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高等数学检测题1


华北航天工业学院高等数学检测题1-1
班级________姓名________学号________成绩________ 一、填空题:
1.函数 f ( x) ? arcsin(2 x ? 1) 的定义域是________; 2.函数 f (x) 的定义域是 [0,3] ,则 f (ln x) 的定义域是________; 3.函数 y ?

2x 的反函数为________; 2x ?1
?2 ? x x ? 2 x?0 x?0
,则 f (?3) =________, f (0) =________,

4.设函数 f ( x) ? ?

f (2) =________;
5. y ? ln sin (3x ? 1) 是由简单函数________、________、________和________
2

复合而成。 二、选择题:
1.下列四对函数中, f (x) 与 g (x) 相同的是( (A) f ( x) ? lg x ,
2

) ; (B) f ( x) ? x , (D) f ( x) ?

g ( x) ? 2 lg x

g ( x) ?

x2

4 3 3 (C) f ( x ) ? x ? x ,g ( x) ? x3 x ? 1

x2 ?1 ,g ( x) ? x ? 1 x ?1

2.下列函数中, (

)是奇函数, (

)是偶函数; (B) y ?

(A) y ? sin x , x ? (0,2? ) (C) y ? x ln( x ? 1 ? x ) , x ? (??,??)
2

1 1? x , x ? (?1,1) ln 2 1? x
x

(D) y ? a , x ? (??,??)

1

3.在指定的区间上,单调增的函数是( (A) y ? ( ) x , x ? (??,??) (C) y ? ln(1 ? x) , x ? (?1,1) 4.设 f ( x ) ? ?

) ; (B) y ? sin x , x ? (?? , ? ) (D) y ? x , x ? (?1,1)
2

1 2

? x3 ?? x
3

?3? x ? 0 0? x?2

,则此函数是(

) 。 (D)周期函数

(A)偶函数

(B)奇函数

(C)有界函数

三、计算题:
1.求函数 y ?

3 ? x ? arcsin

3 ? 2x 的定义域; 5

2.已知 f [? ( x)] ? 1 ? cos x , ? ( x) ? sin

x ,求 f (x) 。 2

2

华北航天工业学院高等数学检测题1-2
班级________姓名________学号________成绩________ 一、是非题:
1.若 lim f ( x) ? A ,则 f ( x 0 ) ? A ;
x ? x0

( ( ( ( (

) ) ) ) )

2.已知 f ( x0 ) 不存在,但 lim f ( x ) 有可能存在;
x? x0

3.非常小的数是无穷小; 4.无穷小是一个函数; 5.两个无穷小的商是无穷小。

二、填空题:
1.观察下列数列 a n 的变化趋势,写出它们的极限:

1 , lim a n =___________; n?? n2 n 1 (2) a n ? (?1) , lim a n =___________; n?? n n ?1 (3) a n ? , lim a n =___________; n?? n ?1
(1) a n ? 2 ? (4) a n ? (?1) n , lim a n =___________。
n
n??

2.下列函数中,哪些是无穷小?哪些是无穷大?

1 ? 2x 是无穷___________; x2 1 ? 2x (2)当 x ? ? 时, 是无穷___________; x2
(1)当 x ? 0 时,
1

(3)当 x ? 0 时, 2 x 是无穷___________; (4)当 n ? ? 时, (?1)
n

1 是无穷___________。 2n

3

三、计算题:
求函数 f ( x) ?

x x , ( x) ? ? x x

当 x ? 0 时的左、 右极限, 并说明它们在 x ? 0

时的极限是否存在。

4

华北航天工业学院高等数学检测题1-3
班级________姓名________学号________成绩________ 一、填空题: sin 3x 1. lim =___________; x ?0 sin 2 x 1 ? cos 2 x 2. lim =___________; x ?0 x sin x n 2n 3. lim ( ) =___________; n ?? n ? 1
4.若 lim (1 ?
x ??

1 kx ) ? e 2 ,则 k =___________。 x

3

二、选择题: 1.当 x ? 0 时,下列无穷小中,(
(A) xarccot x与x

)是等价无穷小; (B) 1 ? cos x与
2

x2 2
2 3

(C) tan 3x与x

(D) 2 x ? x 与x ? x

2.如果 lim f ( x) ? ?, lim g ( x) ? ? ,则下列式子成立的是( (A) lim[ f ( x) ? g ( x)] ? ?

);

(B) lim[ f ( x) ? g ( x)] ? 0

(C) lim

1 ?0 f ( x)
sin x x
=( ) 。

(D) lim

1 ?0 f ( x) ? g ( x)

3.极限 lim (A) 1

x ?0

(B) ? 1

(C)不存在

(D)以上都不对

5

三、计算题:
1. lim

1 x cos ; x ?0 x

2. lim

tan x ? sin x ; x ?0 sin 3 x

3. lim (
x ?2

1 2 ? 2 ); x?2 x ?4

4. lim (
x ??

2x ? 1 x ) 。 2x ? 3

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华北航天工业学院高等数学检测题1-4
班级________姓名________学号________成绩________
一、是非题: 1.如果函数 f (x) 在 x ? x0 处连续, 则当 x ? x0 时, 函数 f (x) 有极限, 反之, 如果 lim f ( x ) 存在, 则函数 f (x) 在 x ? x0 处必定连续;
x? x0

( ( ( (

) ) ) )

1 ? 0; x ?? 1 ? e x 1 1 3.极限 lim ( x sin ? sin x) ? ?1 。 x ?0 x x 二、填空题:
2.极限 lim

x2 ?1 1.函数 f ( x) ? 2 的连续区间是___________,可去间断点是___________; x ? 3x ? 2
2.函数 f ( x ) ? ?

?1 ? e ? x ?k?x

x?0 x?0

,若 f (x) 在 x ? 0 处连续,则 k =___________;

3. lim ln
x ?0

sin x 1 sin x lim lim =___________, x sin =___________, =___________; x ?0 x ?? x x x
1 ? 的 ___________ 间 断 点 , 而 x ? 为函数 y ? tan x x 2

4. x ? 0 为 函 数 y ? sin ___________间断点。 三、计算题: 1. lim

ln(1 ? x) ; x ?0 x

7

2. lim

sin x 1? x ? 1? x

x ?0



四、证明题: 证明方程 x ? 3x ? 1 在 (1,2) 内至少有一个实根。
5

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华北航天工业学院高等数学自测题1
班级________姓名________学号________成绩________ 一、填空题:
1.若 f ( x ? 1) ? x ? 3x ? 5 ,则 f (x) =___________, f ( x ? 1) =___________;
2

2.设 f ( x ) ? ?

? ex ?ax ? b

x?0 x?0

,则 lim? f ( x ) =___________,
x ?0

x ?0 ?

lim f ( x) =___________,当 b =___________时, lim f ( x) ? 1 ;
x ?0

?e x (sin x ? 2 cos2 x ? 1) f ( x) ? ? 3.若函数 2x ? a ?
则 a =___________;

x?0 x?0

在 (??,??) 内连续,

4.当 x ? x0 时,f (x) 是比 g (x) 高阶的无穷小, 则当 x ? x0 时, 无穷小 f ( x) ? g ( x) 与无穷小 g (x) 的关系是__________。

二、选择题:
1.从 lim f ( x ) ? 1 不能推出(
x ? x0

) ; (B) lim? f ( x) ? 1
x ? x0

(A) lim? f ( x) ? 1
x ? x0

(C) f ( x0 ) ? 1

(D) lim [ f ( x ) ? 1] ? 0
x ? x0

2. lim? f ( x) ? lim? f ( x ) 是函数 f (x) 在 x ? a 处连续的(
x?a x?a

) ;

(A)必要条件 (C)充要条件 3. lim (sin x cos
x ?0

(B)充分条件 (D)无关条件 ) ; (C) ? 1 (D) ?

(A) 0

1 1 ? sin x) =( x x (B) 1

9

4.函数 f ( x) ? ?

?x ?1 ?3 ? x

x ?1 x ?1

在 x ? 1处间断,该点为(

) 。

(A)可去间断点 (C)无穷间断点

(B)跳跃间断点 (D)振荡间断点

三、计算题:
1 x; 1. lim x ?0 sin 2 x x 2 sin
2. lim

arctan 3x ; x ?0 sin 5 x

2x 2 ? x ? 1 3. lim ; x ?? 3x 2 ? 1

4. lim (
x ??

x ?1 x ) ; x?2

5. lim arcsin( x ? x ? x) 。
2 x???

10

? x2 ? 四、设 f ( x) ? ? 2a ?3x ? 2 ?

x?a x ? a ,试确定常数 a ,使 f (x) 在 x ? a 处连续。 x?a

? x2 ?1 ? ? b 五、 设 f ( x) ? ? ?a ? arccos x ? ?
x ? ?1 处连续。

? ? ? x ? ?1 x ? ?1 ?1 ? x ? 1
,试确定 a, b 之值,使 f (x) 在

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