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初高中衔接课程(4)


初中—高中数学衔接课程
主编 戴又发
0

初高中数学衔接课程

王国明编





课程说明 ............................................................................ 2 使

用说明 ............................................................................ 3 第一讲 基本运算问题 ................................................................. 4 第二讲 方程与方程组 ................................................................ 14 第三讲 一次函数与反比例函数 ........................................................ 24 第四讲 二次函数 .................................................................... 35 第五讲 不等式 ...................................................................... 46 第六讲 函数的综合应用 .............................................................. 58 第七讲 三角形与四边形 .............................................................. 70 第八讲 锐角三角函数 ................................................................ 79 第九讲 圆 .......................................................................... 79 第十讲 高中数学常见的思想方法 ...................................................... 79

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初高中数学衔接课程

王国明编

课程说明
课程名称 初高中数学衔接课程 关注初高中数学教材编排特点; 关注初高中学生的思维发展水平; 通过本课程的学习,能够起到以下效果: 总体课程目标 一、弥补基础知识的不足,夯实学习高中数学的良好基础。 二、训练运算能力、空间想象能力、逻辑推理能力和分析问题解决问题的能力。 三、初步掌握高中数学思想方法,形成良好的学习习惯。 课程适用区域 (省或直辖市) 适用使用新课标教学的地区 高中数学难,难就难在初高中数学无论是在知识的广度和难度上,还是在 思维模式和学习方法上,都存在较大的差异,形成了一个“高台阶” 。特别在新 课程研发 理念和思路 一轮课程改革后,初中数学的教学要求有所降低,有些学习高中数学所必须具 备的基础知识、常用方法和基本能力,在初中的教材中都进行了淡化处理,有 的甚至不做要求。 《初高中数学衔接课程》 旨在帮助即将进入高中的学生弥补知 识储备的漏洞,掌握基本的数学思想方法,形成良好学习习惯,提振学习信心, 闯过高中数学的第一道坎。 编号 第一讲 第二讲 第三讲 第四讲 主要内容 第五讲 第六讲 第七讲 第八讲 第九讲 第十讲 课题 基本运算问题 方程与方程组 一次函数与反比例函 二次函数 不等式 函数的综合应用 三角形与四边形 锐角三角函数 圆 高中数学常见的思想方法
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课程定位

课程容量 120 分钟 120 分钟 120 分钟 120 分钟 120 分钟 120 分钟 120 分钟 120 分钟 120 分钟 120 分钟

初高中数学衔接课程

王国明编

使用说明
本课程适合在即将学习高中数学课程的初中毕业生中使用。共分十讲,每讲安排有教学目标、 重难点提示、基础知识梳理、主要方法归纳、典型例题精讲和课后巩固练习等栏目。无论在小组课 还是一对一授课过程中,老师都可以进行二次开发,更需要根据学生的具体情况进行个性化处理, 让我们共同成为精品课程的开发者。

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初高中数学衔接课程

王国明编

第3讲
课时数量 适用的学生水平 2 课时(120 分钟) ?优秀 √ ?中等

二次函数
?基础较差

教学目标

掌握二次函数的图像和性质; 灵活运用二次函数不同表达形式解决问题,理解二次函数与一元 二次方程的联系; 解决有关二次函数的应用问题. 重点:二次函数的图像和性质 难点:二次函数性质的运用,函数与方程思想的建立 讲练结合

教学重点、难点 建议教学方法

教学内容
一、基础知识梳理
1、二次函数的图像与性质 (1)二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象

b2 b2 b b 2 由于 y=ax +bx+c=a(x + x )+c=a(x + x + 2 )+c- 4a 4a a a
2 2

? a( x ?

b 2 b 2 ? 4ac ) ? , 2a 4a

所以,y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可以看作是将函数 y=ax2 的图象作左右平移、上下平移得到 的.其图像为

b 4ac ? b2 , ), ①当 a>0 时,函数 y=ax +bx+c 图象是开口向上的抛物线,顶点坐标为 (? 2a 4a
2

对称轴为直线 x=-

b ; 2a
b 4ac ? b2 , ), 2a 4a

②当 a<0 时,函数 y=ax2+bx+c 图象是开口向下的抛物线,顶点坐标为 (? 对称轴为直线 x=-

b ; 2a

(2)二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的性质

4

初高中数学衔接课程 ①当 a>0 时,函数 y=ax2+bx+c 在 x< ? 随着 x 的增大而增大;当 x= ?

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b b 时,y 随着 x 的增大而减小;在 x> ? 时,y 2a 2a

4ac ? b 2 b 时,函数取最小值 y= . 4a 2a

②当 a<0 时,函数 y=ax2+bx+c 在 x< ?

b b 时,y 随着 x 的增大而增大;在 x> ? 时,y 2a 2a
? 提 示 二次函数的图 像与性质需要我们 数形结合,理解记 忆.

4ac ? b 2 b 随着 x 的增大而减小;当 x= ? 时,函数取最大值 y= . 4a 2a
2、二次函数的表达形式 (1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0); (2)顶点式:y=a(x+h)2+k (a≠0),其中顶点坐标是(-h,k). (3)交点式:y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0),其中 x1,x2 是二次函数图象与 x 轴 交点的横坐标. 3、二次函数图像的变换 (1)平移变换 (2)对称变换

二、主要方法归纳
(1)数形结合 数形结合是数学解题中常用的思想方法, 用数形结合方法可以使复杂问题 我国著名 简单化、抽象问题具体化;能够变抽象的数学语言为直观的图形、抽象思维为 形象思维,有助于把握数学问题的本质,数学中两大研究对象“数”与“形” 的矛盾统一. 函数图象的几何特征与数量特征紧密结合, 体现了数形结合的特征与 方法. (2)待定系数法 (3)配方法 (4)求二次函数 y ? ax ? bx ? c (a ? 0) 的最值
2





数学家华罗庚曾 说过: “数形结合 百般好,隔裂分 家万事非。 ”

①无限制条件求二次函数最大值或最小值的法 第一步确定二次项系数 a 的符号,a>0 有最小值,a<0 有最大值; 第二步配方求顶点,顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.
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初高中数学衔接课程 ②求二次函数在某一范围内的最大值或最小值 如: y ? ax ? bx ? c 在 m ? x ? n (其中 m ? n )的最值.
2

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第一步:先通过配方,求出函数图象的对称轴: x ? x0 ; 第二步:分类讨论: [i]若 a ? 0 时求最小值或 a ? 0 时求最大值,需分三种情况讨论: ①对称轴小于 m 即 x0 ? m ,即对称轴在 m ? x ? n 的左侧; ②对称轴 m ? x0 ? n ,即对称轴在 m ? x ? n 的内部; ③对称轴大于 n 即 x0 ? n ,即对称轴在 m ? x ? n 的右侧。 [ii] 若 a ? 0 时求最大值或 a ? 0 时求最小值,需分两种情况讨论: ①对称轴 x0 ?

m?n ,即对称轴在 m ? x ? n 的中点的左侧; 2 m?n ②对称轴 x0 ? ,即对称轴在 m ? x ? n 的中点的右侧; 2

三、典型例题精讲
例 1 把二次函数 y=x2+bx+c 的图像向上平移 2 个单位,再向左平移 4 个单位,得到函数 y=x2 的 图像,求 b,c 的值. 【解法一】 y=x2+bx+c=(x+ 得到 y ? ( x ?

b 2 b2 ) ? c ? ,把它的图像向上平移 2 个单位,再向左平移 4 个单位, 4 2

b b2 ? 4)2 ? c ? ? 2 的图像,也就是函数 y=x2 的图像,所以, 2 4

? b ? ? 2 ?4 ?0 , ? 解得 b=-8,c=14. ? 2 ?c ? b ?2 ?0 , ? 4 ?
【解法二】把二次函数 y=x2+bx+c 的图像向上平移 2 个单位,再向左平移 4 个单位, 得到函数 y=x2 的图像,等价于把二次函数 y=x2 的图像向下平移 2 个单位, 再向右平移 4 个单位,得到函数 y=x2+bx+c 的图像. 由于把二次函数 y=x2 的图像向下平移 2 个单位,再向右平移 4 个单位, 得到函数 y=(x-4)2+2 的图像,即为 y=x2-8x+14 的图像, ∴函数 y=x2-8x+14 与函数 y=x2+bx+c 表示同一个函数,∴b=-8,c=14.
6

初高中数学衔接课程 例 2 求下列函数的最大值或最小值. (1) y ? 2 x ? 3x ? 5 ;
2 2

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(2) y ? ? x ? 3x ? 4 .
2 2

【解】 由于函数 y ? 2 x ? 3x ? 5 和 y ? ? x ? 3x ? 4 的自变量 x 的取值范围是全体实数,所以只 要确定它们的图象有最高点或最低点,就可以确定函数有最大值或最小值. (1)因为二次函数 y ? 2 x 2 ? 3x ? 5 中的二次项系数 2>0, 所以抛物线 y ? 2 x 2 ? 3x ? 5 有最低点,即函数有最小值.

3 49 因为 y ? 2 x 2 ? 3x ? 5 = 2( x ? ) 2 ? , 4 8
所以当 x ?

3 49 时,函数 y ? 2 x 2 ? 3x ? 5 有最小值是 ? . 4 8
2

(2)因为二次函数 y ? ? x ? 3x ? 4 中的二次项系数-1<0, 所以抛物线 y ? ? x 2 ? 3x ? 4 有最高点,即函数有最大值. 因为 y ? ? x 2 ? 3x ? 4 = ? ( x ? ) 2 ? 所以当 x ? ?

3 2

25 , 4

25 3 时,函数 y ? ? x 2 ? 3x ? 4 有最大值 . 4 2
2

例 3 (1)当 1 ? x ? 2 时,求函数 y ? ? x ? x ? 1 的最大值和最小值. (2)当 x ? 0 时,求函数 y ? ? x(2 ? x) 的取值范围. 【解】 (1)作出函数 y ? ? x ? x ? 1 的图像(如右图),
2

当 x ? 1 时, y max = -1,当 x ? 2 时, y min = -5. (2)作出函数 y ? ? x(2 ? x) ? x ? 2 x 在 x ? 0 内的
2

图像(如右图), 可以看出:当 x ? 1 时, ymin ? ?1 ,无最大值. 所以,当 x ? 0 时,函数的取值范围是 y ? ?1 .

例 4 某商场以每件 30 元的价格购进一种商品,试销中发现这种商品每天的销售量 m (件)与每件的 销售价 x (元)满足一次函数 m ? 162 ? 3x,30 ? x ? 54 .

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初高中数学衔接课程 (1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润 y 与每件销售价 x 之间的函数关系式;

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(2) 若商场要想每天获得最大销售利润,每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利润为多 少? 【解】 (1) 由已知得每件商品的销售利润为 ( x ? 30) 元,那么 m 件的销售利润为 y ? m( x ? 30) , 又 m ? 162 ? 3x .

? y ? ( x ? 30)(162 ? 3x) ? ?3x 2 ? 252 x ? 4860,30 ? x ? 54 .
(2) 由(1)知对称轴为 x ? 42 ,位于 x 的范围内,另抛物线开口向下

?当 x ? 42 时, ymax ? ?3 ? 422 ? 252 ? 42 ? 4860 ? 432 . ?当每件商品的售价定为 42 元时,每天有最大销售利润,最大销售利润为 432 元.
例 5 根据下列条件,分别求出对应的二次函数的解析式. (1)已知某二次函数的最大值为 2,图像的顶点在直线 y=x+1 上,并且图象经过点(3,-1) ; (2)已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到 x 轴的距离等于 2; (3)已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8). 【解】 (1)∵二次函数的最大值为 2,而最大值一定是其顶点的纵坐标, ∴顶点的纵坐标为 2. 而顶点在直线 y=x+1 上,于是有 2=x+1,∴x=1. ∴顶点坐标是(1,2) . 设该二次函数的解析式为 y ? a( x ? 2) ? 1(a ? 0) ,
2

? 提 示 要充分挖掘题 目中所给出的条 件,获取有关开口 方向、对称轴、顶 点、最值等信息, 巧妙地利用条件, 简捷地解决问题.

又∵二次函数的图像经过点(3,-1) ,∴ ?1 ? a(3 ? 2) ? 1,
2

解得 a=-2. ∴二次函数的解析式为 y ? ?2( x ? 2) ? 1 ,即 y=-2x2+8x-7.
2

(2)解法一 ∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0), ∴可设二次函数为 y=a(x+3) (x-1) (a≠0),展开,得 y=ax2+2ax-3a,

?12a 2 ? 4a 2 ? ?4a , 于是顶点的纵坐标为 4a
由于二次函数图象的顶点到 x 轴的距离 2,即|-4a|=2,得 a= ? 所以,二次函数的表达式为 y=

1 . 2

1 2 3 1 3 x ? x ? ,或 y=- x 2 ? x ? . 2 2 2 2

解法二:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),∴对称轴为直线 x=-1.
8

初高中数学衔接课程 又顶点到 x 轴的距离为 2,∴顶点的纵坐标为 2,或-2.

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于是可设二次函数为 y=a(x+1)2+2,或 y=a(x+1)2-2,由于函数图象过点(1,0), ∴0=a(1+1)2+2,或 0=a(1+1)2-2.∴a=- 所以,所求的二次函数为 y=-

1 1 ,或 a= . 2 2

1 1 (x+1)2+2,或 y= (x+1)2-2. 2 2

(3)设该二次函数为 y=ax2+bx+c(a≠0).由函数图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),

??22 ? a ? b ? c ? 可得 ? ?8 ? c ,解得 a=-2,b=12,c=-8. ?8 ? 4a ? 2b ? c ?
故所求的二次函数为 y=-2x2+12x-8.

例 6 二次函数 y ? ax ? bx 和反比例函数 y ?
2

b 在同一坐标系中的图象大致是( x



y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A.

B.

C.

D.

【解】由题意 a ? 0 ,方程 ax ? bx =0 的两根为 x1 ? 0 、 x 2 ? ?
2

b . a

观察备选答案 ABC 中反比例函数 y ? 答案 A 中 a ? 0 , x 2 ? ? 故选 B.

b 的图象,知 b >0, x

b b >0,矛盾;答案 B 中 a ? 0 , x 2 ? ? >0,正好, a a

例7 抛物线 y ? x ? (k ? 1) x ? 3k ? 2 与 x 轴交于点 (? ,0), ( ? ,0) 两点, ? ? ? ? 17 .求 k 的值. 且
2 2 2

【解】 由题意

? , ? 是方程 x 2 ? (k ? 1) x ? 3k ? 2 ? 0 的两根,
2 2

∵ ? ? ? ? k ? 1, ?? ? ?3k ? 2 ,又 ? ? ? ? 17 即 (? ? ? ) ? 2?? ? 17 ,
2

∴ (k ? 1) ? 2(?3k ? 2) ? 17 , 解得 k1 ? 2 , k 2 ? ?6 .
2

9

初高中数学衔接课程 当 k1 ? 2 时△>0,当 k 2 ? ?6 时△<0(舍去) ∴ k ? 2 .

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例 8 当 t ? x ? t ? 1时,求函数 y ?

1 2 5 x ? x ? 的最小值(其中 t 为常数). 2 2

【解】 由于 x 所给的范围随着 t 的变化而变化,所以需要比较对称轴与其范围的相对位置. 函数 y ?

1 2 5 x ? x ? 的对称轴为 x ? 1 .画出其图像(如下图). 2 2 1 2 5 t ?t ? ; 2 2

(1) 当对称轴在所给范围左侧(如下图左),即 t ? 1 时, 当 x ? t 时函数值最小, ymin ?

(2) 当对称轴在所给范围之间(如下图中),即 t ? 1 ? t ? 1 ? 0 ? t ? 1 时, 当 x ? 1 时函数值最小, ymin ?

1 2 5 ?1 ? 1 ? ? ?3 ; 2 2 1 5 1 (t ? 1)2 ? (t ? 1) ? ? t 2 ? 3 . 2 2 2

(3) 当对称轴在所给范围右侧(如下图右),即 t ? 1 ? 1 ? t ? 0 时, 当 x ? t ? 1 时函数值最小, ymin ?

?1 2 ? 2 t ? 3, t ? 0 ? 1 2 5 综上所述,函数 y ? x ? x ? 的最小值为 y ? ? ?3, 0 ? t ? 1 . 2 2 ?1 5 ? t2 ? t ? ,t ? 1 2 ?2

四、课后巩固练习 A 组
1.选择题: (1)把函数 y=-(x-1)2+4 的图象的顶点坐标是 (A) (-1,4) (B) (-1,-4) ( ) (D) (1,4)

(C) (1,-4) ( )

(2)函数 y=-x2+4x+6 的最值情况是 (A)有最大值 6 (C)有最大值 10

(B)有最小值 6 (D)有最大值 2
10

初高中数学衔接课程 (3)函数 y=2x2+4x-5 中,当-3≤x<2 时,则 y 值的取值范围是 (A)-3≤y≤1 (C)-7≤y≤11
2

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(B)-7≤y≤1 (D)-7≤y<11 )

(4)如果二次函数 y ? kx ? 7 x ? 7 的图象和 x 轴有交点,则 k 的取值范围是(

7 4 7 (C) k ≥- 4
(A) k >- 2.填空:

7 4 7 (D) k >- 4
(B) k ≥-

且 k ≠0 且 k ≠0

(1)已知某二次函数的图象与 x 轴交于 A(-2,0),B(1,0),且过点 C(2,4) ,则该二次函数的 表达式为 . .

(2) 已知某二次函数的图象过点 (-1, , 3) 0) (0, , 4) 则该函数的表达式为 (1, , 3.根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式. (1)已知二次函数的图象经过点 A(0, ?1 ) ,B(1,0) ,C( ?1 ,2) ; (2)已知抛物线的顶点为(1, ?3 ) ,且与 y 轴交于点(0,1) ; (3)已知抛物线与 x 轴交于点 M( ?3 ,0)(5,0) , ,且与 y 轴交于点(0, ?3 ) ; (4)已知抛物线的顶点为(3, ?2 ) ,且与 x 轴两交点间的距离为 4.

4.如图,某农民要用 12m 的竹篱笆在墙边围出一块一面为墙、另三面为篱笆的矩形地供他圈养小 鸡.已知墙的长度为 6m,问怎样围才能使得该矩形面积最大?

B 组
2

第2题

1.抛物线 y ? x ? (m ? 4) x ? 2m ? 3 ,当 m = _____ 时,图象的顶点在 y 轴上;当 m = _____ 时, 图象的顶点在 x 轴上;当 m = _____ 时,图象过原点. 2.用一长度为 l 米的铁丝围成一个长方形或正方形,则其所围成的最大面积为 ________ . 3.设 a ? 0 ,当 ?1 ? x ? 1 时,函数 y ? ? x ? ax ? b ? 1 的最小值是 ?4 ,最大值是 0,求 a, b 的值.
2

4.已知函数 y ? x ? 2ax ? 1 在 ?1 ? x ? 2 上的最大值为 4,求 a 的值.
2

5.求关于 x 的二次函数 y ? x ? 2tx ? 1 在 ?1 ? x ? 1 上的最大值( t 为常数).
2

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C 组
?2 x ? 3( x ? 0) ? 1.函数 y ? ? x ? 3(0 ? x ? 1) 的最大值是________ ?? x ? 5( x ? 1) ?
2.已知 y ? mx ? 5 和 y ? x ? n 的图象关于直线 y ? x 对称,则 m ? n ? 3.函数 y = 2 x
2

6 x + 1 在-1≤ x ≤1 时的最小值是_
2

__,最大值是_____.
2

4.已知二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象与 x 轴的交点为 (?1,0), (3,0) ,其形状与抛物线 y ? ?2x 相同,求 y ? ax ? bx ? c 的解析式.
2

5.已知函数 y =

4 x 2 + 4ax

4a

a 2 在 0≤ x ≤1 时有最大值-5,求 a 的值.

6.求把二次函数 y=2x2-4x+1 的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式. (1)直线 x=-1; (2)直线 y=1.

五、参考答案与解析
A 组 1. (1)D (2)C (3)D (4)B

2. (1)y=x2+x-2

(2)y=-x2+2x+3

3. (1) y ? 2 x 2 ? 2 x ? 1. (2) y ? 4( x ? 1) 2 ? 3 ? 4 x 2 ? 8 x ? 1 . (3) y ?

1 1 2 5 2 1 1 2 (4) y ? ? x ? 3? ? 2 ? x ? 3x ? ( x ? 3)( x ? 5) ? x 2 ? x ? 3 . 2 2 2 5 5 5

4.当长为 6m,宽为 3m 时,矩形的面积最大 B 组 1.4, 14 或 2,

3 2

2.

l2 2 m 16

3. a ? 2, b ? ?2 . 4. a ? ?

1 或 a ? ?1 . 4
12

初高中数学衔接课程 5.当 t ? 0 时, ymax ? 2 ? 2t ,此时 x ? 1 ; 当 t ? 0 时, ymax ? 2 ? 2t ,此时 x ? ?1 . C 组 1.4 2.-4 3.-3 9
2

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4.解析:由题意,直接得 y ? ?2( x ? 1)( x ? 3) ,即 y ? ?2 x ? 4 x ? 6 . 5.解析:配方 若

a f ( x) ? ?4 x 2 ? 4ax ? 4a ? a 2 = ? 4( x ? ) 2 ? 4a . 2

a 2 <0,即 a <0,最大值为 f (0) = ? 4a ? a =-5, a =1(舍去) a =-5; , 2 a a 5 若 0≤ <1,即 0≤ a <2,最大值为 f ( ) = ? 4a =-5, a = ; 2 2 4 a 2 若 ≥1,即 a ≥2,最大值为 f (1) = ? 4 ? a =-5, a = ? 1 (舍去) . 2 5 ∴ a =-5 或 a = . 4
6. (1)y=2x2+12x+17. (2)y=-2x2+4x+1.

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