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2016年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)(解析版)


2016 年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.在复平面内,复数 z= 对应的点位于( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第在象限 D.第四象限 2.sin18°?sin78°﹣cos162°?cos78°等于( ) A. B. C. D.

3.一次数学考试后,某老师从自己带的两个班级中各抽取 5 人,记录他们的考试成绩,得 到如图所示的茎叶图, 已知甲班 5 名同学成绩的平均数为 81, 乙班 5 名同学的中位数为 73, 则 x﹣y 的值为( )

A.2

B.﹣2 C.3

D.﹣3 )

4.“x≥1”是“x+ ≥2”(

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.执行如下程序框图,则输出结果为( )

A.2 B.3 C.4 D.5 6.已知 l,m,n 为三条不同直线,α,β,γ 为三个不同平面,则下列判断正确的是( A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m⊥α,n∥β,α⊥β,则 m⊥n C.若 α∩β=l,m∥α,m∥β,则 m∥l D.若 α∩β=m,α∩γ=n,l⊥m,l⊥n,则 l⊥α 7.△ABC 的角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cosA= ,c﹣a=2,b=3,则 a=( A.2 B. C.3 D.





8.若双曲线 C1:

=1 与 C2: )

=1(a>0,b>0)的渐近线相同,且双

曲线 C2 的焦距为 4 ,则 b=( A.2 B.4 C.6 D.8

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9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(



A.

B.

C.

D.8

10. 某企业的 4 名职工参加职业技能考核, 每名职工均可从 4 个备选考核项项目中任意抽取 一个参加考核,则恰有一个项目未被抽中的概率为( ) A. B. C. D.

11.在

展开式中含 x2 项系数与含 x10 项系数相等,则 n 取值为(



A.12 B.13 C.14 D.15 12.函数 f(x)=﹣x2+3x+a,g(x)=2x﹣x2,若 f(g(x) )≥0 对 x∈[0,1]恒成立,则实 a 数 的取值范围是( ) A.[﹣e,+∞) B.[﹣ln2,+∞) C.[﹣2,+∞) D. (﹣ ,0]

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置上. 13.已知集合 A={0,1,3},B={x|x2﹣3x=0},则 A∩B= .

14.已知实数 x,y 满足

,则目标函数 z=x﹣y 的最大值是



15.已知等边△ABC 的边长为 2,若

,则

=



16.存在实数 φ,使得圆面 x2+y2≤4 恰好覆盖函数 y=sin( 共三个,则正数 k 的取值范围是 .

x+φ)图象的最高点或最低点

三、解答题:本大题共 5 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.在数列{an}中, (1)求证:数列 为等比数列; .

(2)求数列{an}的前 n 项和. 18.某医院对治疗支气管肺炎的两种方案 A,B 进行比较研究,将志愿者分为两组,分别采 用方案 A 和方案 B 进行治疗,统计结果如下: 有效 无效 合计
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96 120 使用方案 A 组 72 使用方案 B 组 32 合计 (Ⅰ)完成上述列联表,并比较两种治疗方案有效的频率; (Ⅱ)能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关? 附: ,其中 n=a+b+c+d

P(K2 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 ≥k0) k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19.四棱锥 E﹣ABCD 中,AD∥BC,AD=AE=2BC=2AB=2,AB⊥AD,平面 EAD⊥平面 ABCD,点 F 为 DE 的中点. (1)求证:CF∥平面 EAB; (2)若 CF⊥AD,求二面角 D﹣CF﹣B 的余弦值.

20.设 A,B 为抛物线 y2=x 上相异两点,其纵坐标分别为﹣1,2,分别以 A,B 为切点作 抛物线的切线 l1,l2,设 l1,l2 相交于点 P. (Ⅰ)求点 P 的坐标; (Ⅱ)M 为 A,B 间抛物线段上任意一点,设 ,试判断 是否为 定值,如果为定值,求出该定值,如果不是定值,请说明理由. 21.已知 f(x)=e ﹣ ,其中 e 为自然对数的底数.

(1)设 g(x)=(x+1)f′(x) (其中 f′(x)为 f(x)的导函数) ,判断 g(x)在(﹣1,+∞) 上的单调性; (2)若 F(x)=ln(x+1)﹣af(x)+4 无零点,试确定正数 a 的取值范围. 请考生在第 22 题,23 题,24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写 清题号.[选修 4-1:几何证明选讲](共 1 小题,满分 10 分) 22.已知 AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上(异于点 A,B) ,连接 BC 并延长至点 D,使 得 BC=CD,连接 DA 交圆 O 于点 E,过点 C 作圆 O 的切线交 AD 于点 F. (Ⅰ)若∠DBA=60°,求证:点 E 为 AD 的中点; (Ⅱ)若 CF= R,其中 R 为圆 C 的半径,求∠DBA.

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[选修 4-4:坐标系与参数方程]

23.已知直线 l:

为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴且

两坐标系中具有相同的长度单位,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ2﹣2 (a>﹣3) (Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)若曲线 C 与直线 l 有唯一公共点,求实数 a 的值. [选修 4-5:不等式选讲] 24.已知 a>0,b>0,记 A= + ,B=a+b. (1)求 A﹣B 的最大值; (2)若 ab=4,是否存在 a,b,使得 A+B=6?并说明理由.

ρsinθ=a

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2016 年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.在复平面内,复数 z= 对应的点位于( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第在象限 D.第四象限 【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【分析】本题考查的是复数的计算. 【解答】解:Z= ,故选 D.

2.sin18°?sin78°﹣cos162°?cos78°等于( A. B. C. D.



【考点】两角和与差的正弦函数. 【分析】利用两角和的正弦函数公式化简后即可得答案. 【解答】解:sin18°?sin78°﹣cos162°?cos78°=sin18°?cos12°+cos18°?sin12°=sin30°= , 故选:D. 3.一次数学考试后,某老师从自己带的两个班级中各抽取 5 人,记录他们的考试成绩,得 到如图所示的茎叶图, 已知甲班 5 名同学成绩的平均数为 81, 乙班 5 名同学的中位数为 73, 则 x﹣y 的值为( )

A.2

B.﹣2 C.3

D.﹣3

【考点】茎叶图. 【分析】根据茎叶图中的数据,结合平均数与中位数的概念,求出 x、y 的值. 【解答】解:根据茎叶图中的数据,得; 甲班 5 名同学成绩的平均数为 (72+77+80+x+86+90)=81,解得 x=0; 又乙班 5 名同学的中位数为 73,则 y=3; x﹣y=0﹣3=﹣3. 故选:D.

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4.“x≥1”是“x+ ≥2”( A.充分不必要条件 C.充分且必要条件



B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据基本不等式的性质,以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论. 【解答】解:当 x≥1,由基本不等式可得 x+ ≥2 当且仅当 x=1 时取等号,∴充分性成立. 若 x+ ≥2,则 x>0,必要性不成立, ∴“x≥1”是“x+ ≥2”的充分不必要条件, 故选:A. 5.执行如下程序框图,则输出结果为( )

A.2

B.3

C.4

D.5

【考点】程序框图. 【分析】模拟执行程序,依次写出每次循环得到的 T,S,n 的值,当 T= ,S=6 时,满足 条件 T≤S,退出循环,输出 n 的值为 4. 【解答】解:模拟执行程序,可得 n=1,S=0,T=20 T=10,S=1,n=2 不满足条件 T≤S,T=5,S=3,n=3 不满足条件 T≤S,T= ,S=6,n=4 满足条件 T≤S,退出循环,输出 n 的值为 4. 故选:C. 6.已知 l,m,n 为三条不同直线,α,β,γ 为三个不同平面,则下列判断正确的是( ) A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m⊥α,n∥β,α⊥β,则 m⊥n C.若 α∩β=l,m∥α,m∥β,则 m∥l D.若 α∩β=m,α∩γ=n,l⊥m,l⊥n,则 l⊥α 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【分析】根据常见几何体模型举出反例,或者证明结论. 【解答】解: (A)若 m∥α,n∥α,则 m 与 n 可能平行,可能相交,也可能异面,故 A 错 误; (B)在正方体 ABCD﹣A′B′C′D′中,设平面 ABCD 为平面 α,平面 CDD′C′为平面 β,直线 BB′为直线 m,直线 A′B 为直线 n, 则 m⊥α,n∥β,α⊥β,但直线 A′B 与 BB′不垂直,故 B 错误.
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(C)设过 m 的平面 γ 与 α 交于 a,过 m 的平面 θ 与 β 交于 b, ∵m∥α,m? γ,α∩γ=a, ∴m∥a, 同理可得:n∥a. ∴a∥b,∵b? β,a?β, ∴a∥β, ∵α∩β=l,a? α,∴a∥l, ∴l∥m. 故 C 正确. (D)在正方体 ABCD﹣A′B′C′D′中,设平面 ABCD 为平面 α,平面 ABB′A′为平面 β,平面 CDD′C′为平面 γ, 则 α∩β=AB,α∩γ=CD,BC⊥AB,BC⊥CD,但 BC? 平面 ABCD,故 D 错误. 故选:C.

7.△ABC 的角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cosA= ,c﹣a=2,b=3,则 a=( A.2 B. C.3 D.



【考点】余弦定理. 【分析】由已知条件和余弦定理可得 a 的方程,解方程可得. 【解答】解:由题意可得 c=a+2,b=3,cosA= ,

∴由余弦定理可得 cosA= ?



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代入数据可得 = 解方程可得 a=2 故选:A



8.若双曲线 C1:

=1 与 C2: )

=1(a>0,b>0)的渐近线相同,且双

曲线 C2 的焦距为 4 ,则 b=( A.2 B.4 C.6 D.8

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】求出双曲线 C1 的渐近线方程,可得 b=2a,再由焦距,可得 c=2 解方程,可得 b=4. 【解答】解:双曲线 C1: =1 的渐近线方程为 y=±2x,

,即有 a2+b2=20,

由题意可得 C2: y=± x,即有 b=2a, 又 2c=4 ,即 c=2 解得 a=2,b=4, 故选:B.

=1(a>0,b>0)的渐近线方程为

,即有 a2+b2=20,

9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(



A.

B.

C.

D.8

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由三视图可知:该几何体是由一个正方体截去一个三棱锥余下的几何体.利用体积 计算公式即可得出. 【解答】解:由三视图可知:该几何体是由一个正方体截去一个三棱锥余下的几何体. ∴该几何体的体积 V=23﹣ 故选:C. = .

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10. 某企业的 4 名职工参加职业技能考核, 每名职工均可从 4 个备选考核项项目中任意抽取 一个参加考核,则恰有一个项目未被抽中的概率为( ) A. B. C. D.

【考点】古典概型及其概率计算公式. 【分析】先求出基本事件总数 n=44,再求出恰有一个项目未被抽中包含的基本事件个数, 由此能求出恰有一个项目未被抽中的概率. 【解答】解:某企业的 4 名职工参加职业技能考核,每名职工均可从 4 个备选考核项项目中 任意抽取一个参加考核, 基本事件总数 n=44, 恰有一个项目未被抽中包含的基本事件个数为:m= ,

∴恰有一个项目未被抽中的概率为 p= = 故选:A.

=



11.在 A.12 B.13

展开式中含 x2 项系数与含 x10 项系数相等,则 n 取值为( C.14 D.15



【考点】二项式定理的应用. 【分析】先求和,再利用二项展开式的通项公式,结合在 与含 x10 项系数相等,列出方程求出 n. 【解答】解: = = , 展开式中含 x2 项系数

∵在

展开式中含 x2 项系数与含 x10 项系数相等,

∴Cn+13=Cn+111, ∴3+11=n+1,即 n=13, 故选:B. 12.函数 f(x)=﹣x2+3x+a,g(x)=2x﹣x2,若 f(g(x) )≥0 对 x∈[0,1]恒成立,则实 数 a 的取值范围是( ) A.[﹣e,+∞) B.[﹣ln2,+∞) C.[﹣2,+∞) D. (﹣ ,0] 【考点】函数恒成立问题. 【分析】确定 g(x)在 x∈[0,1]上的值域为[1,g(x0)]], (g(x0)= 离参数求最大值,即可求实数 a 的取值范围.
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,再分

【解答】解:令 t=g(x) ,x∈[0,1],则 g′(x)=2xln2﹣2x 设 g′(x0)=0,则函数在[0,x0]上单调递增,在[x0,1]上单调递减, g(x)在 x∈[0,1]上的值域为[1,g(x0)]], (g(x0)= ∴f(t)≥0,即 a≥t2﹣3t, ∴a≥﹣2. 故选:C. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置上. 13.已知集合 A={0,1,3},B={x|x2﹣3x=0},则 A∩B= {0,3} . 【考点】交集及其运算. 【分析】直接利用交集的定义即可求出. 【解答】解:集合 A={0,1,3},B={x|x2﹣3x=0}={0,3) , 则 A∩B={0,3}, 故答案为:{0,3}.

14.已知实数 x,y 满足

,则目标函数 z=x﹣y 的最大值是 4 .

【考点】简单线性规划. 【分析】作平面区域,化简目标函数 z=x﹣y 为 y=x﹣z,从而求最大值. 【解答】解:作平面区域如下,

化简目标函数 z=x﹣y 为 y=x﹣z, 故当过点(2,﹣2)时,
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z=x﹣y 有最大值为 2﹣(﹣2)=4, 故答案为:4.

15.已知等边△ABC 的边长为 2,若

,则

= ﹣2 .

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】由题意画出图形,建立适当的平面直角坐标系,求出所用点的坐标,得到向量 的坐标,然后利用向量数量积的坐标运算得答案. 【解答】解:如图,

以 BC 所在直线为 x 轴,以 BC 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系, ∵等边△ABC 的边长为 2,且 则 B(﹣1,0) ,D( , ∴ ∴ 故答案为:﹣2. 16.存在实数 φ,使得圆面 x2+y2≤4 恰好覆盖函数 y=sin( 共三个,则正数 k 的取值范围是 ( , ] . , . ) ,A(0, , ) ,E(﹣ ,0) ,

x+φ)图象的最高点或最低点

【考点】三角函数的周期性及其求法;圆方程的综合应用. 【分析】由题意可得 T=2k≤2 <2T,即可解得正数 k 的取值范围. 【解答】解:函数 y=sin( x+φ)图象的最高点或最低点一定在直线 y=±1 上,



,解得:



由题意可得:T=

=2k,T≤2

<2T,

解得正数 k 的取值范围是: (



].
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故答案为: (



].

三、解答题:本大题共 5 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.在数列{an}中, (1)求证:数列 为等比数列; .

(2)求数列{an}的前 n 项和. 【考点】数列的求和;等比数列的通项公式. 【分析】 (1)通过对 an+1= 比均为 的等比数列; (2)通过(1)可知 【解答】 (1)证明:∵an+1= ∴ 又∵ ∴数列{ = ? = , }是首项、公比均为 的等比数列; = , +2? +…+(n﹣1)? Sn= + + +…+ + +n? +…+ ﹣n? , ﹣n? , , , , ,进而利用错位相减法计算即得结论. an, an 变形可知 = ? ,进而可知数列{ }是首项、公

(2)解:由(1)可知 ∴ Sn=

两式相减得: ∴Sn=1+ +

=

﹣n?

=2﹣



18.某医院对治疗支气管肺炎的两种方案 A,B 进行比较研究,将志愿者分为两组,分别采 用方案 A 和方案 B 进行治疗,统计结果如下: 有效 无效
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合计

96 120 使用方案 A 组 72 使用方案 B 组 32 合计 (Ⅰ)完成上述列联表,并比较两种治疗方案有效的频率; (Ⅱ)能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关? 附: P(K2 0.50 ≥k0) k0 0.455 ,其中 n=a+b+c+d

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

【考点】独立性检验的应用. 【分析】 (Ⅰ)根据题意,填写列联表,计算使用方案 A、B 有效的频率值,比较即可; (Ⅱ)计算观测值 K2,对照数表即可得出结论. 【解答】解: (Ⅰ)根据题意,填写列联表如下; 有效 无效 合计 96 24 120 使用方案 A 组 72 8 80 使用方案 B 组 168 32 200 合计 使用方案 A 有效的频率是 使用方案 B 有效的频率是 =0.8, =0.9,

使用使用方案 B 治疗有效的频率更高些; (Ⅱ)计算观测值 K2= ≈3.571<3.841;

所以不能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关. 19.四棱锥 E﹣ABCD 中,AD∥BC,AD=AE=2BC=2AB=2,AB⊥AD,平面 EAD⊥平面 ABCD,点 F 为 DE 的中点. (1)求证:CF∥平面 EAB; (2)若 CF⊥AD,求二面角 D﹣CF﹣B 的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 【分析】 (1)根据线面平行的判定定理即可证明 CF∥平面 EAB; (2)若 CF⊥AD,建立空间坐标系,利用向量法即可求二面角 D﹣CF﹣B 的余弦值.
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【解答】解: (1)取 AE 的中点 G,连接 FG,GB, ∵点 F 为 DE 的中点,∴GF∥AD,且 GF= AD, ∵AD∥BC,AD=2BC, ∴GF∥BC,且 GF=BC, ∴四边形 CFGB 为平行四边形,则 CF∥BG,而 CF?平面 EAB,BG? 平面 EAB, ∴CF∥平面 EAB. (2)∵CF⊥AD, ∴AD⊥BG, ∵AB⊥AD,∴AD⊥平面 EAB, ∴AD⊥EA, ∵平面 EAD⊥平面 ABCD,平面 EAD∩平面 ABCD=AD, ∴EA⊥平面 ABCD, 以 A 为坐标原点,以 AB,AD,AE 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 则 B(1,0,0) ,C(1,1,0) ,D(0,2,0) ,F(0,1,1) , 设平面 BCF 的法向量为 =(x,y,z) ,则 ,



,即

,令 x=1,则 z=1,即 =(1,0,1) ,

平面 CDF 的法向量为 =(x,y,z) ,同理得 =(1,1,1) , 则 cos< , >= =

由于二面角 D﹣CF﹣B 是钝二面角, ∴二面角 D﹣CF﹣B 的余弦值是﹣ .

20.设 A,B 为抛物线 y2=x 上相异两点,其纵坐标分别为﹣1,2,分别以 A,B 为切点作 抛物线的切线 l1,l2,设 l1,l2 相交于点 P. (Ⅰ)求点 P 的坐标; (Ⅱ)M 为 A,B 间抛物线段上任意一点,设 ,试判断 是否为 定值,如果为定值,求出该定值,如果不是定值,请说明理由. 【考点】抛物线的简单性质.

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【分析】 (I)求出 A,B 坐标,设切线斜率得出切线方程,联立方程组,令判别式△=0 得出 斜率,从而求出切线方程,再联立切线方程解出 P 点坐标; y0) μ, (II) 设M (y02, (﹣1≤y0≤2) , 根据向量的基本定理列方程组解出 λ, 计算 即可. 【解答】解: (I)A(1,﹣1) ,B(4,2) , 设 l1 的方程为 y+1=k(x﹣1) ,即 y=kx﹣k﹣1, 联立方程组 ,消元得:ky2﹣y﹣k﹣1=0,

∴△=1+4k(k+1)=0,解得 k=﹣ . ∴l1 方程为:y=﹣ x﹣ . 同理可得 l2 方程为:y= x+1.

联立方程组

,解得



∴P 点坐标为(﹣2, ) . (II)设 M(y02,y0) (﹣1≤y0≤2) ,则 ) . ∵ , =(y02+2,y0﹣ ). =(3,﹣ ) , =(6,



.解得 λ=

,μ=





=

+

=1.

21.已知 f(x)=e

﹣ ,其中 e 为自然对数的底数.

(1)设 g(x)=(x+1)f′(x) (其中 f′(x)为 f(x)的导函数) ,判断 g(x)在(﹣1,+∞) 上的单调性; (2)若 F(x)=ln(x+1)﹣af(x)+4 无零点,试确定正数 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理. 【分析】 (1)对函数 f(x)求导后知 g(x) ,对 g(x)求导后得到单调性. (2)利用导函数求得 F(x)的单调性及最值,然后对 a 分情况讨论,利用 F(x)无零点 分别求得 a 的取值范围,再取并集即可.

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【解答】解: (1)∵f(x)=e

﹣ ,

∴f′(x)=

﹣ ,

∴g(x)=(x+1) (

﹣ ) ,

∴g′(x)=

[(x+3)

﹣1],

当 x>﹣1 时,g′(x)>0, ∴g(x)在(﹣1,+∞)上单调递增. (2)由 F(x)=ln(x+1)﹣af(x)+4 知,F′(x)= ( ﹣g(x) ) ,

由(1)知,g(x)在(﹣1,+∞)上单调递增,且 g(﹣1)=0 可知当 x∈(﹣1,+∞)时, g(x)∈(0,+∞) , 则 F′(x)= ( ﹣g(x) )有唯一零点,

设此零点为 x=t,易知 x∈(﹣1,t)时,F′(x)>0,F(x)单调递增; x∈(t,+∞)时,F′(t)<0.F(x)单调递减. 知 F(x)max=F(t)=ln(t+1)﹣af(t)+4, 其中 a= , +4,

令 G(x)=ln(x+1)﹣

则 G′(x)=



易知 f(x)>0 在(﹣1,+∞)上恒成立, ∴G′(x)>0,G(x)在(﹣1,+∞)上单调递增,且 G(0)=0, ①当 0<a<4 时,g(t)= > =g(0) , 由 g(x)在(﹣1,+∞)上单调递增,知 t>0,则 F(x)max=F(t)=G(t)>G(0)=0, 由 F(x)在(﹣1,t)上单调递增,﹣1<e﹣4﹣1<0<t,f(x)>0,g(t)>0 在(﹣1, +∞)上均恒成立, 则 F(e﹣4﹣1)=﹣af(e﹣4﹣1)<0, ∴F(t)F(e﹣4﹣1)<0 ∴F(x)在(﹣1,t)上有零点,与条件不符; ②当 a=4 时,g(t)= = =g(0) ,由 g(x)的单调性可知 t=0, 则 F(x)max=F(t)=G(t)=G(0)=0,此时 F(x)有一个零点,与条件不符; ③当 a>4 时,g(t)= < =g(0) ,由 g(x)的单调性知 t<0, 则 F(x)max=F(t)=G(t)<G(0)=0,此时 F(x)没有零点.
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综上所述,当 F(x)=ln(x+1)﹣af(x)+4 无零点时,正数 a 的取值范围是 a∈(4,+∞) . 请考生在第 22 题,23 题,24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写 清题号.[选修 4-1:几何证明选讲](共 1 小题,满分 10 分) 22.已知 AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上(异于点 A,B) ,连接 BC 并延长至点 D,使 得 BC=CD,连接 DA 交圆 O 于点 E,过点 C 作圆 O 的切线交 AD 于点 F. (Ⅰ)若∠DBA=60°,求证:点 E 为 AD 的中点; (Ⅱ)若 CF= R,其中 R 为圆 C 的半径,求∠DBA.

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】 (1)先证明出△ABD 为等边三角形,再连 BE,根据三线合一定理证明出点 E 为 AD 的中点; (2)连 CO,运用中位线定理证明出 BE∥CF,继而证出 BE=R,最后求出∠DAB. 【解答】解: (Ⅰ)证明:∵AB 为圆 O 的直径, ∴AC⊥BD,而 BC=CD. ∴AB=AD,而∠DBA=60°, ∴△ABD 为等边三角形,连 BE,由 AB 为圆的直径, ∴AD⊥BE,∴E 为 AD 中点. (Ⅱ)连 CO,易知 CO∥AD, ∵CF 为圆 O 的切线,∴CF⊥CO, ∴CF⊥AD,又 BE⊥AD, ∴BE∥CF,且 CF= BE,由 CF= ∴∠DAB=30°. 知 BE=R,

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[选修 4-4:坐标系与参数方程]

23.已知直线 l:

为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴且

两坐标系中具有相同的长度单位,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ2﹣2 ρsinθ=a (a>﹣3) (Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)若曲线 C 与直线 l 有唯一公共点,求实数 a 的值. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (I)曲线 C 的极坐标方程为 ρ2﹣2 ρsinθ=a(a>﹣3) ,把 ρ2=x2+y2,y=ρsinθ 代 入化为直角坐标方程.

(II)直线 l:

为参数) ,消去参数 t,化为普通方程.利用直线与圆相切的

充要条件即可得出. 【解答】解: (I)曲线 C 的极坐标方程为 ρ2﹣2 化为直角坐标方程:x2+y2﹣2

ρsinθ=a(a>﹣3) , =3+a>0.

y=a,配方为:x2+

(II)直线 l:

为参数) ,消去参数 t,化为普通方程:

﹣y=0.

∵曲线 C 与直线 l 有唯一公共点, ∴圆心 解得 a= ﹣3. 到直线 l 的距离 d= =3+a,

[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知 a>0,b>0,记 A= (1)求 A﹣B 的最大值;

+

,B=a+b.

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(2)若 ab=4,是否存在 a,b,使得 A+B=6?并说明理由. 【考点】有理数指数幂的化简求值. 【分析】 (1)代入配方利用二次函数的单调性即可得出最大值; (2)假设存在 a,b,使得 A+B=6,则 ,令 =x>0, =y>0,

化为

,令 x+y=t>0, 化为 t2+t﹣10=0, 判断此方程是否有实数根即可得出.

【解答】解: (1)

A﹣B=

+

﹣a﹣b=﹣



+1≤1,

当且仅当 a=b= 时取等号. ∴ A﹣B 的最大值是 1. ,

(2)假设存在 a,b,使得 A+B=6,则



=x>0,

=y>0,化为



令 x+y=t>0,化为 t2+t﹣10=0, ∵△=1+40=41>0,且 t1t2=﹣10<0. ∴上述方程有正实数根, 因此存在 a,b,使得 A+B=6,ab=4 同时成立.

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2016 年 8 月 25 日

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