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《质量改进与质量管理》课件 (4)


第四章 抽样检验
一、概述
二、计数抽样检验的一般原理

三、抽样检验的形式和制订抽样方案的参数
四、计数型抽样检验方案 五、计量抽样检验的一般原理

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一、概述 1. 抽样检验的必要性 2. 抽样方案的表示方法及其分类

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r /> ?检验的基本概念

在质量管理中,一方面要对生产过程进行质量控制,保证生 产的稳定性,另一方面还要对生产出来的产品进行严格的质量检 验,这是保证产品质量的主要环节之一。对产品质量检验的目的, 一是判断所购原材料或已经生产出来的产品是否合格;二是通过 检验来验证生产过程是否稳定,以确保产品质量;三是获得有价 值的信息,及时向有关部门反馈,为进一步改进质量提供第一手 资料。

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检验的分类
? 根据检验的数量分类:

? 全数检验与抽样检验
? 根据流程分类:

? 购入检验、中间检验、成品检验、出厂检验、 库存检验、监督检验
? 根据检验的内容分类:

? 试制品检验、性能检验、可靠性检验、苛刻检 验、分解检验
? 根据检验差别的方法分类:

? 计量检验、计数检验
? 另外还有破坏性检验与非破坏性检验等。
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1、抽样检验的必要性
(1)全数检验会增加成本,尤其对批量大而又不 很贵重的产品更无必要(如螺钉、螺母等标准 件),另外全数检验并非100%可靠,据统计,即 使是全数检验也有可能存在6~10%的检验误差。

(2)对某些带破坏性或损耗性的产品(如武器、 显象管等)只能采用抽样检验。
(3)对大批量生产过程的质量控制,有时只能用 抽样方式。

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2、抽样方案的表示方法及其分类
?(1)一个抽样方案由三个基本参数组成: N—批量大小,表示批产品的总数量;

n—样本量,样本中包含的产品数量;
c—不合格品数或产品质量特性不合格

的临界值。它的一般表示形式为:
(N,n,c)

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(2)抽样方案的分类 ?a、按质量特性分类 : 计数型抽样方案—以不合格品数来衡量一批 产品的好坏,在抽样方案中以不合格品数作 为判别界限,记为(n,c)或(n|c).

计量型抽样方案—以产品的某一质量特性来 衡量一批产品的好坏,在抽样方案中,以质 量特性的某一限值作为判别界限。 n, xL和xu n, xL或xu
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(a)一次抽样。是最简单的抽样,它涉及两个 参数:一个是样本容量n,另一个是判定数Ac或Re, 简记为(n,c)。当不合格品数≤Ac(或≥Re)时则接 收(或拒收)。 其中:Ac-Acceptable number Re-Rejection number (b)二次抽样。根据第一次抽取的样本所提供 的信息在确定是否进行第二次抽样是否进行,最 多经过两次抽样就可以判断出产品是否合格。 (c)多次抽样。是指三次及三次以上的抽样。 (d)序贯抽样。是指逐个或逐组的抽样。
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?b、按抽取样本的次数分类

?c、按调整与非调整分类 (a)调整型抽样方案——根据产品质量的变 化,随时调整抽样方案。如ISO-2859、日本 的JIS-9015以及我国的GB-2828都属计数调整 型。它们规定如原来采用正常抽样方案,当 产品质量变坏时,改用加严抽样方案,当产 品质量比正常状态有所提高时,可采用放宽 抽样方案。 (b)标准型抽样方案——此种方案的特点是, 对于某批产品可自由选取两种错判的概率α 与β,与调整型相比,要达到同样的质量要
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二、 计数抽样检验的一般原理

1.抽样特性曲线(OC曲线) 2.抽样特性函数 (OC函数) 3.影响OC曲线的因素分析

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1、抽样特性曲线(Operating Characteristic Curve-OC曲线)
(1)记批接收概率为L(P)。 根据规定的抽检方案 (n,c),把检验批判断为合格而接收的概率称为接 收概率,即样本n中不合格品数d≤c的概率,它是 批不合格品率p的函数。接收概率被称为方案(n,c) 的抽样特性函数(OC函数- Operating Characteristic c Function)。

L? p ? ? P?d ? c ? ? ? p?x ? d ?
d ?0

? p?d ? 0? ? p?d ? 1? ? ... ? p?d ? c ?
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1)用超几何分布计算L(p)
? 对于有限批量N,不合格品数为D=Np,采用 方案(n,c)验收的合格批接收概率为:

L( p ) ? p? x ? 0? ? p? x ? 1? ? ... ? p? x ? c ? C C ? C
c 0 D n ?0 N ?D n N d D

C C ? C

1 D

n ?1 N ?D n N

C C ? ... ? C

c D

n ?c N ?D n N

C C ?? C d ?0
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n?d N ?D n N

2) 用二项分布计算L(p) 当批量N比较大(或总体是无限)时,可用 二项分布来计算。

L? p ? ? ? C p ?1 ? p ?
d ?0 d n d

c

n?d

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(2)OC曲线的作法 例:某批产品N=20,用抽样方案为(1,0)来验收, 试作出该方案的OC曲线。

先看下面表格中的数据:
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批中的不合格品数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

不合格品率(%) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

接收概率L(p) 1.00 0.95 0.90 0.85 0.80 0.75 0.70 0.65 0.60 0.55

10

50

0.50

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11
12 13

55
60 65

0.45
0.40 0.35

14
15 16 17 18 19 20

70
75 80 85 90 95 100

0.30
0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0

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由上列数据可作出该方案的OC曲线:
接收概率L(p) 1.00

0.50 不合格品率p 50% 100%

该方案的OC曲线是直线,取一特殊点 p=50%, 此时的接收概率L(p)=0.5,显然这样的方案 在实践中是行不通的。
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(3)理想的OC曲线 所谓理想的OC曲线应 1.00 具有如下特征:当产 接 收 品的不合格率小于规 概 定值p0时,以概率1接 率 收;当产品的不合格 品率大于规定值p0时, 以概率1拒收,即如右 图所示。但是,所谓 0 理想的OC曲线是不存 在的。
L(p)
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p0

100 p%

2、抽样方案的优化设计
?既然理想的OC曲线不存在,在实践中是否可以 设计出抽样特性比较好的OC曲线呢?回答是肯定 的,它可以通过设计适当的OC函数来实现。优良 的OC曲线应具有下列形状特征: ?一个好的抽样方案对应的OC曲线是:当这批 产品的质量较好p≤p0时,要以高概率判断它合格, 予以接收;当这批产品的质量不好p≥p1时,要以 高概率判断它不合格,予以拒收;当产品的质量 变坏,p0<p<p1时,被接收的概率迅速减小。

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1.00

0

p0 好

p1



100 P%

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(1)抽样可能发生的两类错误 ?从前面接收概率的计算中知,如按某 一抽样方案验收,产品批的不合格品 率为p,其接收概率为0<L(p)< 1,(p≠100%或0),如果我们确定p 0 为 合格质量水平(即当产品批的不合格品 率p<p 0 ,就认为是合格的),则其接 收概率为L(p 0 )而非100%,这时有1L(p0)的错判率,记为α,因对生产者 不利,故称其为Producer’s Risk。
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?只要是采用抽样检验,就可能发生此 类错误。也就是说,即使该批产品是合 格的,在既定的抽样方案之下也有被拒 收的可能。我们把合格批错判为不合格 批予以拒收的错误称为第一类错误 。

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?另一方面,当检验不合格品率很高的劣质批 (p>p1)时,也不能肯定这批产品会100%被拒 收, 还会有小概率接收。这种把不合格批错 判为合格批而接收的错误被称为“第二类错 误”。如我们设定不合格品率p 1为不合格批 的质量水平(即当产品批的不合格率p1<p时, 就认为是不合格的),很显然,一般情况下, L(p1)≠0,记之为β=L(p1)。因它会使用户蒙 受损失,故称Consumer’s Risk。
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(2)OC曲线各指标的图示
L(P)

1.0

α

α=1-L(p0) β=L(p1)
β

0



p0

p1



100 P(%)

p0、 p1分别是与α、β对应的批合格品率 与批不合格品率。
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3、影响OC曲线的因素分析

OC曲线是由抽检方案确定的,所以分 析OC曲线应从批量 N,样本容量n,以 及合格判定数c入手。
先观察下面几个图: 由后面的a,b,c三图可以看到,产品批量N 对OC曲线的影响不大,而样本量n 及合格 判断数c是影响OC曲线的两个主要因素。
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a、抽样方案不变,N对OC曲线的影响
? N ? 1000 ? ?n ? 20 ?c ? 3 ? ? N ? 100 ? ?n ? 20 ?c ? 3 ? ? N ? 50 ? ?n ? 20 ?c ? 3 ?

对于以上的三个不同抽样方案,其OC曲线十分接 近,这说明批量N的大小对于OC的影响十分有限。 所以常常使用(n,c)两个参数来表示一个抽样 方案。事实上,如果将一次抽样方案(∞,20,3)的OC 曲线也绘在该坐标系中,你会发现尽管N=∞,但该抽 样方案的OC曲线与抽样方案(1000,20,3)的OC曲 线几乎是重合的。
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L(p) 1.00

A

B

N A 1000 B 100 C 50

n 20 20 20

c 3 3 3

C

从上图看出,批量N对OC的影响不大。所以, 在实际应用中当N/n≥10时,就可以不考虑 批 量 的 影 响 。

5

10

p%

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b、N与c不变,n对OC曲线的影响
? N ? 5000 ? N ? 5000 ? ? ?n ? 10 ?n ? 50 ?c ? 2 ?c ? 2 ? ? ? N ? 5000 ? ?n ? 100 ?c ? 2 ? ? N ? 5000 ? ?n ? 250 ?c ? 2 ?

随着n变大,OC曲线变陡,意味着抽样方 案变严格了。例如,当p=0.02时,上述各 方案的L(P)变化悬殊见下面表格数据:
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下表数据由泊松分布所得:
p p=0.02 p=0.02 p=0.02 p=0.02 n n=10 n=50 n=100 n=250 c c=2 c=2 c=2 c=2 np np=0.2 np=1 np=2 np=5 L(p) 0.999 0.920 0.677 0.125

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N=5000,c=2,n与OC的关系图示
1.00 L(p) n=250 n=100

c=2
n=10
n=50

5

10

p%

从图中看出,当N和c一定时,样本量n越大, OC曲线就越陡。这就意味着,n越大,抽样 方案就越严格。

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c、当N,n不变,合格判定数c对OC的影响
n=100 c=5 c=4

c=3
c=0 c=1 c=2

5
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10 P%

?当n一定,合格判定数c越小,则OC曲线 的倾斜度越大,表示批不合格品率稍有 变动接收概率就会有很大变化;当合格 判定数c比较大时,L(P)对不合格品率p 的敏感度较小,表示抽样方案较宽。

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三、抽样检验的形式和制订抽样方案的

参数
1、抽样形式
(1)Single Sampling(一次抽样)

采取一次抽样的形式,就是只对验收批只 作一次抽样检查,根据检验结果来判定其是 被接收还是被拒收,这种抽样的操作步骤是: 从批量为N的被检产品中,随机抽取n件进 行检验,并预先给定一个合格的判定数c。
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?如果发现n中有d件不合格品,当d≤C时, 则判定该批产品合格,予以接收;当d>C 时。则判定该批产品不合格,予以拒收。 ?一次抽样的程序图如下:

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抽取一个大小为n的样本 测定样本中的不合格品数d

d≤c 合格,接收

d>c 不合格,拒收

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?优点: ?①方案设计简单,检验人员的培训与 管理较容易。 ?②能获得较多的有关验收批的信息。

?缺点:
?抽检量相对较大,特别是当待验批的 不合格品率很大或很小时尤为如此。

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?(2)两次抽样 ?由于一次抽样需要的样本量较大,而且一 旦n减少(c不变),方案的判别能力将大大 降低,因此对那些检验量不允许太大,而 对方案判别力的要求又较高的场合,一次 抽样就不适用。二次抽样能弥补这方面的 不足。所谓二次抽样,即先从验收批中抽 取一个大小为n1的样本: ?若此样本中的不合格品数d1不超过合格判 定数c1,则判定该批产品合格而予以接收;

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?如果d 1超过不合格判定数c 2,则判断此批 产品不合格而拒收。 ?如c 1 <d 1 ≤c 2 ,不能判定,需再抽取一个 样本n2,测得其中的不合格品数为d2, ?如,d1+d2≤c2,则接收该批产品,

?如,d1+d2>c2,则拒收。
?二次抽样的方案表示为:(n1,n2,c1,c2)

?综上所述,二次抽样的步骤如下:
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抽取样本n1 检验n1中的不合格品数d1

d1≤c1

c1<d1≤c2
抽取样本n2 检验n2中的不合格品数d2

d1>c2

d1+d2≤c2
合格,接收

d1+d2>c2 不合格,拒收

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?采用二次抽样方案,不一定每批都必须抽 取二个样本。一般来说,在一定的条件下, 二次抽样的平均抽检量比一次抽检小。 ?两次抽样的优点:一般情况下,它的检验 量小于一次抽样,特别是不合格品率较大或 较小时,二次抽样的检验量要比一次抽样小 得多,仅为一次抽样的67%~75%。仅当验收 批的质量水平为中等时,检验量比一次抽样 稍大。 ?缺点:管理稍复杂,操作者需有专门训练.
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?两次抽样的OC函数: 当母体为有限时 ,接收概率为超几何分布。 其中:
L1 ? p? —第一次抽样的接收概率: L2 ? p? —第二次抽样的接收概率;

? P?d1 ? 0? ? P?d1 ? 1?? C C ?? ? L1 ? p ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? P?d ? c ? ? 1 1 ? ? d1 ?0 C
c1 d1 D
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n1 ? d1 N ?D n1 N

L2 ? p ? ? P?d1 ? c1 ? 1, d 2 ? 0,1,2,? ? ? ? ? ? c2 ? c1 ? 1? ? P?d1 ? c1 ? 2, d 2 ? 0,1,2,? ? ? ? ? ? c2 ? c1 ? 2? ? ??

? P?d1 ? c2 ?1, d2 ? 0,1? ? P?d1 ? c2 , d2 ? 0?

C C ? C
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c1 ?1 n1 ?c1 ?1 D N ?D n1 N

?

c2 ?c1 ?1 d 2 ?0

?

C

d2 n2 ? d 2 D ?c1 ?1 N ? n1 ? D ? c1 ?1 n2 N ? n1

C

C

?C C ?? ? C ?
c1 ? 2 D

n1 ?c1 ? 2 N ?D n1 N

?

c2 ?c1 ? 2 d 2 ?0

?
1

C

d2 D ?c1 ? 2

C

C

n2 ? c 2 N ? n1 ? D ? c1 ? 2 n2 N ? n1

? ?? ? ?

+…………+

?C C ?? ? C ?
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c2 ?1 n1 ?c2 ?1 D N ?D n1 N

??

C

d 2 ?0

d2 D ?c2 ?1 N ? n1 ? D ? c2 ?1 n2 N ? n1

C

C

? ?? ? ?

c n ?c 0 C d 2 C n2 ? d 2 ? CD2 C N1? D2 D ? c2 N ? n1 ? D ? c2 ?? ?? n1 n2 C N ? n1 d 2 ?0 ? CN ?

? ? ? ?

?C C ? ? ? C d1 ?c1 ?1 ? ?
c2 d1 D

n1 ? d1 N ?D n1 N

??

c2 ? d1 d 2 ?0

C

d2 D ? d1

C

C

n2 ? d 2 N ? n1 ? D ? d1 n2 N ? n1

? ? ? ?

L? p ? ? L1 ? p ? ? L2 ? p ?
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当母体为无限时,接收概率为二项分布 :
d L1 ? p ? ? ? Cn11 p d1 q n1 ?d1 d1 ?0
c2

c1

? d1 d1 n1 ?d1 c2 ?d1 d 2 d 2 n2 ?d 2 ? L2 ? p ? ? ? ?Cn1 p q ? ? C n2 p q ? d1 ? c1 ?1 ? d 2 ?0 ?

L? p ? ? L1 ? p ? ? L2 ? p ?
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两次抽样的OC曲线 ?二次抽样方案OC曲线的作法比一次抽样 的OC曲线要复杂的多。第一条OC曲线 代表一次抽样时L 1 (P)与不合格率p的变 化关系;第二条OC曲线代表二次抽样后 L(P)与不合格率p的变化关系。

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两次抽样的OC曲线
1.00

一次抽样 的OC曲线

二次抽样 的OC曲线

100%
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?(3)多次抽样

设计多次抽样是为了进一步减少抽样量, 下面是一个多次抽样方案的实例: ?表中的*表示该方案仅从第一样本不能 作出合格判定。 ?表格后面是多次抽样的步骤程序图:

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样本 量

累计 样本量

合格 判定数Ac

不合格 判定数Re

n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7
Page ?49

40 40 40 40 40 40 40

40 80 120 160 200 240 280

*
Ac2=0 Ac3=1 Ac4=3 Ac5=3 Ac6=3 Ac7=4

Re1=2 Re2=3 Re3=3 Re4=5 Re5=5 Re6=5 Re7=5

抽取样本n1
检验n1中的不合格品数d1 d1≤Ac1

Ac1<d1≤Re1

d1>Re1

抽取样本n2 检验n2中的不合格品数d2
d1+d2≤Ac2 Ac2<d1+d2≤Re2 抽取样本n3 d1+d2>Re2

检验n3中的不合格品数d3
d1+d2+d3≤Ac3 Ac3<d1+d2+d3≤Re3

d1+d2+d3>Re3 拒 收


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?多次抽样的优点:当批不合格品率较低或较 高时,多次抽样的抽样量仅为一次抽样的 0.5~0.67,而且在一般情况下都小于两次抽样. 缺点:方案设计较复杂,操作难度较高,对操 作人员需作专门训练。
?在选择抽样形式时,一般考虑如下几个因素:

a、平均抽样量; b、管理费用: 如培训人员,取样,检验等的费用; c、对获得产品信息量的要求; d、生产者与顾客对方案的接受程度。
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2、常用的抽样方案参数

?制订一个具体的抽样方案,要综合考虑 产品使用者的要求及生产者的实际情况, 这些因素一般都反映在下面几个参数上。

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(1)可接受质量水平(Acceptable Quality Level─AQL) ?AQL是受检验产品批为合格时的不合格品 率(或每百个单位中的缺陷数)的上限,以p0 表示,它是合格批的最低质量指标。对于 优秀的抽样方案,凡检验批的不合格品率小 于p0时,就以高概率接收,因为α=1-L(p0), 所以生产方对该参数较为关心。

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?对生产者来说,p0不宜取得太大,因对一定 的方案,如p 0 大,L(p 0 )就小,受验批被拒收 的可能性就大,这样反而对生产者不利。作为 使用方来说,若对生产方的产品质量水平感到 满意,应尽量选择接近生产者的实际质量水平 作为AQL,要求p0过小,生产者可能办不到,即 使办得到,生产成本也将随之提高。

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(2)批允许不合格品率(Lot Tolerance Percent Defective— LTPD)

?LTPD是受检验产品批被判为不合格时的不 合格品率下限,以p1表示。对于优秀的抽样方 案,当验收批的不合格品率高于p 1 时,应以高 概率拒收。因β=L(p1),所以使用方对LTPD较 为关心。

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(3)平均出厂不合格品率(Average

Outgoing Quality—AOQ)
?Average Outgoing Quality Limit—AOQL

(平均出厂不合格品率界限) 在抽样中,抽样方案与验收制度是两种不同 的概念。各种验收制度的差异在于对验出 的不合格品和不合格批的处理方式不同。

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验收制度主要有以下两种: a.当样本中的不合格品数d≤c时,接收全部 验收产品(包括不良品),当d>c时,则全部 拒收。 b.当样本中的不合格品数d≤c时,接收全部 验收产品,但需剔除样本中的不良品,并以 合格品补足;当d>c时,对验收批进行全检, 剔除所有不良品,以合格品补足。

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?根据第二种验收制度,样本中的不合格品必 须换成合格品,样本检验后所含不合格品数 是0。所以,经过一次抽样后被接收的产品批 中还含有p(N-n)件不合格品;当样本中的不 合格品数d>c时,要对不合格批进行全检, 并用合格品替换所有的不合格品,也就是说 在“拒收”的不合格品中,不合格品率为0。 因此,经过抽样检验后所交验产品的平均出 厂不合格品率(AOQ)为: ?AOQ=L(p)p(N-n)/N,当N>>n时,N≈N-n
?因此有AOQ≈pL(p)。由于L(p)<1,所以: AOQ≤p。
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?AOQ反映了验收前后产品质量水平的关系。 AOQ≤p说明通过验收提高了产品的质量。下 图是产品的经抽样与不抽样的质量水平的比 较。 ?在以AOQ为纵轴,以p为横轴的坐标系中, 根据AOQ与p的函数关系,可以画出AOQ的特征 曲线。其中的斜直线是不检验即出厂的AOQ曲 线。 ?水平线AOQL是AOQ的极限=maxAOQ。
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例:一次抽样方案n=89,c=2时的L(p)与AOQ值

p
0.01 0.02 0.03 0.05

n
89 89 89 89

np

L(p)

pL(p)

AOQ
0.94 1.46 1.48 0.93

0.89 0.938 0.01×0.938 1.78 0.731 0.02×0.731 2.67 0.494 0.03×0.494 4.45 0.185 0.05×0.185

0.06
0.07

89
89

5.34 0.106 0.06×0.106
6.23 0.055 0.07×0.055

0.64
0.39

0.09
Page ?60

89

8.01 0.014 0.09×0.014

0.33

一次抽样的AOQ曲线
AOQ% 4 3 2 AOQL 1

抽样前的 AOQ曲线 抽样后的 AOQ曲线

0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

p%

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?曲 线 的 最 高 点 称 为 A O Q L ( A v e r a g e Outgoing Quality Limit),此时使用方的 损失最大,当然,如生产者对产品的售后 服务采用包修包换时,对生产方也不利。 当抽样方案不同时,AOQ曲线也不一样。

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不同的抽样方案对应着不同的AOQ曲线
AOQL

(125,4)

(18,0)

(695,20)

0

p1

p2

p3

p

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(4)平均抽检量(Average Sampling Number—ASN) ?ASN适用于第一种验收制度,它是估计抽 样费用和工作量的一种指标。 ?下面按抽样形式来分别讨论。
a、一次抽样时,ASN=n.

b、二次抽样时,n1是确定的,至于是否要 抽第二样本n 2,要考虑由第一个样本不能 作出判断的概率,它是:
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C C p A ? L( p) ? ? C d1 ?c1 ?1

c2

d1 D

n1 ? d1 N ?D n1 N

需要做第二次抽样的概率—对有限总体

p A ? L( p) ?

d1 ?c1 ?1

?C

c2

d1 n1

p ?1 ? p ?
d1

n1 ? d1

需要做第二次抽样的概率—对无限总体
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下面的公式表示该两种情况下的平均 抽检量ASN

C C ASN ? n1 ? n2 ? ? C d1 ?c1 ?1 ? n1 ? n2 PA
ASN ? n1 ? n2 ? ? n1 ? n2 PA
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c2

d1 D

n1 ? d1 N ?D n1 N

——对有限总体
d1 ?c1 ?1

?C

c2

d1 n1

p ?1 ? p ?
d1

n1 ? d1

——对无限总体

c、多次抽样可以此类推 ?下面是两个抽样方案: (75,1),(50,100,0,2),它们的OC曲线很相 似,我们通过比较它们的ASN曲线,可知一般 情况下,二次抽样的ASN比一次的少,特别 是当产品批的不合格品率较大或较小时。

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ASN

100 75

一次抽样(75,1)

50

二次抽样(50,100,0,2)
p% 1 2 3 4 5

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(5)平均总检验量(Average

Total Inspective Number—I(p))

? I(p)适用于第二种验收制度,其求法 如下: ? a、一次抽样:

? p A n ? ?1 ? p A ?N ? ?1 ? p A ?n ? ?1 ? p A ?n ? p A n ? ?1 ? p A ??N ? n ? ? ?1 ? p A ?n ? n ? ?1 ? p A ??N ? n ?
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I ? p ? ? p A n ? ?1 ? p A ?N

?b、二次抽样:

I ? p ? ? ASN ? ?N ? n1 ? n2 ??1 ? p A ?
其中:
n1 ?d1 N ?D n1 N

C C ASN ? n1 ? n2 ? ? C d1 ?c1 ?1
Page ?70

c2

d1 D

或: ASN ? n1 ? n2 ?

d1 ?c1 ?1

?C

c2

d1 n1

p ?1 ? p ?
d1

n1 ? d1

观察上述几个参数,AQL,ASN与I(p)与生 产方的关系较密切,LTPD,AOQ及AOQL与使 用方的关系较密切,这些参数主要由抽样 方案中的n和c决定,通常是先对上述参数 提出要求,然后再确定n和c。例如,有的方 案是要求在某一β值时,使I(p)最少,有的 方案是规定AOQL之后,使I(p)最少,等等。

Page ?71

四、计数型抽样检验方案

1. 百分比抽样方案 2. 百分比抽样方案的不合理性 3. 标准型抽样方案 4. 调整型抽样方案

Page ?72

1. 百分比抽样方案
?在我国工业企业中,曾经广泛使用百分比 抽样方法,即不管批量大小,都以同样的 百分比来抽样,而且在样本中的允许不合 格品数c是相等的。下面举例说明这种抽样 方法的不合理性。

Page ?73

2. 百分比抽样方案的不合理性
设样本量n是批量N的10%,若批量分别为900、 300与90则形成以下三个抽样方案:
? N ? 900 ? ?n ? 90 ?c ? 0 ? ? N ? 300 ? ?n ? 30 ?c ? 0 ?

?N ? 90 ? ?n ? 9 ?c ? 0 ?

以上三个抽样方案的OC曲线如后面的图示,它 们代表了对产品批质量验收的不同特性,当 p=0.5时,根据二项分布概率计算公式,它们 的接收概率比较如下表所示:
Page ?74

样本量n=批量N×10%的OC曲线
N 900 n 90 p 0.05 c 0 L(P) C090(0.05)0(0.95)90=0.01

300 90

30 9

0.05 0.05

0 0

C030(0.05)0(0.95)30=0.22 C09(0.05)0(0.95)9=0.63

L(P) 1.00 0.63 0.22 0.01 N=900 N=90 N=300

5
Page ?75

10

P%

从表格中的数据与OC曲线图上可以看出,对于相 同质量的交验批产品,三个抽样方案验收判断能力 相差悬殊,这完全是由于批量N的变化引起的,受批 量N大小的影响而导致对同质产品接收概率L(P)的 很大差异,可以说这是“人为”造成的结果。所以 说百分比抽样是不合理的抽样方案。有经验的检验 员,为了抵消这种影响,往往对批量大的交验产品 采取减少样本量,而对于批量小的交验产品则采用 增大样本量,显然这种作法也欠科学性。
Page ?76

双百分比抽样方案

?双百分比抽样方案是指在批量为N的产品中, 抽取固定百分比的产品(样本),即取n=k1N个产 品构成样本,规定接收数c=k 2 n,k 2 是另一个固 定百分比,即c=k2n=k1k2N。检查样本中的不 合格品数d,若d≤c,认为批产品合格,接收;若 d≥c+1,认为批产品不合格,拒收。这样做表 面上看似乎合理,但实际上还是不科学的。 ?下面举例说明:
Page ?77

?例: 若对某种产品采用双百分比抽样,规

定k1=10%,k2=2%,试求当检验产品N=10000, 1000,100件、且各自具有相同的不合格品 率p时,各方案的OC曲线。
解:N1=10000, n1 ? k1 N1 ? 10% ?10000? 1000

c1 ? k1k2 N1 ? 10% ? 2% ?10000? 20

∴相应的抽样方案为(1000,20)

Page ?78

?用泊松分布近似地计算其接收概率 ?1 ? n1 p ? 1000p,

? L1 ? p ? ? ?
d ?0

20

?1000p ?
d!

d

e

?1000 p

n N2=1000, 2

? k1 N2 ? 10% ?1000? 100

c1 ? k1k2 N1 ? 10% ? 2% ?1000? 2
∴相应的抽样方案为(100,2)
Page ?79

?2 ? n2 p ? 100p,? L2 ? p ? ? ? N =100,
3
d ?0

2

?100p ?
d!

d

e

?100 p

n3 ? k1 N3 ? 10% ?100 ? 10

c3 ? k1k2 N3 ? 10% ? 2% ?100 ? 0.2 ? 0
∴相应的抽样方案为(10,0)

?3 ? n3 p ? 10 p,

?10 p ? ? L ? p? ?
3

0

0!

e

?10 p

?e

?10 p

Page ?80

?如改变不合格品率p,可得到各方案的相 应的接收概率,将它们列于下表:
0.1 100 1000 10000 0.99 1.00 1.00 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0.74 0.42 0.95 0.90 0.86 0.82 0.78 0.99 0.92 0.81 0.68 0.54

1.00 1.00 0.92 0.56 0.19 0.004

从表上可见当质量水平较好时,双百分 比抽样方案有一定的改善作用,但当质量 水平稍差时,其不合理性就显而易见。
Page ?81

3. 计数标准型抽样方案 (1)计数标准型抽样检验方案的概念与 特点: ?计数标准型抽样检验方案是最基本的抽 样方案,所谓标准型就是同时严格控制生 产方与使用方的风险,按照供需双方共同 制定的OC曲线的抽样方案抽检。它能同时 满足生产方与使用方的质量保护要求。
Page ?82

给定p0,p1;α,β,确定一次抽样方案(n,c)。

对于某一n及c,批产品接收的概率是:

L( p) ? ? P?n, d | p ?
d ?0
c

c

从而n,c应满足下面方程组:
c

? ? 1 ? L( p0 ) ? 1 ? ? P?n, d | p0 ?

? ? L( p1 ) ? ? P?n, d | p1 ?
d ?0
Page ?83

d ?0

(2)标准型抽样方案的OC曲线
α=1-L(p0)
β=L(p1) 1.0


α

A


B

β
0 好 p0

p1

标准型抽样方案的OC 曲线,就是满足α、β的 OC曲线对应的抽样检 验方案,目的在于保护 供求双方的利益。求解 左上的方程组即可满足 100 P(%) 需要。


Page ?84

(3)如何确定标准型抽样方案

?当使用方对每批产品的质量要求都较严, 或者对生产方的产品质量缺乏了解时,可采 用标准型抽样方案。下面讨论如何来确定标 准型方案。

?设p0,p1,α,β已知,从一批产品中抽取 n个产品,其中含有d个不合格品时概率为(用 d 泊松分布近似表示): ? np 0 np0

P?x ? d ? ? e

?

?

d!

Page ?85

P?x ? d ? ? e

? np1

?np1 ?
d!

d

?当抽样方案中的合格品判定数为c时, 两种情况下的接收概率分别为:
1 ? ? ? L? p0 ? ? ? e ?np0
d ?0 c

?np0 ?d
d!

? ? L? p1 ? ? ? e
d ?0

c

? np1

?np1 ?
d!

d

Page ?86

?当c取不同的值0,1,2,……时,从上面 两式可泊松分布表得到相应的np0和np1,从 而解出相应的n和c,下面举例说明。

?例 如 : 某 厂 对 零 件 实 行 抽 样 检 验 , 设 p0=0.01,p1=0.10,α=1%,β=3%,求标准 d c 型一次抽样方案。 ? np ?np0 ?
1 ? ? ? 1 ? 0.01 ? 0.99 ? L? p0 ? ? ? e
d ?0
0

d!
d

? ? 0.03 ? L? p1 ? ? ? e
d ?0
Page ?87

c

? np1

?np1 ?
d!

? 通过查泊松分布表,来求np0和np1
c=0,

L? p1 ? ? 0.03 ? P? x ? 0 ? ?e
? np1

?np1 ?
0!

0

从表中查得np1=3.5

c=1, L

? p1 ? ? 0.03 ? P?x ? 0? ? P?x ? 1? 0 1 ? np ?np ? ? np ?np ? 1 1 ?e ?e
1 1

0!

1!

查表得np1=5.4
Page ?88

c=2,

L? p1 ? ? 0.03 ? P?x ? 0? ? P?x ? 1? ? P?x ? 2? ?e
? np1

?np1 ?
0!

0

?e

? np1

?np1 ? ? e?np ?np1 ?
1
1

2

?表中查得np1=7.0 ?……

1!

2!

?用相同的方法可求得相应于不同c值的 np0值。将该例的np0和np1列于下表:
Page ?89

c np1

0 3.5 175

1 5.4 36

2 7.0

3 8.5

4 10.0

5 11.4

6 12.5

np0
p1/p0

0.02 0.15

0.45
15.56

0.85
10

1.3
7.69

1.8
6.33

2.2
5.68

本例中,p1/p0=0.10/0.01=10,(当比值在表中 找不到相应值时,可找与它最接近的值),从 上表中查得c=3,n1=8.5,
8.5 ?n ? ? 85 p1
Page ?90

?∴所求方案为(85,3),当然亦可 用n=np0/p0来求n。
当用两式求出的n不同 时,可由下法决定 :

? np0 np1 ? ? n ? max? , ? p p1 ? ? 0 ?

现在,计数标准型一次抽样检验有许多种设计 好的表格,查这些抽样表以前,需先确定p 0 , p1,α,β,并按表格要求进行查表。
Page ?91

4. 计数调整型抽样方案
?调整型抽样方案的特点,就是对具有一定要求 的交验批,不是固定采用某一种抽样方案,而是 根据交验产品质量的实际情况,采用一组正常、 加严和放宽等三个严格程度不同的方案,并且用 一套转换规则把它们有机地联系起来。 ?在一般情况下(满足用户要求的控制状态的质量 水平)使用正常检验方案;当发现产品质量水平下 降时,转换到加严检验方案;当抽样检验结果表 明产品质量有明显的提高时,转换到放宽检验方 案;如果发现产品质量下降到某种规定程度时, 就要停止检查,直到采取措施确认生产过程恢复 正常状态,而且产品质量达到质量规格要求以后, 才能重新开始采用抽样验收检查。
Page ?92

?美国军用标准MIL-STD-105D(简称105D方案) 是应用最为普遍的一类计数调整型抽样方案。 105D经过多次修改,于1974年由国际标准化组织 正式颁布实施,编号为ISO2859。我国参照国际标 准ISO2859,于1981年颁布了国家标准GB2828。调 整型抽样方案是一种发展得较为完整的方案,下 面以ISO2859为例来说明调整型抽样方案的特点及 其用法。 ?(1)适用范围:ISO2859适用于成品、零部件、 原材料、维修及工序控制等方面的抽样检验。 ?(2)表的构成:共有17张表格组成,其中有试 样大小字码表,加严、放宽检验界限表及其转换 程序表等,抽样形式有一次~七次。
Page ?93

(3)方案的调整:

ISO2859方案实施抽检过程中的调整是根 据AQL的变化来制订的,当质量水平接近 规定的AQL时,采用正常抽检方案,当质 量水平持续高于规定的AQL时,则改用放 宽抽检方案,一旦质量水平低于规定的 AQL,则立即采用加严方案。正常、加严、 放宽方案的OC曲线如下:

Page ?94

1.00

L(p)

放宽

正常 加严

p%
Page ?95

(4)检验水平
?检验水平——即样本量的大小,检验水平高,抽 检样本量也大,反之,样本量就小。ISO-2859方 案共有七个检验水平,其中“Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ”三种 称一般检验水平,Ⅰ的水平最低,Ⅲ的水平最高。 S-1,S-2,S-3,S-4为特殊检验水平,S-1的水平 最低,S-4的水平最高。在无特殊要求的情况下, 一般都采用水平“Ⅱ”,若需要较高的检别力, 可采用“Ⅲ”,当产品比较贵重,检验又带有损 伤性或检验费用较高时,可采用“Ⅰ”,若遇到 破坏性或检验费用很高而必须采用小样本时,可 采用特殊水平S-1,S-2,S-3,S-4进行检验。

Page ?96

(5)AQL

?可接收质量水平AQL一般用不合格品率或 每100单位的缺陷数表示。AQL是调整型抽 样方案设计体系的主要依据,也是消费者与 生产者都认可的最大不合格品率。

Page ?97

?调整型抽样方案的设计原则是: ?当p=AQL时, 采用正常检验。 ?当p<AQL时,采用放宽检验; ?当p>AQL时,采用加严检验

Page ?98

AQL的确定
?通常,AQL是由供求双方协商确定的,双方所确 定的值既能较好的满足用户的要求,又能符合所能 达到的实际产品质量水平。在双方协商之前,消费 者与生产者都要从各自的实际出发,对AQL的值 确定一个初步指标,作为共同协商的基础。 ?消费者根据使用的技术、经济条件考虑AQL值的 界限。越是重要的检查项目或不合格品在使用中造 成的损失越大,规定的AQL值也越严格,如影响 严重的不合格品AQL=1.5%;影响轻微的不合格品
Page ?99

(6) 样本量n的确定
?调整型抽样方案设计体系中,除了AQL外就是样 本量n。样本n由批量N及检验水平而定,检验水平 一般由用户(消费者)选择。样本量字码表给出了 三种不同的检验水平(ⅠⅡ Ⅲ)。这三种检验水平对 生产者所提供的保障完全相同,但是对用户提供的 保障则不同。其中,检验水平Ⅱ应用最为广泛。因 为检验水平Ⅰ所要求检验的产品数量仅为检验水平 Ⅱ的大约1/2;而检验水平Ⅲ所要求的检验产品数量 却是检验水平Ⅱ的大约2倍。因此,在实践中检验 水平Ⅱ的样本数量较为适中。但是以检验水平Ⅲ设 计的抽样方案对产品质量的分辩能力最强,所以,应 根据产品的特点适当选择检验水平.
Page ?100

关于附加的检验水平
?样本量字码表还提供了四种特别附加的检验水 平(S-1,S-2,S-3,S-4),特别附加检验水平 一般用于破坏性检验或费用较高的检验,所以在 需要或者只能采取极小的样本,或具有较大风险 时,才应用上述四种特别附加的检验水平。

Page ?101

?(7)抽检步骤 在确定抽样方案时,先确定下列参数:N, AQL,检验水平以及抽样形式,然后再查相 应的表格来确定方案。下面举例说明。 ?例 : 设 A Q L = 2 . 5 % , 采 用 检 验 水 平 Ⅱ , N=1000,抽样形式为一次,试用105D方案求: 正常、加严及放宽方案。 ?解:a、从试样大小字码表中根据N=1000检 验水平为Ⅱ,找到相应的字码为“J”; b、由字码J及AQL=2.5%,在一次正常抽样 表中查得:Ac=5,Re=6,n=80,按相同的步 骤可查到放宽与加严时的方案。
Page ?102

五、计量抽样检验的一般原理
定义:所谓计量型抽样即是对产品的某一个 特性值进行抽样检验。 制订抽样方案时,计量型对不合格批标准的 考虑与计数型不同,有以下两条: 1.以不合格品率来衡量批质量; 2.以产品的某一质量特性的平均值来衡量批 质量。 下面我们分别讨论在这两种情况下计量型抽 样方案的确定方法。设σ已知。
Page ?103

1、以不合格品率衡量批质量时 ?(1)计量值的不合格品率 ?所谓计量值的不合格品率,就是指特性 数据中超过公差标准部分的面积。如给定 了公差上限Su后,可规定不合格品率p0和 p 1 ,当产品批的p≤p 0 时,则该批产品即为优 质批,当p≥p 1 时,该批产品即为劣质批。

Page ?104

优质批 p0
u0

劣质批 p1

u1

Su

Page ?105

?设定p0和p1以后,若从待验批中抽出一个 样品,其测量结果可能出现以下三种情况:
1) 测定值落在AB之 间——很可能来 自于优质批; 2) 测定值落在BC之 间——待定; 3) 测定值落在CD之 A 间——很可能来 自于劣质批。
Page ?106

优质批

劣质批

u0

B

C

u1

D

(2)方案的设计

?在设计抽样方案以前,需先确定p 0,p 1,α, β, 及公差S u或S L(单侧),S u和SL(双侧), 计量型抽样方案的形式也有一次与多次之分。 这里只讨论单侧公差一次抽样的情况。

?a、标准化:由前知,产品的计量特性一般 是服从正态分布的,这里为了计算方便,先对 其进行标准化:

Page ?107

1 f ?x ? ? e 2? ?
p

? x ?u ?2 ?
2? 2

u
Page ?108

Su

x

f ?x ? ?
p

1 2?

e

t2 ? 2

t
0

tp

Page ?109

?b、样本量n和判别界限的推导
?注:设来自生产条件基本相同的批的 σ相等,实践证明,这是合理的,因为 生产条件相同,意味着随因素相同,而σ 主要是由随机因素决定的。

Page ?110

t p0 ?

t p1?

产品批的分布
p1

σ
t? ? n

σ
t?? n

p0 x

u0
? n

u1
? n

Su

样本平均值的分布

x

u0
Page ?111

β

xu

α

u1

由图示,我们可得下列关系式: 对x的分布:
Su ? u0 ? t p0 ?
………………………(1) ………………………(2)

Su ? u1 ? t p1?


x

的分布:

xu ? u0 ? t? ?
xu ? u1 ? t ? ?
Page ?112

?
n ?
n

……… … …………(3) … … … … ………(4)

由(1)-(3):

由(2)-(4):

由(5)=(6):

? ……………(5) Su ? xu ? t p0 ? ? t? ? n ? ……………(6) Su ? xu ? t p1? ? t ? ? n ? ? t p0? ? t? ? ? t p1? ? t ? ? n n
2

整理得:

? t? ? t ? ? ? n?? ? tp ? tp ? 1 ? ? 0

………………(7)

Page ?113

将(7)代入(5)或(6):

xu ? Su ?

t? t p1 ? t ? t p0 t? ? t ?

?

类似地,可推出下侧公差时的n和xL的表达式:

? t? ? t ? n?? ? tp ? tp 1 ? 0
注:式中的
Page ?114

? ? , ? ?

2

xL ? S L ?

t? t p1 ? t ? t p0 t? ? t ?

?

t? , t? , t p0 , t p1 都取绝对值。

?例:用计量抽样方法验收某种产品,规定 单位产品的某个特性值不超过200时为合格 品,已知σ=6,p0=0.01,p1=0.08,α=0.05,β=0.10, 求满足上述条件的计量一次抽样方案。
解:Su=200,σ=6,

t? ? 1.645 t? ? 1.281 t p0 ? 2.326 t p1 ? 1.405 , , ,
2 ? t? ? t ? ? ? ? ? ? 1.645? 1.281? ? 10.1 ? 11 n? ? ? ? tp ? tp ? ? 2.326 ? 1.405? 1 ? ? 0 2

Page ?115

xu ? Su ?

t? t p1 ? t ? t p0 t? ? t ?

?

? 2.326?1.281? 1.405?1.645? ? 200? ? ??6 1.645? 1.281 ? ? ? 189.15

所求方案为:从验收批中,抽取11个单位产 品,求出它们的质量特性值的平均值:如 ≤189.15,则验收批合格,予以接收。 如 x >189.15,则验收批不合格,予以拒收.
Page ?116

2、以质量特性值的平均值来衡量 产品批质量时 在生产实践中,某些产品或材料是用特 性值的平均值来衡量批质量的优劣的。
在抽样抽验中,可根据供需双方的情况确 定优质批的平均值界限 u0 及劣质批的平 均值界限 u1 再根据需要规定两类抽样误 差 α与β,从而决定抽样方案。

Page ?117

优质批 劣质批

σ

σ
t? ? n
t?? n

u0
? n

u1
? n

x

u0
Page ?118

β

xu

α

u1

x

方案设计:
假设平均值 定值。先确定

x 越小越好,即采用上限合格判 u0 , u1,α,β再由前图得:
?
………………(1) ………………(2)

xu ? u0 ? t? ?

xu ? u1 ? t ? ?

?

n

n

由(1)-(2):
u0 ? u1 ?
Page ?119

?

n

?t? ? t? ? ? 0

t? u1 ? t ? u0 ? 当(3)代入(1)或(2): xu ? 当采用下限合格判定值时, t? ? t ?
类似上面推导过程可得:

? t? ? t ? ?n ? ? ? ?u ?u 1 ? 0

? ? ? 2 ………………(3) ? ?

2

? t? ? t ? ? 2 n?? ?u ?u ? ? , ? ? 0 1?
注:

? t? u1 ? t ? u0 xL ? t? ? t ? n, xu , xL 表达式中 t? , t ? 的都取绝对值。
2

Page ?120

例:
?设有一批化工原料,某种化学成分服从 正态分布,σ=0.45%。希望此种化学成分的 平均值不低于u0=42%,如它不超过41%,只愿 以小概率接收,现规定α=0.05,β=0.01,试 求一次抽样方案。
解:t
?

? 1.645, t? ? 2.326
2

,u0=42%,u1=41%

? 1.645? 2.326? n?? ? 0.452 ? 3.19 ? 4 ? ? 41 ? 42 ?
Page ?121

41 ?1.645 ? 42 ? 2.326 xL ? ? 41.59% 1.645 ? 2.326
?抽样方案为:从验收批中抽取4个单位产 品,计算该种化学成分的平均值。

若 x ≥41.59,则验收批合格,接收。 若 x <41.59,则验收批不合格,拒收。

Page ?122


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