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广东省深圳市宝安区2013届高三9月摸底考试试题(数学理)(1)


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广东省深圳市宝安区 2013 届高三 9 月摸底考试试题


符合题目要求的. 1. 已知集合, A

学 (理 科)

2012.9

本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是

? ?x x ? 1?,

B ? ? x x 2 ? 2 x ? 0? ,则 A ? B ?
B. x ?1 ? x ? 0? D. x ?1 ? x ? 2?

A. x 0 ? x ? 1? C. x ?1 ? x ? 1?

?

?

?

?

2. 若复数

a?i 是实数 ( i 是虚数单位 ) ,则实数 a 的值为 1? i
B. ?1 C. 1 D. 2

A. ?2

3. 已知向量 p ? ? ?2,1? , q ? ? x, ?3? ,且 p // q ,则 p ? q 的值为 A. 2 5 B. 5 C. 2 17 D. 13

? x? y ?0 y ? 4.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 的最大值是 x ?1 ?2 x ? y ? 1 ? 1 1 A.1 B. C. 4 2
5.程序框图如下:

D.2

如果上述程序运行的结果为 s=132,那么判断框中应填入

A.

B.

C.

D.

6..已知 a , b 是实数,则“ a ? 0 且 b ? 0 ”是“ a ? b ? 0 且 ab ? 0 ”的
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.

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

7. 如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的 直角边长为 1,那么这个几何体的全面积为 ...

A.

3 2

B.

3? 3 2

正视图

左视图

C. 3 ? 2 2

D. 2 俯视图

8.定义函数集合 M 函数, ②

? ? f ? x ? f ?? x ? ? 0?, N ? ? f ? x ? f ??? x ? ? 0?, (其中 f ??x?为 f ?x? 的导


f ???x ?为 f ??x?的导函数), D ? M ? N ,以下 5 个函数中

f ?x ? ? e x ,

1 f ?x? ? ln x ,③ f ?x ? ? x ?2 , x ? ?? ?,0? ,④ f ?x ? ? x ? , x ? ?1,?? ? , x
? ?? f ? x ? ? cos x, x ? ? 0, ? ? 2?
A.①④⑤ B.①②④ 属于集合 D 的有 C.②③④ D.①③④



二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.为了了解某地居民月均用电的基本情况, 抽 取出该地区若干户居民的用电数据, 得到频 0.040 率分布直方图如图 3 所示, 若月均用电量在 0.035 区间 ?110,120? 上共有 150 户, 则月均用电 量在区间 ?120,150? 上的居民共有
0.030 0.025 0.020 频率 组距

户. 0.015
0.010 0.005

0
2

100

110

120

130

140

150

月均用电量(度)

10. 以抛物线 C : y ? 16 x 上的一点 A 为圆心作圆,若该圆经过抛物线 C图3 的顶点和焦点,

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那么该圆的方程为

. .

11. 已知数列 ?an ? 是等差数列, 若 a3 ? 2a5 ? a7 ? 8 , 则该数列前 9 项的和为 12.二项式 (2 x ?

1 6 ) 展开式中含 x 2 项的系数是 x



13. 甲、乙等五名医生被分配到四川灾区 A、B、C、D 四个不同的岗位服务,每个岗位至少一名医 生,则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的分法共有________种(用数字做答) . (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (参数方程与极坐标)在极坐标系中,点 A 和点 B 的极坐标分别为 ( 2, 则三角形 OAB 的面积=_____. 15.(几何证明选讲)如图, P 是圆 O 外的一点, PD 为切线, D 为 切 点 , 割 线 PEF 经 过 圆 心 O , PF ? 6, PD ? 2 3 , 则
P E O D

?
3

) 和 (3,0) ,O 为极点,

F

?DFP ? __________.
骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (2 cos

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步

u r r x x ,1), n ? (sin ,1) ,设函数 f ( x) ? mgn ?1. 2 2

(1)求函数 f ( x ) 的值域; (2)已知锐角 ?ABC 的三个内角分别为 A, B, C, 若 f ( A) ?

5 3 , f ( B) ? , 求 f (C ) 的值。 13 5

17.(本题满分 12 分) 在高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中,已知第一小组与第二小组各有六位同学.每位 同学都只选了一个科目,第一小组选《数学运算》的有 1 人,选《数学解题思想与方法》的有 5 人, 第二小组选《数学运算》的有 2 人,选《数学解题思想与方法》的有 4 人,现从第一、第二两小组 各任选 2 人分析选课情况. (Ⅰ)求选出的 4 人均选《数学解题思想与方法》的概率; (Ⅱ)设 ? 为选出的 4 个人中选《数学运算》的人数,求 ? 的分布列和数学期望. 18. (本小题满分 14 分) 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? 3 , AB ? 5 , BC ? 4 , AA ? 4 , 1 点 D 是 AB 的中点.
⑴ 、 求 证 :

C1

B1
平 面

AC1 / /
A1
·3·

C

1

D



B

C

B

HLLYBQ 整理 ⑵ 、 求 二 面 角

供“高中试卷网(http://sj.fjjy.org) ” 的 正 切 值 .

C1 ? AB ? C

19. (本题满分 14 分)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an ? an?1 ? 2n ? 0 ? n ? 2, n ? N ? . (1)写出 a2、a3 的值(只写结果)并求出数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ,若 bn an ?1 an ? 2 an ?3 a2 n

? m 恒成立,

求实数 m 的取值范围。

20. (本小题满分 14 分) 设椭圆 C :

3 x2 y2 ,点 A 是椭圆上的一点,且点 A 到椭圆 C 两 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e = 2 a b 2

焦点的距离之和为 4. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若 P

? m, n(m > 0,n ? 0)为 椭 圆 C 上 一 动 点 , 直 线 L : mx ? 4ny ? 4 ? 0 与 圆 ?

C? : x 2 ? y 2 ? 4 相交于 A、B 两点,求三角形 OAB 面积的最大值及此时直线 L 的方程。
21. (本小题满分 14 分) 已知函数

f ? x? ?

a 3 1 1 x ? ? a ? 1? x 2 ? x ? ( a ? R). 3 2 3

(1) 若 a ? 0 ,求函数 f ?x ? 的极值; (2)是否存在实数 a 使得函数 f ?x ? 在区间 不存在,说明理由。

?0,2? 上有两个零点,若存在,求出 a 的取值范围;若

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数学(理科)试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案

A

C

A

B

B

C

B

D

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 说明:第 10 小题写对一个答案给 3 分. 9. 325 10.

? x ? 2?

2

? y?4 2
14。

?

?

2

? 36

11. 18
?

12. -192

13. 72

3 3 .; 2

15. 30 ,

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识, 考查化归与转化的数学思想方法, 以及运算求解能力) 解: (1) f ? x ? ? m? ? 1 ? ? 2cos , ?? sin , ? ? 1 n 1 ? 1

x ?? x ? ? 2 ?? 2 ? ? x x ? 2 cos sin ? 1 ? 1 ? sin x . ????????????3分 2 2
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∵ x? R ,

∴函数 f ? x ? 的值域为 ?-1,? . 1 (2)∵ f ? A ? ?

????????????6分

5 3 5 3 , f ? B ? ? ,∴ sin A ? , sin B ? . 13 5 13 5 12 4 2 2 ∵ A, B 都为锐角,∴ cos A ? 1 ? sin A ? , cos B ? 1 ? sin B ? .???9分 13 5
∴ f ? C ? ? sin C ? sin ?? ? ? A ? B ? ? ? sin ? A ? B ? ? ?

? sin A cos B ? cos A sin B 5 4 12 3 56 ? ? ? ? ? . 13 5 13 5 65 56 ∴ f ? C ? 的值为 . 65

????????????12 分

17.(本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设“从第一小组选出的 2 人选《数学解题思想与方法》”为事件 的 2 人选《数学解题思想与方法》 ”为事件 B.由于事 件 A、B 相互独立, 且 p( A) ?

A, “从第二小组选出

2 C4 2 .? ????????????4 分 ? 2 C6 5 所以选出的 4 人均考《数学解题思想与方法》的概率为

C52 2 ? , 2 C6 3

P( B) ?

(Ⅱ)设 ? 可能的取值为 0,1,2,3.得

2 2 4 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? ? ? ??????????? 6 分 3 5 15 4 C 2 C1 ? 1 C1 C 2 22 C , P(? ? 1) ?? 5 ? 2 2 4 ? 5 ? 4 ? , 2 2 2 15 C6 C6 C6 C6 45
1 c5 1 1 . 2? 2 c6 c6 45

P (? ? 0 ) ?

p(? ? 3) ?

p(? ? 2) ? 1 ? p(? ? 0) ? p(? ? 1) ? p(? ? 3) ?

? 的分布列为 ? 0
P

2 9
3

????? 9 分

1

2

4 15

22 45

2 9

1 45
????12 分

∴ ? 的数学期望 E? ? 0 ?

4 22 2 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ?1 15 45 9 45

18.(本小题满分 14 分) 证明:⑴连接 C1B ,设 CB1 与 C1B 的交点为 E , 连结 DE ,由四棱柱侧面为平行四边形知
·6·

C1 A1 E

B1

C A D

B

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E 是 BC1 的中点,
∵ D 是 AB 的中点,∴ DE / / AC1 ????3 分 ∵ DE ? 平面CDB1 , AC1 ? 平面CDB1 , ∴ AC1 / / 平面CDB1 . ??????6 分 ⑵ 由直棱柱知 C1C 垂直平面 ABC, 过点 C 作 CF⊥AB 于 F,连接 C1F 则 C1F⊥AB ?????????????9 分

∴∠C1FC 为二面角 C1 ? AB ? C 的平面角. 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,

∵底面三边长 AC ? 3 , AB ? 5 , BC ? 4 ,∴ AC ? BC , 在 Rt△ABC 中, CF

???????11 分

?

AC ? BC 12 ? , AB 5
C1C 4 5 ? ? , CF 12 3 5
???????????13 分

又 CC1 ? AA1 ? 4 ,∴ tan ?C1FC ?

∴二面角 C1 ? AB ? C 的正切值为

5 . 3

?????????????????14 分

(另:可以建立空间直角坐标系用向量方法完成,酌情给分,过程略) 19. (本小题满分 14 分) 解: (1)∵ a1 ? 2, an ? an?1 ? 2n ? 0 ? n ? 2, n ? N ? ∴

a2 ? 6, a3 ? 12

?????2 分

当 n ? 2 时, an ? an?1 ? 2n, an?1 ? an?2 ? 2 ? n ? 1? , ???, a3 ? a2 ? 2 ? 3, a2 ? a1 ? 2 ? 2 , ∴

an ? a1 ? 2 ?n ? ? n ? 1? ? ??? ? 3 ? 2? , ? ?
n ? n ? 1? 2 ? n ? n ? 1?
???????5 分 ????6 分 ????7 分

∴ an ? 2 ? n ? ? n ? 1? ? ??? ? 3 ? 2 ? 1? ? 2 ? ?

当 n ? 1 时, a1 ? 1? ?1 ? 1? ? 2 也满足上式, ∴数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n ? n ? 1?

·7·

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(2) bn ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? an ?1 an ? 2 a2 n ? n ? 1?? n ? 2 ? ? n ? 2 ?? n ? 3? 2n ? 2n ? 1? 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? ? ? 2n ? 2n ? 1? ? n ? 1? ? n ? 2 ? ? n ? 2 ? ? n ? 3?

?

?

1 1 n 1 ? ? 2 ? ? n ? 1? ? 2n ? 1? 2n ? 3n ? 1 (2n ? 1 ) ? 3 n

???????10 分

令 f ? x ? ? 2x ? ∴

1 1 ? x ? 1? ,则 f ? ? x ? ? 2 ? 2 , 当 x ? 1时, f ? ? x ? ? 0 恒成立 x x

f ? x ? 在 x??1, ??? 上是增函数,故当 x ? 1 时, f ? x ?min ? f ?1? ? 3 ?12 分

即当 n ? 1 时,

(bn )max ?

1 6

bn ? m 恒成立,则 m ?

1 6

??14 分

另解: bn ?1 ? bn ?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? 1 ? ? ? ? ? ?? ? ? n ? 2 2n ? 3 n ? 1 2n ? 1 n ? 2 2n ? 1 ? 2 n ? 3 n ? 1 ?

3n ? 3 3n ? 4 ? 2 ?0 2n ? 5n ? 2 2n ? 5n ? 3 1 ∴ 数列 ?an ? 是单调递减数列,∴ (bn )max ? b1 ? 6 ?
2

bn ? m 恒成立,则 m ?
20. (本小题满分 14 分)

1 6
c a 2 ? b2 3 ? ? 得 b ? 1, a a 2
?????????????4 分

解: (1)由椭圆定义知 2a ? 4,? a ? 2 ,又 e ?

x2 ?所求椭圆方程为 ? y 2 ? 1 4
(2)设圆心 O 到直线 L 的距离为 d ,则 d

?

4 m2 ? ? 4n ?
2

m2 ,又有 ? n2 ? 1 , 4
?????7 分

所以 d

?

4 m ? ? 4n ?
2 2

?

4 4 ? 12n2

,? n ?

? 0,1?,?d ??1,2?

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2

S? OAB

? d2 ? 4 ? d2 ? 1 2 2 2 ? AB d ? 4 ? d ?d ? d ? 4 ? d ? ? ? ? ?2 2 2 ? ?
2

(当 d

, ? 4 ? d 2 即 d ? 2 时 S?OAB 最大) S?OAB 最大值为 2

?????11 分

d? 2?

4 4 ? 12n2

? ??? ? ? 2 ? ? ? ?? n ?

?n ?0

3 3
???????13 分



8 2 6 m 2 ? 4 ? 4n 2 ? ,? m ? 0,? m ? 3 3
所以直线 L 的方程为

2 6 4 3 x? y ? 12 ? 0 即 x ? 2 y ? 6 ? 0 。????14 分 3 3

21. (本小题满分 14 分) 解:(1)

1? ? f ? ? x ? ? ax 2 ? ? a ? 1? x ? 1 ? a ? x ? 1? ? x ? ? a? ?

??????2 分

1 ? a ? 0,? ? 1, a
1? ? ? ??, ? a? ?

1 a
0 极小值

?1 ? ? ,1 ? ?a ?

1

?1,?? ?
递减

f ?? x ? f ? x?

递减

+
递增

0 极大值

??????????4 分
2 1 ? 1 ? ?2a ? 3a ? 1 f ? x ?极小值 =f ? ? = , f ? x? =f ?1? = ? ? a ? 1? ????6 分 2 极大值 6a 6 ?a? 2 1 ? 1 ? ?2a ? 3a ? 1 ? ? a-1?? 2a-1? f ? ?= = , f ?1? = ? ? a ? 1? 2 2 6a 6a 6 ?a?

(2)

f ? 2? =

1 ? 2a ? 1? , 3
·9·

1 f ? 0 ? = ? <0 3

?????8 分

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① 当a?

1 1 时, f ? x ? 在 ? 0,1? 上为增函数,在 ?1,2? 上为减函数, f ? 0 ? = ? <0, 2 3

f ?1? = ?

1 1 ? a ? 1? >0 , f ? 2? = ? 2a ? 1? ? 0 ,所以 f ? x ? 在区间 ?0,1? , ?1,2? 上各有一个 6 3

零点,即在

?0,2? 上有两个零点;

??????????10 分

② 当

1 ? 1? ?1 ? <a ? 1 时, f ? x ? 在 ? 0,1? 上为增函数,在 ? 1, ? 上为减函数, ? ,2 ? 上为增函数, 2 ? a? ?a ?


1 f ? 0 ? = ? <0 3 f ? 2? =
个零点; ③ 当 a >1 时,

f ?1? = ?

1 ? a ? 1? >0 6



? 1 ? ? ? a-1?? 2a-1? f ? ?= >0 6a 2 ?a?



1 ? 2a ? 1? >0 ,所以 f ? x ? 只在区间 ?0,1? 上有一个零点,故在 ?0,2? 上只有一 3
??????????12 分

? 1? ?1 ? f ? x ? 在 ? 0, ? 上为增函数,在 ? ,1 ? 上为减函数, ?1,2 ? 上为增函数, ? a? ?a ?

1 f ? 0 ? = ? <0 3 f ? 2? =
点;



? 1 ? ? ? a-1?? 2a-1? f ? ?= <0 6a 2 ?a?
所以



f ?1? = ?

1 ? a ? 1? <0 6



1 ? 2a ? 1? >0 , 3

f ? x ? 只在区间 ?1,2? 上有一个零点,故在 ?0, 2? 上只有一个零
??????????13 分

故存在实数 a ,当 a ?

1 时,函数 f ?x ? 在区间 ? 0,2? 上有两个零点。???????14 分 2

·10·


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