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对一道课本拓展题答案质疑


对一道课本探究拓展题答案的质疑 1.问题:(普通高中课程标准实验教科书(必修 3)(江苏版)) 探究拓展某种彩票是由 7 位数字组成,每位数字均为 0-9 这 10 个 数码中的任一个.由摇号得出一个 7 位数(首位可为 0)为中奖号,如 果某张彩票的 7 位数与中奖号相同即得一等奖;若有 6 位相连数字 与中奖号的相应数位上的数字相同即得二等奖;若有 5 位相连数字 与中奖号的相应数位上的数字相同即得三等奖;各奖不可兼得.某 人一次买了 10 张不同号码的彩票. (1)求其获得一等奖的概率; (2)求其获得三等奖及以上奖的概率. 2.错误解答:(普通高中课程标准实验教科书(必修 3)(江苏 版)2005 年 11 月和 2006 年 6 月教学参考书编写组所给的答案一样) 答案如下:(1)得一等奖的概率为;(2)如果一等奖号码为 1234567, 则二等奖号码可以为 x234567(x≠1)及 123456x(x≠7)共 18 种可能, 三等奖的号码为 xy34567(y≠2),或 x23456y(x≠1 且 y≠7),或 12345xy(x≠6),共 90+81+90=261 种可能.故得三等奖及以上奖的概 率为=. 笔者认为:若把原题“某人一次买了 10 张不同号码的彩票.”改为 “某人买了 1 张彩票.”其答案与上述所给答案一致. 原题该怎么解呢? 不难看出,原题隐含有下列问题: (1)中二等奖的彩票有多少张? (2)中三等奖的彩票有多少张? (3)某人买一张中奖的概率是多少与某人买 10 张不同号码中奖的 概率是多少是否一样. 3.正确解答:这是一个古典概型问题 某种彩票是由 7 位数字组成,每位数字均为 0-9 这 10 个数码中的 任一个,所以可以认为基本事件为 107 张. (1)因为中一等奖的彩票只有一张,某人一次买了 10 张不同号码的 彩票可以看成是有顺序的买 10 张.记事件 a:某人一次买了 10 张不 同号码的彩票中一等奖;事件 ai 表示第 i 张彩票中奖 (i=1,2,3?,10),事件 a1,a2,a3?a9,a10 彼此互斥. 又因为中奖与先后顺序无关,所以 p(ai)=, 则 p(a)=p(a1+a2+?+a10)==,所以答:某人一次买了 10 张不同号码 的彩票中一等奖的概率为。 (2)如果一等奖号码为 1234567,则二等奖号码可以为 x234567(x≠ 1)及 123456x(x≠7)共 18 种可能,三等奖的号码为 xy34567(y≠2), 或 x23456y(x≠1 且 y≠7),或 12345xy(x≠6),共 90+81+90=261 种 可能,即共有 280 张中三等奖及其以上奖. 记事件 b:某人一次买了 10 张不同号码的彩票中三等奖及其以上奖 则事件 b 的对立事件:某人一次买了 10 张不同号码的彩票一张都没 有中奖, p()= 或 p()= ∴p(b)=1-p()=1-. 答:某人一次买了 10 张不同号码的彩票中三等奖及以上奖的概率 为 1-. 4.教学反思 4.1 初看这道题,就连老师也容易得到上面的错误答案.但是认真 读题,分析题意之后,又不禁欣赏该题考查知识的广度和深度以及 它所包含的丰富和巧妙的数学方法.从学生的认识角度由易到难、 由浅入深来看,该题可这样编拟:某种彩票是由 7 位数字组成,每位 数字均为 0-9 这 10 个数码中的任一个.由摇号得出一个 7 位数(首 位可为 0)为中奖号,如果某张彩票的 7 位数与中奖号相同即得一等 奖;若有 6 位相连

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