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试题2答案


试题 2 答案 1 解: (1)弹簧压缩量最大时,绳子最易拉断

1 1 2 mv 0 ? kx 2 2 2

kx ? T

解得: v 0

?

T mk

(细线被拉断的条件)

(2)设细线被拉断时滑块 m 的速度为 v1 ,绳断后

弹簧被压缩到最短时二者速度为 v2

1 1 2 1 2 2 mv 0 ? kx 1 ? mv 1 ------------------------------------① 2 2 2 1 1 1 2 2 2 mv 0 ? kx 2 ? ( M ? m)v 2 --------------------------② 2 2 2

kx1 ? T -----------------------------------------------------------③ mv1 ? (M ? m)v2 ----------------------------------------------④
解得: x 2

?

Mm v0 m T2 ? 2 k ( M ? m) k ( M ? m)

2

最大加速度: a m

?

kx2 1 ? M M

kMm v0 ? m T 2 M ?m

2

(3)若滑块最后离开木板时相对地面速度恰好为零,则:

mv1 ? Mv ----------------------------------------------⑤
1 1 2 mv 0 ? Mv 2 -------------------------------------⑥ 2 2
解①③⑤⑥得条件: v0 2 解:圆柱体受力如图

?

T k (m ? M )

且m

?M

f1 ? f 2

(关于圆柱轴心力矩平衡)-------------------------------① (竖直方向合力为零)---------② (水平方向合力为零)-------③

Mg ? N 2 sin ? ? f1 ? f 2 cos? N1 ? N 2 cos? ? f 2 sin ?
化简得: N 1 可见, N1 所以,

? N2 ?

Mg sin ? ? ? N 2 ? Mg tan 1 ? cos ? 2

? N2

f 2 ? ?N 2 --------------------------------------------------------------④
? Mg ? ? ? cos? ? sin ?
--------------------------⑤

解①④代入②得: N 2

第1页

试题 2 答案 板关于 O 点力矩平衡: mgl

sin ? ? N 2 R cot

?
2

----------------------⑥

⑤代入⑥得: m

?

2 M l ( ? ? ? cos ? ? sin ? ) sin ?

R cot

?

? ? 530 ,则 sin ? ? 0.8 、 cos ? ? 0.6 、 cot
所以, m

?
2

?2

?

25R M 8l (2 ? ? 1) 25R M 8l (2 ? ? 1)
系统才能平衡

(1)当 ?

? 0.5 时, m ?

(2)当 ?

? 0.5 时,系统不能平衡

3 解:以小球在球壳最低点时的位置系统重力势能为零,当两球心连线 o1o2 与竖直线的夹角为 ? 时,系统的重力势能 为:

E p ? mg ( R ? r )(1 ? cos ? ) ? 2mg ( R ? r ) sin 2 1 ? ? 0 ,则: E p ? mg ( R ? r )? 2 2

?
2

当小球相对大球壳的速度为 v 时,大球壳速度为 u ,系统水平方向动量守恒

Mu ? m(v cos? ? u)

u?

mv cos ? M ?m ?

-------------------------------------------------------------------①

1 1 m[( v cos ? ? u ) 2 ? (v sin ? ) 2 ] ? Mu 2 -----② 2 2 1 m ( M ? m ? m cos 2 ? )v 2 ①式代入②式得: E k ? 2 M ?m 1 mM 2 v ---------------------------------------------③ 由 cos ? ? 1 得: E k ? 2 M ?m
系统的动能为: E k 系统总机械能为: E

? Ek ? E p

E?

1 1 mM 2 mg ( R ? r )? 2 ? v -------------------------------------------④ 2 2 M ?m

两球心连线 o1o2 与竖直线的夹角为 ? 时的位置相对于球壳偏离球在球壳最低点时的位置的水平位移大小为:

x ? ( R ? r ) sin ? ? ( R ? r )? ------------------------------------⑤

1 mg 2 1 mM 2 x ? v --------------------------⑥ 2 R?r 2 M ?m 1 2 1 2 ⑥式与简谐运动的总能量 E ? kx ? mv 对比得:小球相对球壳的运动为简谐运动。 2 2
⑤式代入④式得: E

?

第2页

试题 2 答案

k?

mg R?r

、等效质量 ?

?

Mm M ?m

取球在球壳最低点时的位置为位移原点,向右为正方向

x ? ?( R ? r )? ? ?( R ? r )? 0 cos? ? t
所以: ?

? ?? 0 cos? ? t

??

k

?

?

M ?m g M R?r

系统质心水平位置不变, t 时刻 o1、o2 的水平位置为:

x1 ?

m( R ? r ) M (R ? r) ? 0 cos ? ? t 、 x 2 ? ? ? 0 cos ? ? t M ?m M ?m v0 ? k l 2
得:

4、解: (1)Ⅰ求小船向河心运动的轨迹方程

vx ? ky
vx ?

2v0 y ------------------------① l
-------------------------------②

y ? vt

②代入①得: v x

?

2v0 v t l

则, ?x

? v x ?t ?

2v 0 v t?t -----------------③ l

对③式求和得:

? ?x ?

2v0 v ? t?t l

即: x

?

v0 v 2 t ----------------------------------④ l ? v0 2 y (小船向河心运动的轨迹方程) lv

由②④消去参数 t 得: x

Ⅱ求小船返回河岸的轨迹方程

根据题意和上述轨迹方程得:小船返回时的初位置为(

v0 l l 、 16v 4

) ,所以:

x?

v0 l ? ? v x ?t 16v 2v0 y l
l v ? t 4 2

vx ?
y?

解以上三式得: x

??

2v0 2 3v0 l y ? vl 16v
第3页

试题 2 答案

(2)将

y ? 0 代入 x ? ?

2v0 2 3v0 l 3v 0 l y ? 中得:返回河岸时距离出发点为 vl 16v 16v
2

1 3 1 ?a g 得: x ? a 2 2 1 3 1 2 木块压倒水底时,水面上升的高度为 ? h ,有: 4a ?h ? a 得: ?h ? a 2 8
5 解:木块浮在水面上时,浸入水中深度为 x ,有: ?a

xg ?

将木块非常缓慢地压至杯底过程中: 木块势能增量: ?E1

1 a 3 ? ? ?a 3 g (h ? ) ? ? ?a 4 g 2 2 4

木块至杯底所占空间的上半部分水升至木块开始位置水下位置水的势能增量:

?E 2 ?

1 3 3 a 1 ?a g (h ? a ? ) ? ?a 4 g 2 4 4 2

木块至杯底所占空间的下半部分水升至水面上水的势能增量:

1 3 1 ?h 39 ?a g (h ? a ? ) ? ?a 4 g 2 4 2 32 21 4 ?a g 外力所做的功: W ? ?E1 ? ?E2 ? ?E3 ? 32 ?E3 ?
6 解:设转过 ? 角开始滑动,以圆心为参考系:

mgcos? ? N ? mR? 2 ---------------------------------①
mgsin ? ? ?N ---------------------------------------------②
将②和 ?

?

v R

代入①得: ? cos?

? sin ? ? ?

v2 Rg

即:

1 ? ? 2 sin(arctan? ? ? ) ?
? arctan ? ? arcsin
?

?v 2
Rg

所以: ?

?v 2
1 ? ? 2 Rg

时间: t 其中: v

? R? ? ? v

? Rg 时 t ?

? R? ? ? v

,v

? Rg 时无法相对静止。

7 解:分离前共同速度为 v0 ,月球质量设为 M 0 ,则

M (M ? m) v G 0 ? (M ? m) 0 2 3R (3R)
得: v 0

2

?

GM 0 3R

第4页

试题 2 答案 周期: T0

?

2? ? 3R 3R ? 6?R v0 GM 0

GM 0 ? Rg0 代入上式得: T0 ? 33812 s ? 9.4h
登月舱和航天飞机分离后,有:

(M ? m)v0 ? mv1 ? Mv2
M m 1 M m 1 2 /2 m v1 ? G 0 ? m v1 ? G 0 2 3R 2 R
1 1 / v1 3R ? v1 R 2 2
解以上三式得: v1

?

GM 0 2 m 2 3 2 ? v0 、 v2 ? v0 ? (1 ? )v0 ? ( ? )v0 M 2 2 4 6R 2

M M 1 M M 1 2 /2 Mv2 ? G 0 ? Mv2 ? G 0 2 3R 2 kR
1 1 / v 2 3R ? v 2 kR 2 2
解以上两式得: k

?

3 v 2( 0 ) 2 ? 1 v2
?

?

19 ? 6 2 2 2 ?1

? 5.75

航天飞机的轨道半长轴为: a 登月舱的轨道半长轴为: a
/

k ?3 R ? 4.375 R 2

? 2R

航天飞机的周期为 T1 、登月舱的周期为 T2 ,则:

T1 a ? ( ) 2 ? 1.76 T0 3R T2 2a ? ( ) 2 ? 0.54 T0 3R
登月舱逗留时间为: ?t
3

3

T1 ? 1.76T0 T2 ? 0.54T0 ? nT1 ? T2 ? (1.76n ? 0.54)T0
n ? 1,2,3?

?t ? (1.76n ? 0.54) ? 9.4h

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