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学而思高一春季物理竞赛CPHO预备队第10讲


第 10 讲

复杂电路原理

本讲提纲 1. 等电势点 2. 基尔霍夫定律 3. 叠加 4. 等效电源 本讲先给出复杂所有的原理,初步学习电路原理的使用方法,下讲我们会通过一次习题课加深同 学们对这些原理的理解,提升应用的能力。 知识模块

对称性原理 在一个复杂电路中,如果能找到一些完全对称的点, (以两端连线为对称

轴) ,那么可以将接在等 电势节点间的导线或电阻或不含电源的支路断开(即去掉) ,也可以用导线或电阻或不含电源的支路 将等电势节点连接起来,且不影响电路的等效性。

引入:复杂电路 所谓复杂电路就是无法通过“揉线”改变成串并联的电路,最简单的复杂电路莫过于如下电桥:

当然也就可能是多电源多网络的:

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1

刚开始看见这样电路一定有些绝望,这种电路怎么等效电路怎么画?总电阻多少?要解决这样的 问题,我们需要更深刻,更本质的理解欧姆定律以及“串并联电路规律” 。 基尔霍夫定律 知识点睛 1.含多个电源电路欧姆定律 沿着电流的方向,每通过一个电阻电势降低,降低的值等于电阻上的电压,每当从负极到正极通 过一个电源, 电势升高, 升高的值等于电源电动势. 电路两端电压等于各部电路上电压升降的代数和.

U a ? Ir1 ? E1 ? IR1 ? E2 ? Ir2 ? IR2 ? Ub

U ab ? E2 ? I ( R1 ? R2 ? r1 ? r2 ) ? E1

【注意】 1.这个原理的应用最关键的是要掌握电势差的概念:对于一个电阻,电势差等于电流与电阻之乘积。 但对于一个电源, 电势差必须等于电动势与电阻压的总和, 但是电动势的方向与其形成电压方向相反。 2.同学们由于初中电路题练得太多,思维往往形成了定势。这里有些概念一定要及时纠正过来。对于 复杂电路, “干路电流 I”不能做绝对的理解(任何要考察的一条路均可视为干路) ;电源的概念也是 相对的,它可以是多个电源的串、并联,也可以是电源和电阻组成的系统;一个电路不是除了串联并 联就是混联的,所以不要一看见电路就期待找主路支路,看串并联。 2.基尔霍夫定律 第一定律(节点定律) :流入节点的电流,等于从节点中流出的电流.

? (? I ) ? 0

第二定律(电压定律) :沿任何一闭合回路一周电势降落的和为 0. ?? ? IR ? ? ?? ? E ? ? 0 . 3.应用基尔霍夫定律的要点: 1.方程的独立性及独立方程数目应等于所求未知量数. 例如:一个有 n 个节点, p 个支路的复杂电路,其电流独立方程为 n ? 1 ,电压回路方程数为
p ? ? n ? 1? 个. 为了保证回路的独立性,在新选定的回路中,必须至少有一段电路中在已选的回路中

未曾出现过. 2.中每一点都有一定电位,这个电位是该点对零电位参考点而言的,欲求电路中某点的电位或两点
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电位差,只要从该点出发经过一定路径绕到零电位点(或给定点) ,考察各点电位的改变,就可以求 出该点的电位或电位差. 即 U ? ? ? ? IR ? ? ? ? ? E ? . 3.给定电路上假定电流的方向,若解得结果为正值,说明实际电流方向和假定方向相同;若解得结 果为负值,说明实际电流方向和假定方向相反,电流的大小为其绝对值. 4.方程时,按正负号规定,前后要保持统一,对于电流,流出节点的电流为正值,则流入节点的电 流为负值,流入和流出节点的电流之和为零.

例题精讲
【例1】六个阻值均为R的电阻与电动势为 ? (内阻不计)的电池,组成如图所示的电路.则流过电池 的电流是为多少?

【例2】用导线连接成如图所示的框架,ABCD和ABCE是正四面体,每段导线的电阻都是1 ? 。求AB 间的总电阻。 A

C B

D

【例3】N个点之间每两个之间都连接有电阻为r的电阻,求两点间的等效电阻。

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3

【例4】英国物理学家惠斯登曾将最开始的图中的R5换成灵敏电流计○ G , 将R1 、 R2中的某一个电阻换 成待测电阻,将R3 、R4换成带触头的电阻丝,通过调节触头P的位置,观察电流计示数为零来测 量带测电阻Rx的值,这种测量电阻的方案几乎没有系统误差,历史上称之为“惠斯登电桥” 。请 学员们参照图思考惠斯登电桥测量电阻的原理,并写出Rx的表达式(触头两端的电阻丝长度LAC 和LCB是可以通过设置好的标尺读出的) 。

【例5】如下图所示,电源电动势E=6V,内阻r=1Ω,电阻R1=R2=R3=18Ω,R4=11Ω,则C、D两端的电 压UCD=______V,R3上的电流方向为___ _.

【例6】在图的电路中求 Uab 。

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【例7】在如图所示电路中,电源ε = 1.4V,内阻不计,R1 = R4 = 2Ω,R2 = R3 = R5 = 1Ω,解流过电阻 R5的电流。

【例8】电路中,已知电源电动势 E1 ? 45 V, E2 ? 48 V, R1 ? 5? , R2 ? 3? , RD ? 20? ,

R4 ? 42? , R5 ? 2? . 求各支路的电流.

【例9】如图所示电路中,已知 E1 ? 1.0 V, E2 ? 2.0 V, E3 ? 3.0 V, r1 ? r2 ? r3 ? 1.0? , (1)通过 E 3 的电流; (2) R3 上消耗的功率; (3) E 3 对外供 R1 ? R2 ? 1.0? , R3 ? 3? . 求: 给电功率; (4) A 点的电势.

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叠加原理 电源叠加:把电路里面的一个电源留下,其他电源变导线,算出电流分布。然后把各个电源产生 的结果叠加,最后结果就是全部电源存在的时候电流分布。叠加原理与力学中“力的独立作用原理” 极为相似,其内容为:若电路中有多个电源,则通过任一支路的电流等于各个电动势单独存在时该支 路产生的电流之和。 电流叠加:考虑一个节点流入的电流,先暂时流向电路中任意一点(有时候甚至可以是无穷远) , 再由这个点流向目标节点。实际电路中每一路的电流是两次电流的叠加。 叠加原理能使用的原因我们无法在高中用非常严谨的数学表达清晰,但是可以定性的说明一下, 像 F=ma 与 U=iR 这种物理原理不妨看成一种响应函数,对一个电阻输入一个电压,结果就是输出一 个电流,由于每个电阻或者电源,I 对 U 的响应都是一个一次函数,多个一次方程构成的方程组最后 一定也是线性的。 等效电源定理 实际的直流电源可以看作电动势为 ? ,内阻为零的恒压源与内阻 r 的串联,如图所示,这部分电

路被称为电压源。

?
r

R

I0 r

R

不论外电阻 R 如何,总是提供不变电流的理想电源为恒流源。实际电源 ? 、r 对外电阻 R 提供电 流 I 为:

I?
其中 ?

? r ? ? R?r r R?r

?

/ r 为电源短路电流 I 0 ,因而实际电源可看作是一定的内阻与恒流并联的电流源。

实际的电源既可看作电压源,又可看作电流源,电流源与电压源等效的条件是电流源中恒流源的 电流等于电压源的短路电流。利用电压源与电流源的等效性可使某些电路的计算简化。 等效电压源定理(又叫戴维宁定理) :两端有源网络可等效于一个电压源,其电动势等于网络的 开路电压,内阻等于从网络两端看除电源以外网络的电阻。 等效电流源定理(又叫诺尔顿定理) :两端有源网络可等效于一个电流源,电流源的 I 0 等于网络 两端短路时流经两端点的电流,内阻等于从网络两端看除电源外网络的电阻。

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【例10】如图所示的电路中,

? ? 3.0V , ? ? 1.0V , r ? 0.5?, r ? 1.0?, R ? 10.0?, R ? 5.0?,
1 2 1 R ? 4.5?, R ? 19.0? 3 4 2 1 2

(1)试用等效电压源定理计算从电源

?? 2、r2 ? 正极流出的电流 I 2 ;
1

(2)试用等效电流源定理计算从结点 B 流向节点 A 的电流 I 。

E A

? 1 r1
R1
R4

R3
B R2

D
C

? 2 r2
【例11】如图,R1=R2=R3=R,U1=1V,U2=2V,U3=3V,求每个电阻和电源上的电流大小和方向。 (叠加 or 基尔霍夫)

【例12】如果将右上图中电源电动势分别是 ε1 和 ε2 、内阻分别为 r1 和 r2 的电源用右下图的电动势为 ε 、 内阻为 r 的电源代替, 并要求使两电路的干路电流相等且与外电阻 R 无关。 试求 ε 、 r 和 ε1 、 ε2 、r1 、r2 的之间的关系。若上图的电源不是两个,而是电动势和内阻分别为 ε1 、ε2 、… 、εn 和 r1 、r2 、… 、rn 的 n 个并联,以上关系又将如何?

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【例13】有若干个阻值分别为 2Ω 及 1Ω 的电阻器组成如图所示的电路,其中 A、B 两点接地,电阻 2 是固定不动的,输入电压 U1,U2,…,Un。仅取 1 V 或者 0 V 两个值,0 V 表示接地。 (1) 当 n=3 时,B 点输出电压有几个可能的值? (2) 当 n→∞时,B 点的最大输出电压为多少?

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自学材料 “高科技”的电子科技发展史
库仑在 1785 年首先从实验室确定了电荷间的相互作用力,电荷的概念开始有了定量的意义。1820 年,奥斯特从实验中发现了电流对磁针有力的作用,揭开了电学理论新的一页。同年,安培确定了通 有电流的线圈的作用与磁铁相似,这就找出了此现象的本质问题。有名的欧姆定律是欧姆在 1826 年 通过实验而得出的。法拉第对电磁现象的研究有特殊贡献,他在 1831 年发现的电磁感应现象是以后 电子技术的重要理论基础。在电磁现象的理论与使用问题的研究上,楞次发挥了巨大的作用,他在 1833 年建立确定感应电流方向的定则(楞次定则) 。其后,他致力于电机理论的研究,并阐明了电机 可逆性的原理。楞次在 1844 年还与英国物理学家焦耳分别独立的确定了电流热效应定律(焦耳-楞次 定律) 。与楞次一道从事电磁现象研究工作的雅可比在 1834 年制造出世界上第一台电动机,从而证明 了实际应用电能的可能性。电机工程得以飞跃的发展是与多里沃-多勃罗沃尔斯基的工作分不开的。 这位杰出的俄罗斯工程师是三相系统的创始者,他发明和制造出三相异步电机和三相变压器,并首先 采用了三相输电线。在法拉第的研究工作基础上,麦克斯韦在 1864 年至 1873 年提出了电磁波理论。 他从理论上推测到电磁波的存在,为无线电技术的发展奠定了理论基础。1888 年,赫兹通过实验获 得电磁波,证实了麦克斯韦的理论。但实际利用电磁波为人类服务的还应归功于马克尼和波波夫。大 约在赫兹实验成功七年之后,他们彼此独立的分别在意大利和俄国进行通信试验,为无线电技术的发 展开辟了道路。 1883 年美国发明家爱迪生发现了热电子效应,随后在 1904 年弗莱明利用这个效应制成了电 子二极管,并证实了电子管具有“阀门”作用,他首先被用于无线电检波。1906 年美国的德弗雷斯 在弗莱明的二极管中放进了第三个电极——栅极而发明了电子三极管, 从而建树了早期电子技术上最 重要的里程碑。半个多世纪以来,电子管在电子技术中立下了很大功劳;但是电子管毕竟成本高,制 造繁,体积大,耗电多,从 1948 年美国贝尔实验室的几位研究人员发明晶体管以来,在大多数领域 中已逐渐用晶体管来取代电子管。但是,我们不能否定电子管独特的优点,在有些装置中,不论从稳 定性,经济性或功率上考虑,还需要采用电子管。 第一个集成电路是在 1958 年见诸于世的。集成电路的出现和应用,标志着电子技术发展到 了一个新的阶段。 它实现了材料、 元件、电路三者之间的统一;同传统的电子元件的设计与生产方式、 电路的结构形式有着本质的不同。随着集成电路制造工艺的进步,集成度越来越高,出现了大规模和 超大规模集成电路(例如可在一块 6mm 平方的硅片上制成一个完整的计算机) ,进一步显示出集成电 路的优越性。 随着半导体技术的发展和科学研究、生产与管理等的需要,电子计算机应时而兴起,并且 日臻完善。从 1946 年诞生第一台电子计算机以来,已经经历了电子管、晶体管、集成电路及超大规 模集成电路的四代,每秒运算速度已达 10 亿次。现在正在研究和开发第五代计算机(人工智能计算 机)和第六代计算机(生物计算机) ,它们不依靠程序工作,而依靠人工智能工作。特别是七十年代 银河计算机问世以来,由于它价廉、方便、可靠、小巧,大大加快了电子计算机的普及速度。 数字控制和数字测量也在不断发展和日益广泛的应用。数字控制机床和“自适应”数字控 制机床相继出现。目前利用电子计算机对几十台乃至上百台数字控制机床进行集中控制(所谓“群 控”)也已经实现。 在工业上晶体闸流管(即可控硅)也获得广泛应用,使半导体技术进入了强电领域。 随着生产和科学技术发展的需要,电子技术得到高度发展和广泛应用(如空间电子技术、 生物医学电子技术、信息处理和遥感技术、微波应用等) ,它对于社会生产力的发展,也起这变革性 的推动作用。电子水准是现代化的一个重要标志,电子工业是实现现代化的重要物质技术基础。电子 工业的发展速度和技术水平,特别是电子计算机的高度发展及其在生产领域中的广泛应用,直接影响 到工业、农业、科学技术和国防建设,关系着社会主义建设的发展速度和国家的安危;也直接影响到 亿万人民的物质、文化生活,关系着广大群众的切身利益。

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