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全国高中数学联赛辽宁省初赛试题全集(2005—2013)


2013 年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题
一、选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分)
2 1. 已知集合 A ? x x ? 2 x ? 10 ? 0 , B ? x m ? 1 ? x ? 2m ?1 ,当 A ? B ? ? 时,实数 m

?

?

?

?

/>
的取值范围是() A2 ? m ? 4 Bm ? 2或 m ? 2 C?

1 ?m?4 2

Dm ? ?

1 或m ? 2 2

2. 过原点的直线 l 交双曲线 xy ? ?2 2 于 P、Q 两点,其中点 P 在第二象限,将下半平面 沿 x 轴折起使之上半平面成二面角,线段 PQ 的最短长度是() 。 A2 2 B2 3 C4 2 D4

3.设 a , b, c 均为非零复数,令 w ? ? A 1 B? w

a b c a?b?c 1 3 的值为() ? i ,若 ? ? ,则 b c a a ?b?c 2 2
C 1, w, w2 D 1,?w, w2

4. 设 f ?x ? 是 ?0,??? 上的单调函数, 且对任意 x ? ?0,??? , 都有 f ? f ?x ? ? log2 x? ? 6 , 若 x0 是方程 f ?x ? ? f ??x ? ? 4 的一个解,且 x0 ? ?a ? 1, a ?, a ? N A1 5. 内直径为 A 30 B2 C3

?

?

?,则 a 的值为()
D4

4 3 ? 2 ,高为 20 的圆柱形容器中最多可以放入直径为 2 的小球的个数是() 3
B 33 C 36 D 39

2 2 2 2 6. 已知实数 x, y 满足 17 x ? y ? 30xy ?16 ? 0 , 则 16 x ? 4 y ? 16 xy ? 12 x ? 6 y ? 9 的

?

?

最大值是() 。 A 7 B

29

C

19

D3

二、填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 7. 若 2 ? 2 ? 2
a b a ?b

,2 ?2 ?2 ? 2
a b c

a ?b ? c

,则 2 的最大值是

c



8. 长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? AA 1 D 与 B1 D1 的距 1 ? 4 , AD ? 3 ,则异面直线 A 离为 9. 椭圆 。

x2 y2 3 ? 2 ? 1 , a ? b ? 0 的离心率为 ,斜率为 1 且过点 M ?b,0 ? 的直线与椭圆交 2 a b 2

于 A, B 两点,设 O 为坐标原点,若 OA? OB ?

?

?

32 cot ?AOB ,则该椭圆的方程是 5



10. 将 11 个完全一样的小球放入 6 个不相同的盒子中,使得至多有 3 个空盒子的放法有 种。

?2 x ? 1, x ? 0 11. 已知函数 f ?x ? ? ? ,设方程 f ?x ? ? x 在区间 ?0, n? 内所有实根的和为 ? f ?x ? 1? ? 1, x ? 0
?1? Sn ,则数列 ? ? 的前 n 项和为 ? Sn ?
12. 数列 ?an ?中, an ? 2an ?1 ? 三、解答题
2 13. 设关于 x 的方程 x ? m x ? 1 ? 0 有两个实根 ? , ? , ? ? ? ,函数 f ? x ? ?



2an ?1 ? n ? 1 , n ? 2 ,则此数列的通项公式 an ? n 2x ? m 。 x2 ?1



(1)求 ?f ?? ? ? ?f ?? ? 的值; (2)判断 f ?x ? 在区间 ?? , ? ? 的单调新,并加以证明; (3)若 ? , ? 均为正实数,证明: f ? ?

? ?? ? ?? ? ? ?? ? ??? ?

? ?? ? ?? f? ? ??? ?
?

? ? ? ? ? ?? 。 ?

2 14. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 3 , an?1 ? an ? nan ? ? , n ? N , ? ? R 。

(1)若 an ? 2n 恒成立,求 ? 的取值范围; (2)若 ? ? 2 ,求证:

1 1 1 ? ? ?? ?2。 a1 ? 2 a2 ? 2 an ? 2

15. 如图,锐角△ABC 中, AB ? AC ,且点 D 和 E 在边 BC 上,满足 BD=CE,若在△ABC 内存 在点 P 满足 PD//AE,且∠PAB=∠EAC,证明: ∠PBA=∠PCA。

16. 设点 P 为圆 C1: x ? y ? 2 上的动点,过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 Q,点满足
2 2

2 ? MQ ? PQ 。
(1)求点 M 的轨迹方程。 (2)过直线 x ? 2 上的点 T 做圆 C2 的两条切线,设切点分别 为 A、B,若直线 AB 与(1) 中的曲线 C2 交于 C、D,求 答案: 一、选择题 BDCBCA 二、填空题 题号 答案 7 8 9 10 4212 11 12

?

?

CD 的取值范围。 AB

4 3

6 34 17

x2 y2 ? ?1 16 4

2n n ?1

an ? ?n ? 1? 2n?1 ?1

?

?

三、解答题

2012 年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题
一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1. 用 1,2,3 三个数字组成四位数,要求,三个数字都要出现,且相同的数字不相邻,这样 的四位数共有()个 A 24 B 18 C 15 D 12 2. 设 Ak ? ? x x ? kt ?

? ?

? 1 1 。 , 2 ? t ? 1? ,其中 k ? 2,3,?,2012,则所有 Ak 的交集为() kt k ?
B ?2? C ?2, ? 2

A?

? 5? ? ?

D ?2,

? 20122 ? 1? ? 2012 ? ?
? x? y ?

3. f ?x ? 是定义在 ?0,1? 上的函数,对任意 1 ? x ? y ? ?? ,有 f ? ? ? f ? ? y? ?? f? ? 1 ? xy ? ?。 ? x? ? ? ? ?

?1?

?1?

记 an ? f ?

1 ? ? ? 。 ? , n ? N ,则 a1 ? a2 ? ?? a8 ? () 2 n ? 5 n ? 5 ? ?
B f? ?

A f? ?

?1? ?2?

?1? ? 3?

C f? ?

?1? ?4?

D f? ?

?1? ?5?

4. 设双曲线

x2 y2 ? ? 1 , a ? 0, b ? 0 的右焦点为 F,过 F 做 x 轴垂直的直线 l 与两条渐近 a2 b2
?

线交于 A、B 两点,P 是 l 与双曲线的一个交点,设 O 为坐标原点,若实数 m、n,使得

OP ? m OA ? n OB ,且 mn ?
A

?

?

2 ,则该双曲线的离心率为() 9
C

3 2 4

B

9 8

3 5 5

D

3 2 2

2 5. 在△ABC 中, 设 BC ? a , AC ? b , AB ? c 。 则等式 sin

A B C B ? sin 2 ? sin 2 ? cos 2 , 2 2 2 2
D a ? c ? 2b , 且 使 得 二 次 方 程

成立的充分必要条件是() A ca ? b
2

B a ? b ? 2c

C b ? c ? 2a

6. 设 S ? ? x, y ? ? 2 ? y ? x ,?2 ? x ? 2

?

? , 则 当 ? x, y ? ? S
3 4

t 2 ? ? x ?1?t ? y ? 2 ? 0 的一个根大于 1,一个根小于 1 的概率是()
A

1 2

B

2 3
4 2

C

D1

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分)

7. 设 S ? z z ? 7 ? 8i ? z1 ? 1 ? 2 z1 , z、z1 ? C , z1 ? 1 ,则 S 在复平面内所对应区域的面 积是 8. ?1 ? 。

?

?

? ?

1 ?? 1 ? ? 1 ? ??1 ? ???1 ? ?? 1 ? 2 ?? 1 ? 2 ? 3 ? ? 1 ? 2 ? ? ? 2012?



9. 设函数 f ? x ? ?

n ?1 1 x ?i? ? ? log 2 , S n ? ? f ? ? , n ? 2, n ? N 。则 S n ? 2 1? x ?n? i ?1



10. 不等式

8 10 ? ? x 3 ? 5 x ? 0 的解集为 3 ?x ? 1? x ? 1
x



11. 已知点 P 在曲线 y ? e 上,点 Q 在曲线 y ? ln x 上,则 PQ 的最小值是



12. 四面体 ABCD 中, 已知 AD ? 2 3 , ∠BAC=60° , ∠BAD=∠CAD=45° 。 若过 D 与平面 ABC 相切并且与该四面体的外接球面相内切的球面半径为 1, 则四面体 ABCD 外接球面相内切的

球面的半径为 1,则四面体 ABCD 外接求免的半径为 三、解答题(每小题 20 分,共 80 分)
a b a a b b



13. 设实数 a、 b 满足 3 ? 13 ? 17 , 5 ? 7 ? 11 ,证明: a ? b 。 14. 已知中心在原点 O、焦点在 x 轴上、离心率为

? 2? 3 ? 。设不过原点 的椭圆过点 ? 2 , ? ? 2 2 ? ?

O 的直线 l 与该椭圆交于点 P、Q ,且直线 OP、PQ、OQ 的斜率依次成等比数列,求△OPQ 面积的取值范围。 15. 如图 1,已知 PA、PB 是由圆 O 外一点 P 引 出的两条切线,M、N 分别是线段 AP、AB 的中 点,直线 MN 与圆 O 交于点 C、E,点 N 在 M 与 C 之间,PC 与圆 O 交于点 D,延长 ND 与 PB 交于 点 Q,证明:四边形 MNQP 为菱形。

2 16. 设递增数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , 4an ?1 ? 5an ? 9an ? 16 , n ? 1 。

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)证明:

1 1 1 ? ? ?? ? 2 。 a1 a2 an

答案: 一.选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1. (B). 2. (C). 3. (C) . 4. (A). 二.填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 7. 16 ? . 8.

5. (D).

6. (A) .

1007 . 3018

9.

n ?1 . 10. (??, ?2) (?1,1) . 11. 2

2.

12.

3.

三.解答题 13.(本小题满分 20 分) 证明:假设 a ? b ,则 13 ? 13 ,5 ? 5 .
a b a b

? 3 ? ? 13 ? 由 3 ? 13 ? 17 , 得 3 ? 13 ? 17 , 即 ? ? ? ? ? ? 1 ,????? ???(5 分) ? 17 ? ? 17 ?
a b a a a a

a

a

3 13 16 ? 3 ? ? 13 ? ? ? ? 1 ,且 f (a) ? 1 ? f (1) , 由于 f ( x) ? ? ? ? ? ? 单调递减, f (1) ? 17 17 17 ? 17 ? ? 17 ?
故a ?1. ??????????(10 分)

x

x

由 5a ? 7b ? 11b , 得 5 ? 7 ? 11 ,即 ?
b b b

?5? ?7? ? ? ? ? ? 1 .??????????(15 分) ? 11 ? ? 11 ?

b

b

由于 g ( x) ? ?

5 7 12 ?5? ?7? ? ? ? ? 单调递减, g (1) ? 11 ? 11 ? 11 ? 1, g (b) ? 1 ? g (1) , ? 11 ? ? 11 ?
????????(20 分)

x

x

故 b ? 1. 因此, a ? 1 ? b ,与 a ? b 矛盾,所以, a ? b . 14. (本小题满分 20 分) 解:由题意可设椭圆方程为

x2 a
2

?

y2 b
2

? 1 (a ? b ? 0) ,

y P

?c 3 ? ? ?a ? 2 ? 2 由 ?a 得 ? , ?b ? 1 ? 2 ? 1 ?1 ? ? a 2 2b 2
所以,椭圆方程为

O Q

x

x2 4

? y2 ? 1.

????????(5 分)

由题意可知,直线 l 的斜率存在且不为 0 ,故可设直线 l 的方程为 y ? kx ? m(m ? 0) ,

? y ? kx ? m P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) 满足 ? 2 , 2 ?x ? 4 y ? 4 ? 0
消去 y 得 (1 ? 4k
2

) x2 ? 8kmx ? 4(m2 ?1) ? 0 .

? ? 64k 2m2 ?16(1 ? 4k 2 )(m2 ?1) ? 16(4k 2 ? m2 ? 1) ? 0 ,
且 x1 ? x2 ?

?8km 1 ? 4k 2

, x1 x2 ?

4( m 2 ? 1) 1 ? 4k 2



y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 . ?????(10 分)
因为直线 OP , PQ , OQ 的斜率依次成等比数列,

所以,

y1 y2 x1 x2

?

?

k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 x1 x2

? k 2 ,即

?8k 2 m2 1 ? 4k
2

? m2 ? 0 ,
????????(15 分)

又 m ? 0 ,所以 k 2 ?

1 1 ,即 k ? ? . 4 2
2
2

由于直线 OQ 的斜率存在,且 ? ? 0 ,得 0 ? m ? 2 且 m ? 1 .

设 d 为点 O 到直线 l 的距离,则 S?OPQ ?

1 1 m d PQ ? 1 ? k 2 x1 ? x2 2 2 2 1? k

1 m ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? m 2 (2 ? m 2 ) , 2 所以 S?OPQ 的取值范围为 (0,1) . ?
15.(本小题满分 25 分)

????????(20 分)

证明:连结 OP, OA, OC , EP ,显然 O, P, N 三点共线,且 OP ? AB , 所以 N 是 AB 中点,由 M 是 PA 的中点,故 MN ? MP ? MA ,

A
MN
2

PQ .
2

????????(5 分)

M
PM ? AM ? ME ? MC ,
所以

O N C

E D
Q

?MPE ∽ ?MCP , ?MCP ? ?MPE .
????????(10 分)

P

又 O, A, P, B 四点共圆,

B
????????(15 分)

ON ? PN ? AN ? BN ? CN ? EN ,
故 O, C , P, E 四点共圆, ?OCN ? ?EPN .

?PAO 是直角三角形,
有 PN ? PO ? PA ? PD ? PC ,
2

于是 C , D, N , O 四点共圆.

????????(20 分)

?QNP ? ?PCO ? ?MCP ? ?MCO ? ?MPE ? ?EPN ? ?APN ,
所以 M

NPQ ,四边形 MNQP 是菱形.

????????(25 分)

16.(本小题满分 25 分) (1)解法一:由 a1 ? 1, 4an ?1 ? 5an ? 9an ? 16 (n ? 1, n ? N + ) 得
2

5 21 85 a2 ? , a3 ? , a4 ? , 2 4 8
由 5 ? 1 ? 4, 21 ? 1 ? 4 ? 4 ,85 ? 1 ? 4 ? 4 ? 4 ,猜想
2 2 3

an ?

1 ? 4 ? 42 ? ? 4n ?1 4n ? 1 2 n 1 ? ? (2 ? n ) . 2n?1 3 ? 2n ?1 3 2

????????(5 分)

2 1 (2 ? ) ? 1 显然成立; 3 2 2 k 1 设当 n ? k 时, ak ? (2 ? k ) 成立,当 n ? k ? 1 时, 3 2
证明:当 n ? 1 时, a1 ?
2 5ak ? 9ak ? 16 ?

10 k 1 1 10 1 1 (2 ? k ) ? 4(2k ? k ) 2 ? 16 ? (2k ? k ) ? 2(2k ? k ) 3 2 2 3 2 2

16 k 4 1 8 k ?1 1 ? 2 ? ? k ? (2 ? k ?1 ) ? 4a k ?1 成立, 3 3 2 3 2 2 n 1 所以,通项公式为 an ? (2 ? n ) . 3 2
= 解法二:由 4an ?1 ? 5an ? 9an ? 16 得
2

????????(10 分)

5 5 2 2 2 2 an an ?1an ? 1 ,故 an ? an an an ?1 ? 1 ( n ? 1 ) ,两式相减得 ?1 ? an ? ?1 ? 2 2

? an?1 ? an?1 ? ? ? an?1 ? an?1 ?
?
故 an ?1 ?

5 ? an ? ? 0 ,又 ?an ?为递增数列, 2 ?
????????(5 分)

5 an ? an ?1 ? 0 (n ? 1) . 2 5 1 2 特征方程为 x ? x ? 1 ? 0 ,特征根为 x1 ? 2, x2 ? , 2 2 5 n n 所以 an ? ?1 x1 ? ?2 x2 ,将 a1 ? 1, a2 ? 代入,得 2

2 1 ? ? ?1 ? 2?1 ? ? 2 ? 1 ? ? ? ? 3 2 ,解之得 ? , ? ? 4? ? 1 ? ? 5 ? ? ??2 1 2 2 ? ? ? 4 2 3 ?
通项公式为 an ?

2? n 1 ? ?2 ? n ?. 3? 2 ?

????????(10 分)

(2)设 Sn ?

1 1 1 1 ? ? ? ?????? ? , a1 a2 a3 an

由2 ?
n

1 1 ? 1 ? ? ? ? 2 ? 2n ?1 ? n ?1 ? ? 2 ? 2n ?1 ? n ?1 ? n 2 2 ? 2 ? ? ?
1 1 1 ? ? ? n ? 2? , an 2 an ?1

? n ? 2? 得
????????(15 分)

an ? 2an?1 ,

Sn ?

1 1 1 1 1 1? 1 1 1 1 ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? a1 a2 a3 an a1 2 ? a1 a2 a3 an?1 ?

?

1 1? 1? 1 1 ? ? Sn ? ? ? ? ? S n . a1 2 ? an ? a1 2
2 ? 2. a1
????????(25 分)

所以 S n ?

2011 年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1. 已知 x ? R , y ? R ,则“ x ? 1 ,且 y ? 1 ”是“ x ? y ? x ? y ? 2 ”的() 。 A 充分条件而非必要条件 C 充分必要条件 2. 函数 f ?x? ? A 1, 2 B 必要条件而非充分条件 D 既非充分条件亦非必要条件

x ? 3 ? 12 ? 3x 的值域为()
B ?1, ? 2

? ?
3 5

? 3? ? ?

C 1, 3

? ?
1 2

D ?1,2?

3. 一个盒子里有 3 个黑球和 4 个白球,现从盒子里随机每次取出一个求,取出后不再放回, 每个球取出的可能性相等, 直到某种颜色的求签不被取出, 则最后取出的是黑球的概率为 () A B

4 7

C

D

3 7

4. l , l ? 是互相垂直的异面直线, l 与平面 ? 平行, l ? 在平面 ? 内,则在平面 ? 内到 l , l ? 距离 相等的点的轨迹是() A 直线 B 椭圆

C 抛物线

D 双曲线

5. 设正整数列 ?an ? 的前 n 项为 bn , 数列 ?bn ?的前 n 项积为 cn , 且 bn ? cn ? 1 。 则数列 ? 中最接近 2011 的数是() A 1980 B 2010

?1? ? ? an ?

C 2040

D 2070

6. 如图 1,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1,在侧面对 角线 A1D 上取点 M, CD1 上取点 N,使得线段 MN 平行于 对角面 AA 。 1CC1 。则这样的 MN 长度的最小值为()

A

3 3
C1

B

2 2

D

2

二、填空题(每小题 9 分,共 54 分)

2 7. 设 1 ? x ? x

?

?

10

? a0 ? a1 x ? ? ? a20 x 20 。则 a0 ? a1 ? 2a2 ? ?? 20a20 ?



8. 已知直线 3x ? y ? 3 ? 0 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A、B 两点(点 A 在 x 轴上方) ,与 x 轴交于点 F。若 OF ? ? OA? ? OB ,则 ? 2 ? ?2 ?
? ? ?



9. 设正实数集合 A ? ?a1 , a2 ,?, a100 ?,集合 S ? ?a, b? a ? A, b ? A, a ? b ? A 。则集合 S 中 的元素最多有 个。 。

?

?

10. 函数 y ? sin x ? 2 ? cos2 x 的最大值与最小值之和为 11. 设函数 f ? x ? ?

1 x ?1? ?2? ? n ?1 ? ? log 2 , 定义 S n ? f ? ? ? f ? ? ? ? ? f ? 其中,n ? N , ?, 2 1? x ?n? ?n? ? n ?


n ? 2 ,则 Sn ?

12. 将凸五边形 ABCDE 的每个顶点染上五种颜色之一,使每条对角线的两个端点颜色不同 的颜色方式共有 种(用数字作答) 。 三解答题(每小题 15 分,共 60 分) 13. 求曲线 y ? 2 ? 1 ? 4x 和 y ? 2 x a , a ? R 的交点。 14. 已知椭圆

1 x2 y2 ? 2 ? 1 , a ? b ? 0 的离心率为 , F1 , F2 为左、右焦点,过 F2 的直线与 2 2 a b

椭圆相交与 A、B 两点,若 ?F1 AB 面积最大值为 6,求椭圆的方程。 15. 如图 2,四边形 ABCE 为圆 O 的内接四边形,对边 BC、AD 交于点 F,AB、DC 交于点 E,△ECF 的外接圆与圆 O 的另一交点为 H,AH 与 EF 交于点 M,MC 与圆 O 交于点 G,证明: (1)M 为 EF 的中点; (2)A、G、E、F 四点共圆。 16. 已知定义在 R 上的函数 f n ? x ?具有下列性质: (i) f n ?0 ? ?

1 ? ? k ?1? ? k ?? ? ? k ? ? ? k ?1? ; (ii) n? fn ? ? ? fn ? ?? ? , k ? 0,1,? ? ??? ? f n ? ? ? 1? ? fn ? 2 ? n ?? ? ? n ? ? ? n ? ? ? n ?

(1)当 n 为定值时,记 ak ?

1 ,求 an 的表达式; ?k? fn ? ? ?n?

(2)对 n ? N ,证明:

1 1 ? f n ?1? ? 。 4 3

2010 年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1. 集合 A ? ? 1,3,5,7? , B ? ?2,4,6,8,20?。若 C ? s s ? a ? b, a ? A, b ? B ,则集合 C 的元

?

?

素个数为() 。 A9

B1

C 13

D 20

2. “函数 f ?x ? 在 ?a, b? 上单调”是“函数 f ?x ? 在 ?a, b? 上有最大值和最小值”的() A 充分条件而非必要条件 B 必要条件而非充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分条件亦非必要条件 3. 某天下午要排物理、化学、生物和两节自习共 5 节课。如果第一节不排生物,最后一节不 排物理,则不同的排法共有()种。 A 36 B 39 C 60 D 78

1 1 2 1 2 3 1 2 3 m , , , , , , ?, , , , ?, , ?的前 40 项的和是() , 2 3 3 4 4 4 m ?1 m ?1 m ?1 m ?1 1 1 A 23 B 19 C 19 D 18 2 9 m 2 5. 设 A ? ? 则任取 ?m, n?? A , 关于 x 的方程 x ? x ? n ? 0 有 ?m, n? 0 ? m ? 2,0 ? n ? 2?, 4
4. 数列 实根的概率为() A

1 ? 2 ln 2 4

B

1 ? ln 2 2

C

3 ? 2 ln 2 4

D

1 ? ln 2 2

6. 若正方体的棱长为 a ,则与正方体对角线垂直的最大截面的面积为() A

3 2 2 a 4

B

2a 2

C

3 2 a 2

D

3 3 2 a 4

二、填空题(每小题 9 分,共 54 分)
2 7. 设 3 ? x ? 2 x

?

?

n

? a0 ? a1 x ? ? ? a2 n x 2 n , n ? N ? ,对 x ? R 恒成立,则
。 。

a1 ? a2 ? ?? a2n?1 ?

8. 函数 f ?x? ? 2 sin x ? 3 cos x 的值域是

x2 ? y 2 ? 1 绕 坐 标 原 点 逆 时 针 旋 转 45° 9. 将 椭 圆 后所得椭圆的最高点与原点的距离 2
是 。

10. 不等式 log6 1 ? x ? log25 x 的整数解的个数为
2

?

?



11. 若关于 x 的方程 x ? a ? b ? 6b x ? a ? b ? 2a ? 4b ? 1 ? 0 的两个实根 x1、x2 满足
2 2 2 2

?

?

x1 ? 0 ? x2 ? 1 ,则 a 2 ? b 2 ? 4a ? 4 的最小值与最大值之和是
12. 已知椭圆 C :



x2 y2 ? ? 1 ,a ? b ? 0 ,F1、F2 为其左右焦点, Q 为椭圆 C 上任意一点, a 2 b2


△F1QF2 的重心,内心分别为 G、I,直线 IG 与 x 轴平行,则椭圆 C 的离心率是 三、解答题(每小题 15 分,共 60 分)

13. 已知

1 ? a ? 1 ,若 f ?x? ? ax2 ? 2x ? 1 在 ?1,3?上的最大值为 M ?a ? ,最小值为 N ?a ? , 3

令 g ?a ? ? M ?a ? ? N ?a ? 。 (1)求 g ?a ? 的函数表达式; (2)求证: g ?a ? ? 14. 已知 F1、F2 分别为椭圆

1 恒成立。 2

x2 y2 ? ? 1 , a ? b ? 0 的左右焦点,P 为椭圆上一点,△F1PF2 a 2 b2

中∠F1PF2 的外角平分线为 l ,点 F2 关于 l 的对称点为 Q,F2Q 交 l 与点 R。 (1)当点 P 在椭圆上运动时,求点 R 的轨迹方程; (2)设点 R 的轨迹为曲线 C,直线 l ? : y ? k x ? 2a 与曲线 C 交于点 A、B,△AOB 的面 积为 S,求 S 取得最大值时 k 的值。 15. 如图,圆 O1 与圆 O2 内切于点 P,圆 O1 的弦 AB 切圆 O2 于点 C,延长 PC 交圆 O1 于点 G,PA、PB 与圆 O2 分别交于点 E、F, EF 与 PC 交于点 D,延长 AD 与圆 O1 交于点 H,求证: ⌒ 的中点; (1)G 为弧AB (2)G、F、H 三点共线。

?

?

16.已知数列 ?an ? 各项均不为 0,其前 n 项和为 Sn ,且对任意 n ? N ,都有
1 2 m 1 ? Cn a1 ? Cn a2 ? ? ? Cn an 。 ?1 ? p?Sn ? p ? pan , p 为大于 1 的常数。记 f ?n? ? n 2 Sn

(1)试比较 f ?n ? 1? 与

p ?1 f ?n ? 的大小; 2p
2 n ?1

2 n ?1 p ?1 ? ? p ?1? ? ? ? (2)求证: ?2n ? 1? f ?n ? ? ? f ?k ? ? ?1 ? ? p ?1 ? ? 2p ? k ?1 ? ? ? ? ?

2009 年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题
一、选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1.已知集合 M={x|x∈R,5-|2x-3|∈N+},则 M 的所有非空真子集的个数是( A.254 B.255 C. 510 D. 511 )

?x ? 2 ? 2.平面上满足约束条件 ? x ? y ? 0 的点(x,y)形成的区域为 D,区域 D 关于直线 y=2x ? x ? y ? 10 ? 0 ?

对称的区域为 E,则区域 D 和区域 E 中距离最近的两点的距离为( A.
6 5 5

) D.
16 3 5

B.

12 5 5

C.

8 3 5

3.已知△ABC 的三边 a,b,c 成等比数列,a,b,c 所对的角依次为 A,B,C.则 sinB+cosB 的取值范围是( )
1 1 3 3 B.[ ,1+ C. (1, 2 ] D .[ , 2 ] ] ] 2 2 2 2 4.设 M 是正方体各条棱的中点的集合,则过且公过 M 中 3 个点的平面的个数是(

A.(1,1+

) A.56 B.81 C.136 D.145 5. 设 an=2n, bn=n, (n=1, 2, 3, 。 。 。 ) , An、 Bn 分别为数列{an}、 {bn}的前 n 项和。 记 cn=anBn+bnAn —anbn,则数列{cn}的前 10 项和为( ) 11 A.210+53 B.2 +53 C.110×(2 9-1) D.110 × ( 2 10 - 1 ) 6.将一些半径为 1 的小圆放入半径为 11 的大圆内,使每个小圆都与大圆相内切,且这些小 圆无重叠部分,则最多可以放入的小圆的个数是( ) A.30 B.31 C.32 D.33 二.填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 7.正四面体 ABCD 的外接球球心为 O,E 为 BC 中点,则二面角 A—BO—E 的大小为 __________. 8.函数 f(x)=
x ? x3 1 ? 2x 2 ? x 4

的最大值与最小值的乘积是__________.

9.把长为 1 的铁丝截成三段,则这三段恰能围成三角形的概率为__________. 10.设 a(0<a<1)是给定的常数,f(x)是 R 上的奇函数,且在(0,+∞)上递减。 若 f(
1 )=0,f(logax)>0,那么 x 的变化范围是_________________________. 2
1 n
2

11.数列{an}满足 an = 1 ?

?

1 (n ? 1) 2

-1,则 a1+a 2+a 3+。 。 。+a n =______________.

12. 已知点 P 是双曲线 则

y2 x2 - =1 上的动点,F1、F2 分别是其左、 右焦点, O 为坐标原点, 4 8

| PF 1 | ? | PF 2 | 的取值范围_______________________. | OP |

三.解答题(本题共 4 道小题,满分 90 分) 13. (本小题满分 20 分)已知函数 f(x)=2x+alnx (1)若 a<0,证明:对于任意两个正数 x1,x2,总有
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x ?x ≥f( 1 2 )成立; 2 2

(2)若对任意 x∈[1,e],不等式 f(x)≤(a+3)x- 14. (本小题满分 20 分)已知椭圆
x2 a2

1 x2 恒成立,求 a 的取值范围。 2

+

y2 b2

=1(a>b>0)的离心率 e=

6 ,过点 A(0,- 3

b)和 B(a,0)的直线与原点的距离为

3 . 2

(1)求椭圆的方程; (2)已知定点 E(-1,0) ,直线 y=kx+t 与椭圆交于 C、D 两点,证明:对任意的 t>0, 都存在 k ,使得以线段 CD 为直径的圆过 E 点. 15.(本小题满分 25 分)如图,△ABC 中,AB>AC,AE 是其外接圆的切线,D 为 AB 上 的点,且 AD=AC=AE.求证:直线 DE 过△ABC 的内心.

16.(本小题满分 25 分)已知数列{an}中的相邻两项 a2k-1,a2k 是关于 x 的方程 x2-(3k+2k)x+3k×2 k =0 的两个根. (1)求数列{an}的前 2n 项和 S2n. (2)记 f(n)=
f ( 3) f ( 2) f ( 4) f ( n ?1) ( - 1) (- 1 ) (- 1 ) ( - 1) 1 | sin n | ( +3) ,Tn= + + +…+ , a3 a 4 a1 a 2 a5 a6 a 2 n ?1 a 2 n 2 sin n

求证: 答案:

5 1 ≤Tn≤ (n∈N+) 24 6

一.选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1. (C) . 2. (B) . 3. (C) . 4. (A) . 5. (D) . 6. (B) .

二.填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 7.

2? 1 2009 1 1 ? . 9. . 10. . 8. 或 a ? x ? 1 . 11. . 12. x? (2, 6] . 16 3 4 2010 a

三.解答题 13(本小题满分 20 分) 解: (I) .

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x 2 x ? a ln x1 ? 2 x2 ? a ln x2 x ?x x ?x ? f( 1 2) ? 1 ? 2 1 2 ? a ln 1 2 2 2 2 2 2
? a ln x1 x2 ? a ln

2 x1 x2 x1 ? x2 2 ???(5 分) ? a ln( x1 x2 ? ) ? a ln 2 x1 ? x2 x1 ? x2

因为 x1 ? x2 ? 2 x1x2

所以

2 x1 x2 ?1 , x1 ? x2

ln

2 x1 x2 ?0, x1 ? x2

又 a ? 0 , 故 a ln

2 x1 x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ? f ( 1 2 ) ; ?(10 分) ? 0 ,所以, 2 2 x1 ? x2

1 2 x 对 x ? [1, e] 恒成立, 2 1 1 2 a ( x ? ln x) ? x 2 ? x , 故 2 x ? a ln x ? ( a ? 3) x ? x , 2 2 1 2 x ?x 因为 x ? [1, e] ,所以 x ? ln x ? 0 ,因而 a ? 2 ,????????(15 分) x ? lnx 1 2 x ?x 2 x ? [1, e] 设 g ( x) ? x ? lnx
(Ⅱ)因为 f ( x ) ? ( a ? 3) x ?

1 1 1 ( x ? 1)( x ? ln x) ? (1 ? )( x 2 ? x) ( x ? 1)( x ? 1 ? ln x) x 2 2 因为 g ?( x) ? , ? ( x ? ln x) 2 ( x ? ln x) 2
当 x ? (1, e) 时, x ? 1 ? 0 ,

1 x ? 1 ? ln x ? 0 ,所以 g ?( x) ? 0 , 2

又因为 g ( x) 在 x ? 1 和 x ? e 处连续 ,所以 g ( x) 在 x ? [1, e] 时为增函数,

1 2 e ?e e 2 ? 2e ? 所以 a ? g (e) ? 2 e ?1 2(e ? 1)
14, (本小题满分 20 分)

????????????(20 分)

解: (I)直线 AB 的方程为 bx ? ay ? ab ? 0 , 依题意得

?c 6 , ? ? 3 ?a ? 3 ? ab ? . 2 2 ? 2 a ? b ?

解得 a ? 3, b ? 1, 所以,椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1.???????????(5 分) 3
2 2 2

(Ⅱ)将 y ? kx ? t 代入椭圆方程,得 (1 ? 3k ) x ? 6ktx ? 3t ? 3 ? 0 , 由直线与椭圆有两个交点,

?? ? (6kt )2 ?12(1 ? 3k 2 )(t 2 ?1) ? 0 , k 2 ?

t 2 ?1 ,??(1) ????(10 分) 3

设 C( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

6kt 3(t 2 ? 1) x x ? , ,??(2) 1 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

以 CD 为直径的圆过 E 点,? EC ? ED ? 0 ,即 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y2=0 , 而 y1 y2=(kx1 ? t ) (kx2 ? t )=k 2 x1x2 ? tk ( x1 ? x2 ) ? t 2 ,

?(k 2 ?1) x1x2 ? (tk ?1)( x1 ? x2 ) ? t 2 ?1 ? 0 ,将(2)代入,
2t 2 ? 1 3(t 2 ? 1) 6kt 2 (k ? 1) ? (tk ? 1) ? t ? 1 ? 0 ,解得 k= ,????(15 分) 3t 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2
2

k 2=

2t 2 ? 1 4t 4 ? 4t 2 ? 1 4t 4 ? 4t 2 ? 1 t 2 ? 1 (t 2 ? 1)2 ? t 2 k = ? ? ? 0 , , 即 满足 (1) , 3t 9t 2 9t 2 3 9t 2

所以,对任意的 t ? 0 ,都存在 k ,使得以线段 CD 为直径的圆过 E 点.??(20 分) 15. (本小题满分 25 分)

A

证明:设角 C 的内角平分线与 DE 交于点 I , 连接 AI , IC , CE ,由于 AE 是 ?ABC

D

I

E

外接圆的切线,故

?ACB ? 180 ? ?DAE ,??(5 分)

B

C

又 AD ? AE ,故

180 ? ?DAE ? ?ADE ? ?AED ? 2?AED ,
故 ?ACI ?

?????????(10 分) ??(15 分)

1 ?ACB ? ?AED ,所以 A、E、I、C 四点共圆. 2

?IAC ? ?IEC ? ?AEC ? ?AED

?

180 ? ?CAE 180 ? ?DAE ? 2 2

????????????(20 分)

1 1 (?DAE ? ?CAE ) ? ?A ,故 AI 为角 A 的角平分线, 2 2

I 为 ?ABC 的内心.
16. (本小题满分 25 分)

????????????(25 分)

(I)解:方程 x ? (3k ? 2 ) x ? 3k 2 ? 0 的两个根为
2 k k

x1 ? 3k , x2 ? 2k ,
S2n ? a1 ? a2 ? ? a2n ? (3 ? 6 ?

????????????(5 分)

? 3n) ? (2 ? 22 ?

? 2n )

?

3n2 ? 3n n?1 ?2 ?2. 2

????????????(10 分)

(Ⅱ) 证明: Tn ?

1 1 1 ? ? ? a1a2 a3a4 a5a6

?

(?1) f ( n?1) , a2 n?1a2 n
????????????(15 分)

所以 T1 ?

1 1 1 1 5 . ? , T2 ? ? ? a1a2 6 a1a2 a3a4 24

当 n ≥ 3 时,

1 1 1 Tn ? ? ? ? 6 a3a4 a5a6
1 1 1? 1 ≥ ? ? ? 3? 2 6 6 2 6?2
同时, Tn ?

? 1 (?1) f ( n?1) 1 1 ? ≥ ? ?? ? a2n?1a2n 6 a3a4 ? a5a6
?

?

1 ? ? a2 n?1a2 n ?

1 1 1 ? 1 ? ? ? , ????????????(20 分) n n ? 6 2 ? 6 62

5 1 1 ? ? ? 24 a5a6 a7 a8
?

?

? 1 (?1) f ( n?1) 5 1 ≤ ? ?? ? a2 n?1a2 n 24 a5 a6 ? a7 a8

?

? ? a2 n?1a2 n ? 1



5 1 1? 1 ? ? ? 1? 3 24 9 2 9 ? 2

1 5 1? 5 ? ? ? . n n ? 24 2 ? 24 9 2
????????????(25 分)

综上,当 n ? N? 时,

1 5 ≤ Tn ≤ . 6 24

2008 年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题
一、选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1. 设全集 U ? x 1 ? x ? 7, x ? N , A ? ? 1,2,3?。若 CU ? A ? B? ? ? 1,2,4,5,6,7? 。则集合 B 可 能为() A ?2,3,4?
3

?

?

B ?3,4,5?
2

C

?4,5,6?

D ?5,6,7?

2. 函数 y ? cos x ? sin x ? cos x , x ? R 的最大值是() A

4 27

B

8 27

C

16 27

D

32 27

3. 已知 f ?x ? ? ? A ?0,3?

??3 ? a ?x ? a, x ? 1 ,在 ?? ?,???上单调增加,那么 a 的取值范围是() ?loga x, x ? 1
B ?1, ? 2

? 3? ? ?

C ? ,3 ? ?2 ?

?3 ?

D ?1,3?

4. 有一个正四棱锥, 它的地面边长与侧棱长均为 a , 现用一张正方形包装纸将其完全包住 (不 能裁剪纸,但可以折叠) ,那么包装纸的最小边长应为() A

2? 6 a 2
2

B

?

2? 6 a
? ?

?

C

1? 3 a 2

D 1? 3 a

?

?

5. 已知抛物线 x ? 2 py? p ? 0? ,过点 M ? 0,? 线段 AB 的争渡是() A 3p B

p? ? 向抛物线引两条切线,A、B 为切点,则 2?
3 p 2

5 p 2

C 2p

D

6. 从正方体的 8 个顶点的任意两个所确定的所有直线中取出两条, 则这两条直线是异面直线 的概率是() A

29 189

B

29 63

C

34 63


D

4 7

二、填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 7. 设 a、b、c 是非负实数,则

c a b ? ? 的最小值是 a b?c c

8. 设 Sn 是等差数列的前 m 项和,已知 Sm ? 30 , S2m ? 100 ,则 S 3m ? 9. 已知 an ?



1 n ? N ? ,则 a1 ? a2 ? ?? a99 ? n n ? 1 ? ?n ? 1? n

?

?



10. 已知 lg x1 , lg x2 , lg x3 , lg x4 , lg x5 是连续正整数(从小到大或从大到小) ,且

lg2 x4 ? lg x1 ? lg x5 ,则 x1 的最小值是
11. 设 sec x ? tan x ?

。 。

22 m csc x ? cot x ? (m, , n 没有大于 1 的公约数) , 则 m? n ? 7 n

12. 空间有 9 个点,其中任意 4 点不共面,在这 9 点间连接若干条线段,使图中不存在四面 体,则图中三角形的个数最多是 13. (本小题满分 20 分) 已知函数 f ?x? ? 的值域为 ?a, b? ,求实数 k 的取值范围。 14. ( 本 小 题 满 分 20 分 ) 设 数 列 ?an ??an ? 0? 满 足 a1 ? 0 , a2 ? 1 , a3 ? 9 且 。 且存在 a, b?a ? b? 使 f ?x ? 在 ?a, b? 上 x?2 ?k ,

2 3 an ? 的前 n 项和,求 an ?n ? 3? 的表达式。 Sn Sn?2 ? 10Sn ?1 ?n ? 3? ,其中 S n 为数列 ?

15. (本小题满分 25 分)如图,锐角三角形 ABC 的外心为 O,直线 BO 和 CO 分别与边 AC、AB 交于点 B?、C ? ,直线 B?C ? 交△ABC 的 外接圆于点 P、Q , AP ? AQ 求证:△ABC 是等腰三角形。

16. (本小题满分 25 分)如图,已知椭圆

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 的左顶点为 A,右焦点为 a 2 b2

F ?c,0? ,且 2b、a、c 成等比数列。
(1)求椭圆的离心率; (2)过 F 的直线与椭圆相交与 M,N 两点,直线 AM 与 AN 分别与右准线 l 相交与 P、Q 两点。 答案:

2007 年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1. 已知 f ?x? ? 3x?m 的定义域为 ?2,4? ,且过点 A?2,1? 。则 F ?x ? ? f 为() A ?2,9? B ?2,12? C ?1,9? D ?1,12?

? ?x?? ? f ?x? 的值域
?1 2 ?1

2. 已知曲线 y ? x3 ? x ,过 x 轴上一点 A?t ,0? 作该曲线的切线,最多可作切线的条数为() A1 B2 C3 D4

3. 将正整数从小到大依次插入到数列 ?? n??n ? N ? 中, 且 ? n 与 ? n ? 1 之间的正整数的个数 恰好为 n ? 1 ,得到数列 0、1、-1、2、3、-2、4、5、6、-3、7、8、9、10、-4、?。则 2007 是此数列的第()项。 A 2069 B 2070 C 2071 D 2072 4. 在锐角△ABC 中,BC=1,∠A=2∠B,则 AC 的取值范围() 。 A ? 0,

? ? ?

2? ? 2 ? ?

B ? ,1?

?1 ? ?2 ?

C ?

?1 3? ? ?2, 3 ? ? ?

D ?

? 3 2? ? ? 3 , 2 ? ? ?

5. 底面半径为 2,高为 42 的封闭的圆柱形容器中最多能放入的半径为 1 的球的个数为() 。 A 54 B 56 C 58 D 60 6. 一只青蛙在正六边形 ABCDEF 的点 A 处,每次向相邻顶点跳跃,到达点 D 或跳满 5 次则停 止,那么不同的跳跃方式有()种。 A 26 B 28 C 30 D 32 二、填空题(每小题 9 分,共 54 分)

? 4? 7. 方程 ? ? ? 3?

sin x

?6? ?? ? ?5?

cos x

在 ?0,2? ? 上的解的个数为



2 2 2 8. 已知集合 A ? x x ? 3 x ? 2 ? 0 , B ? x x ? ax ? a ? 1 ? 0 , C ? x x ? bx ? 4 ? 0 ,

?

?

?

?

?

?

且 C ? ? ?a、b ? R? ,若 B ? A, C ? A 则 a ? b ?



9. A、B 两队进行乒乓球团体对抗赛,每队各有 3 名队员,每名队员出场一次,共赛三餐, 每场比赛胜者得一分, 负者得 0 分, A 对和 B 对的 3 名队员分别是 A1、A2、A3 和 B1、B2、B3 , 且 Ai 对 Bj 的胜率为

i ?1 ? i, j ? 3?,则 A 队得分期望的最大可能只是 i? j
cos A cos B s i A?n s i B 的取值范围是 ? ? 2, 则n sin B sin A



10. 在△ABC 中, ∠A、 ∠B 满足



2 11. 若不等式 x x ? 8 ?8 ? x ? ? ? ? x ? 1? 对 x ? ?0,2? 恒成立, 则满足此条件的实数 ? 的最小

?

?

值是


2

12. 若关于 x 的方程 x ? ax ?

1 a ? ? b ? 2 ? 0?a, b ? R ? 有实根,则 a 2 ? b 2 的最小值 x2 x

为 。 三、解答题(每小题 15 分,共 60 分) 13. 已知关于 x 的方程 8n ? m4n ? m2 ? 3 2n ? 0?m ? R?。 (1)若方程无实根,求 m 的取值范围; (2)若方程有唯一实根,求 m 的取值范围。 14. 已知 O?0,0? 、 A?1,0? 、 B?0,2? ,设 P 1 的中点,对于任 1、P 2、P 3 分别为 AB、OB、OP 意 正 整 数 n , Pn ? 3 为 线 段 P nP n?1 中 点 , 记 P n ?xn , yn ? , 设 a n ?

?

?

xn ? xn ?1 ? xn ? 2 , 2

bn ? an yn ? yn?1 ? yn?2 。
(1)求 a1、a2、a3 ; (2)证明: yn ? 4 ? 1 ? (3)设 cn ? 1 ?

yn ; 4

5 y4 n ,证明: ?cn ?是等比数列,并求 cn 。 4

15. 如图,C 为半圆弧的中点,P 为直线 BA 延长线上一点,过 P 作半圆 的切线 PD,D 为切点,∠BPD 的平分线分别交 AC、BC 于点 E、F,求证: 以 EF 为直径的圆过半圆的圆心 O。 16. 设 F1、F2 分别为双曲线

x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? 的左右交点,O 为坐标原点,点 P 在双 a 2 b2
? OF1 OM ? ?? ? ? OF ? OM ? ? ? 0 。 1 ? ?

曲线的左支上,点 M 在左准线上,且满足 F1O ? PM , OP ? ? ? (1)求此双曲线的离心率;

(2)若 此 双 曲 线 过 点 N 2, 3 , B1 ?0, b ? 、 B2 ?0,?b ? , 点 A、B 在 双 曲 线 上 , 且

?

?

B2 A ? ?B2 B?? ? R ?,当 B1 A ? B1B ? 0 时,求直线 AB 的方程。
答案:

2006 年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1. 设集合 M ? u u ? 12m ? 8n ? 4l, m、n、l ? Z , 。 M ?? u u ? 20p ?16q ?12r, p、q、r ? Z?,则 M 与 N 的关系为() A M ?N B M ?N C M ?N D M ? N, N ? M

?

?

2. 设一个四面体的体积为 V1 ,以它的各棱的中点为顶点构成一个凸多面体,其体积为 V2 , 则

V1 为() 。 V2
1 2
B

A

2 3

C

3 4

D 不确定

3. 在 1,2,3,4,5 的排列 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 中,满足 a1 ? a2 , a2 ? a3 , a3 ? a4 , a4 ? a5 的排 列的个数为() 。 A 24 B 16 C 10 D8

4. 给定正数 p、q、c、b、c? p ? q ? , 若 p、a、q 是等比数列,p、b、c、q 是等差数列, 则一元二次方程 bx ? 2ax ? c ? 0 ()
2

A 有两个相等实根 C 有两个异号实根

B 有两个同号互异实根 D 无实根

5. 若 f ?x? ? sin?2x ? ? ? ? 3 cos?2x ? ? ? 为奇函数,且在 ?0, 为() A

? ?? 为减函数,则 ? 的一个值 ? 4? ?
D ?

5 ? 6

B

2 ? 3

C ?

?
6

?
3

?x ? y ? 6 ? 0 ? 6. 已知 x、 y 满足 ? x ? y ? 0 ,若 z ? ax ? y 的最大值为 3a ? 9 ,最小值为 3a ? 3 ,则 a ?x ? 3 ?
的取值范围是() A 0 ? a ?1 B ?1 ? a ? 0 二、填空题(每小题 9 分,共 54 分) C ?1 ? a ? 1
2 2 ?

D a ? ?1 或 a ? 1

7. 设 圆 Ck ? ?x, y ??x ? mk ? ? ? y ? mk ? ? 2k , k ? N
2

?

?, 其 中 , m


k

定义如下:

m1 ? 0, mk ?1 ? mk ? 2k ? 1?k ? 1? 。则

1? k ? n

?C

k

的面积为

8. 已知复数集合 D,复数 z ? D 当且仅当存在模为 1 的复数 z1 ,使得

z ? 2005 ? 2006 i ? z 4 ? 1 ? 2 z12 ,则 D 中实部和虚部都为整数的复数的个数是



9. 一个立方体的任意 4 个不再同一平面上的顶点 A、B、 C、 D 组成的二面角 A ? BC ? D 的 余弦角中,小于 1 的值的个数是 2 。

10. 设 A ? ? 1,2,?, n??n ? 1, n ? N ? ,映射 f : A ? A ,则满足 f ?1? ? f ?2? ? ? ? f ?n? ,且 像恰好取 k ?1 ? k ? n? 个不同值的 f 的个数为 。

11. 设 F 为抛物线 y 2 ? 2 x ? 1 的焦点, Q?a,2? 为直线 y ? 2 上一点,若抛物线上有且仅有 一点 P 满足 PF ? PQ ,则 a 的值为 。

? x2 y2 ? 12. 设 x、y ? 0 ,S ?x, y ? ? min? x, y, 3 , ? ,则 S ?x, y ? 的最大值为 x ? y 3 x3 ? y 3 ? ?
三、解答题(每小题 15 分,共 60 分) 13. 设 0 ? ?、? 、? ?



?
2

满足 cos

2

? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 2 cos? cos? cos? ? 1 ,求证:

sin ? ? sin ? sin ? ? sin ? sin ? ? sin ? 1 ? ? ? sin ? ? sin ? sin ? ? sin ? sin ? ? sin ? 8
14. 设抛物线 y ? 2 px? p ? 0?的焦点为 F,过点 ? ?
2

? ?

p ? ,0 ? 的直线在第一象限交抛物线于点 2 ?

C、D,若在 x 轴上存在点 E,使 CE ? DE ,求直线 CD 的斜率 k 的取值范围。 15. AN 是△ABC 的角平分线,AN 的延长线交△ABC 的外接圆于点 D,M 是 AN 上一点,直线 BM、CM 分别交△ABC 的外接圆于点 E、F,DF 交 AB 于点 P,DE 交 AC 于点 Q,求证:P、M、Q 三点共线。 16. 设集合 M ? n n!可以表示为 n - 3个连续正整数积,且 n ? 4 ,证明:M 是由限集, 并求出 M 的所有元素。

?

?

2006 年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题
一、选择题(每小题 5 分,满分 30 分)

3 2 3 1、集合 M ? x ? R x ? 3a x ? 2a ? 0, a ? R, a ? 0 的非空子集的个数为() 。

?

?

A0
2 2、设 1 ? x ? x

B1

C3

D7

?

?

n

? a0 ? a1 x ? ? ? a2 n x 2 n ,则 a2 ? a4 ?? a2n ? ()
B 3 ?2
n

A3

C

3n ? 1 2

3n ? 1 2

3. 设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于 3,且各项的和为 361,则这样的数 列共有()个。 A2 B3 C4 D5 4. 有四个玩具,每个玩具要装 2 个眼色相同的小球,抽屉里有 4 种颜色的小球各 50 个,如 果任意摸出 N 个小球能保证装好 10 个玩具,那么 N 的最小值是() 。 A 21 B 23 C 24 D 30 5. 已知 x, y, z ? ? 0, A x? y?z

? ?? 。 ? , x ? sin?cos x ? , y ? cos y , z ? cos?sin x ? ,则() ? 2?
B y?z?x C x?z? y D y?x?z

6. 从集合 A ? x ? Z 1 ? x ? 10 中取出 5 个数组成 A 的子集, 取出的 5 个数中任何两个数之 和不等于 11,则这样的自己有() A 10 B 16 二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 7. 设 xn ? 2 n , Sn 为数 列 ? 是 。
? ? 1 3? ? ? ,OA ? a ? b ,OB ? a ? b ,若△OAB 是以 O 为直角顶点的等腰直角 , ? 3 2 ? ? ?

?

?

C 20

D 32

?1? 1 ? 的前 n 项和, 则 lg?S n ? 1? 与 lg?n ? 1? 的 大小关 系 2 ? xn ?

8. 已知 a ? ? ?

三角形,则△OAB 的面积是

。 。

9. x , y 为正实数,并且 x ? 2 x ? 2 ? 2 y ? 4 ? y ,则 x ? y 的最大值是

10. P 2 ? cos A, sin A ,O?sin B,5 ? cos B ? 是平面直角坐标系中两个动点,其中 A、B 为
2

?

?

任意实数,则 P、Q 之间的最短距离是

。 。

11. 设 A ? ? 1,3,4,?,2n ? 1?, Sn 是 A 的所有 3 元子集的元素和之和,则 S n ? 12. 如图所示,

n?n ? 1? ?n ? 2 ?个不同的数随机排列成一个三角数阵,设 M k 是从上往下数 2


第 k 行中的最大数,则 M1 ? M 2 ? ? ? M n 的概率是

三、解答题(本题共 4 小题,满分 90 分) 13. (本题满分 20 分) 偶 函 数 f ?x ? 在 ?? ?,0? ? ?0,??? 上 有 定 义 , 且 在 ?? ?,0? 上 是 减 函 数 , f ?6? ? 0 , 设

g ?? ? ? 2 cos 2 ? ? m sin ? ?
围。 14. (本题满分 20 分)

17 ? ?? m ,? ? ?0, ? 。求 g ?? ? ? 0 且 f ?g ?? ?? ? 0 时,m 的取值范 4 ? 2?

在抛物线 y 2 ? 2 x 上求一点 C,使得对任意过点 P 3,? 2 的直线与该抛物线的两个交点

?

?

A、B ,都有 CA? CB ? 0 。
15. (本题满分 25 分) 在凸四边形 ABCD 中,AC=BD=AB, AC ? BD 于 E,I 是△ABE 内心,M 是 AB 中点。 求证: CD ? MI ,且 CD ? 2 MI 。

?

?

16. (本题满分 25 分) 已知 a1 ? 1, a2 ? 3, an ? 4an?1 ? an?2 ?n ? 3?; b1 ? 1, b2 ? 3, bn ?
2 c1 ? 1, cn ?1 ? 2cn ? 3cn ? 2 ?n ? 3?

bn?1 ? 2 ?n ? 3? ; bn?2

求证:对一切正整数 n,有 an ? bn ? cn 。


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