ?1am ? 2 ? 23m ?12

若 am ? am ?1 ? am ? 2 ? am am ?1am ? 2 ,则 7 ? 2m ?5 ? 23m ?12 ,所以 22 m ? 7 ? 7

m ? 5 ,? 22 m ?7 ? 8 ,从而方程 22 m ? 7 ? 7 无解
所以 am ? am ?1 ? am ? 2 ? am am ?1am ? 2 .故所求 m ? 1 或 m ? 3 .

20.(1)证明:在 勾股定理得

中,

,所以



所以

又因为

所以

第 - 10 - 页 共 15 页

又因为

,所以

所以

(2)因为 C-xyz.

,由(1)可知

,以 C 为原点,建立如图所示空间直角坐标系

设 CE=h,则

设平面 DAF 的法向量



,又平面 AFC 的法向量

所以

,所以 CE 的长为 。

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2 y2 21.(1)由题意,可设椭圆 C 的方程为 x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,焦距为 2c,离心率为 e. a b

于是 b ? 2 .设椭圆的右焦点为 F,椭圆上点 P 到右准线距离为 d ,
AF ? e ? AF ? e ? d ,于是当 d 最小即 P 为右顶点时,PF 取得最小值, d



?a ? c ? 5 ? 1 , ?a ? 5 , ? ? ? ?b ? 2 , 所以 a ? c ? 5 ? 1 .因为 ?b ? 2 , ? 2 ?c ? 1 , 2 2 ?a ? b ? c ?
x2 y 2 ? ?1. 5 4

所以椭圆方程为

(2)①设原点 O 到直线 AB 的距离为 h,则由题设及面积公式知 h ?

OA ? OB . AB

?OA ? 5 , ? ? ?OB ? 5 , 当直线 OA 的斜率不存在或斜率为 0 时, ? 或? ? ? ?OB ? 2 ?OA ? 2 .

于是 d ?

2 5 4?5

?

2 5 . 3

? x2 y 2 2 k 2 x2 ? ? ? 1, x ? ? ?1, 5 4 OA k 0 当直线 的斜率 存在且不为 时,则 ? 5 4 ? ? y ? kx
1 , ?x 2 ? ?x 2 ? 1 , ? B 1? 1 2 ? A 1?k ? 5 4k 2 ? ? 5 4 ? 解得 ? 同理 ? 1 2 2 ? y A2 ? k 2 . ? 2 k . 1?k ? ? yB ? 1 1 ? ? ? 5 4 ? 5 4k 2 ?

在 Rt△OAB 中, h 2 ?

OA2 ? OB 2 OA2 ? OB 2 ? , AB 2 OA2 ? OB 2

第 - 12 - 页 共 15 页

1 k2 1 ? 1 1 k2 k2 1 ? ? ? 2 1 OA2 ? OB 2 1 1 5 4 ? 5 4k ? 5 4 ? 5 4 ? ? ? 则 2 ? 1 h OA2 ? OB 2 OA2 OB 2 1 ? k 2 1? k2 1? k2 1? 2 k
1?1 k ? 1?1 ? ? 4 5 ? ? 1 ? 1 ? 9 ,所以 h ? 2 5 . ? ? 4 5
2

1? k2

4

5

20

3

综上,原点 O 到直线 AB 的距离为定值

2 5 . 3

1 ? 12 1? k2 ? k 1 ? k2 1 ? 1 ?1 ? k 2 ? 1 ? k12 2 2 5 4k 2 2 OA ? OB 5 4 ? ? 另解: h ? OA2 ? OB 2 1 ? 12 ? 1 ? 1 ? 12 ?1 ? k 2 ? 1 2 1? k ? k 5 4k 2 k 1 ? k2 1 ? 1 5 4 5 4k 2

?

? ?

?

?

?k ?? 1 5 4?
2

1 ?2 2 9 2 5 k ? ? ,所以 h ? . 9 2 9 9 20 3 k ? ? 20 20k 2 10 k2 ?
②因为 h 为定值,于是求 AB 的最小值即求 OA ? OB 的最小值.

OA ? OB ?
2 2

1? 1 ?k ?1 5 4 ? ? 5 4k ?
2 2

?1 ? k ? ?
2

?1 ? k1 ?
2

k 2 ? 12 ? 2 1 k ? t ? k 2 ? 2 ,则 t≥2 , ,令 1 k 2 ? 1 ? 41 k 20 20k 2 400

t?2 1 ? 20 ? 20t ? 40 ? 20 1 ? 于是 OA2 ? OB 2 ? 1 t ? 41 20t ? 41 20t ? 41 , 20 400
2 2 1 ? 1600 因为 t ≥ 2 ,所以 OA ? OB ≥20 ? 1 ? , 81 81

?

?

?

?

第 - 13 - 页 共 15 页

当且仅当 t ? 2 ,即 k ? ?1 , OA ? OB 取得最小值

40 ,因而 ABmin 9

40 4 5 ? 9 ? 3 2 5 3

所以 AB 的最小值为

4 5 . 3

22.(1)当 a ? ?2 时, f ?( x) ? 3x 2 ? 5x ? 2 ? (3x ? 1)( x ? 2) .

1 1 设 f ?( x) <0,解得 ?2 ? x ? ,所以 f(x)的单调减区间为 (?2 , ) . 3 3
2 ?3x0 ? 5 x0 ? a ? 0 ? (2) f ?( x) ? 3x ? 5x ? a ,由题意知 ? 3 5 2 消去 a , ? x0 ? x0 ? ax0 ? b ? x0 ? 2

2

3 整理得 2 x0 ?

5 2 x0 ? x0 ? b ? 0 有唯一解. 2

3 设 g ( x) ? 2 x ?

5 2 x ? x ,则 g ?( x) ? 6 x 2 ? 5 x ? 1 ? (2 x ? 1)(3x ? 1) , 2

1 1 1 1 可得 g ( x) 在区间 (??, ? ) , (? , ??) 上是增函数,在 (? , ? ) 上是减函数, 2 3 2 3

7 1 1 1 7 又 g (? ) ? ? , g (? ) ? ? ,所以实数 b 的取值范围是 (??, ? ) 2 8 3 54 54

1 (? , ??) . 8

(3)设 A( x0 , f ( x0 )) ,则点 A 处切线方程为 y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ,

与曲线 C : y ? f ( x) 联立方程组,解得 f ( x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ,
5 2 即 ( x ? x0 ) [ x ? (2 x0 ? )] , 2

5 解得点 B 的横坐标 xB ? ?(2 x0 ? ) . 2

第 - 14 - 页 共 15 页

5 25 2 ?a, 由题意知, k1 ? f ?( x0 ) ? 3x0 2 ? 5 x0 ? a , k2 ? f ?(?2 x0 ? ) ? 12 x0 ? 20 x0 ? 2 4
2 若存在常数 ? ,使得 k2 ? ? k1 ,则 12 x0 ? 20 x0 ?

25 ? a ? ? (3x0 2 ? 5 x0 ? a ) , 4 25 ,成立, 4

2 所以存在常数 ? ,使得 (4 ? ? )(3x0 ? 5 x0 ) ? (? ? 1)a ?

?4 ? ? ? 0, 25 ? 所以 ? 解得 ? ? 4 , a ? . 25 ( ? ? 1) a ? ? 0. 12 ? ? 4

故a ?

25 25 时,存在常数 ? ? 4 ,使 k2 ? 4k1 ; a ? 时,不存在常数 ? ,使 k2 ? ? k1 . 12 12

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