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高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《2.3.1平面向量的基本定理及坐标表示》评估训练


双基达标

?限时 20 分钟?
).

1.如果 e1、e2 是平面 α 内所有向量的一组基底,那么下列命题正确的是( A.若实数 λ1、λ2 使 λ1e1+λ2e2=0,则 λ1=λ2=0 B.对空间任一向量 a 都可以表示为 a=λ1e1+λ2e2,其中 λ1、λ2∈R C.λ1e1+λ2e2 不一定在平面 α 内,λ1、λ

2∈R D.对于平面 α 内任一向量 a,使 a=λ1e1+λ2e2 的实数 λ1、λ2 有无数对

解析 A 正确,B 错,这样的 a 只能与 e1、e2 在同一平面内,不能是空间任一向 量;C 错,在平面 α 内任一向量都可表示为 λ1e1+λ2e2 的形式,故 λ1e1+λ2e2 一定 在平面 α 内;D 错,这样的 λ1、λ2 是唯一的,而不是有无数对. 答案 A 2.若 e1,e2 是平面内的一组基底,则下列四组向量能作为平面向量的基底的是 ( A.e1-e2,e2-e1 C.2e2-3e1,6e1-4e2 1 B.2e1-e2,e1-2e2 D.e1+e2,e1-e2 ).

解析 选项 A、B、C 中的向量都是共线向量,不能作为平面向量的基底. 答案 D → → → → → 3. (2012· 厦门高一检测)若OP1=a, 2=b, 1P=λPP2(λ≠-1), OP P 则OP等于( A.a+λb C.λa+b B.λa+(1-λ)b D. 1 λ a+ b 1+λ 1+λ ).

→ → → → → 解析 ∵OP=OP1+P1P=OP1+λPP2 → → → → → → =OP1+λ(OP2-OP)=OP1+λOP2-λOP, → → → ∴(1+λ)OP=OP1+λOP2, → 1 → λ → 1 λ ∴OP= OP1+ OP2= a+ b. 1+λ 1+λ 1+λ 1+λ 答案 D

4.如图所示,已知 E、F 分别是矩形 ABCD 的边 → → BC、CD 的中点,EF 与 AC 交于点 G,若AB=a,AD=b, → 用 a,b 表示AG=________. → → → → → → 解析 AG=AE-GE=AB+BE-GE 1 1→ =a+2b-2FE 1 1 1→ =a+ b- × DB 2 2 2 1 1 3 3 =a+2b-4(a-b)=4a+4b. 3 3 答案 4a+4b → → → 5. 在平行四边形 ABCD 中, 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点, E 若AC=λAE+μAF, 其中 λ、μ∈R,则 λ+μ=________. → → 解析 设AB=a,AD=b, → 1 则AE=2a+b, → 1 AF=a+2b, → 又∵AC=a+b, → 2 → → 2 4 ∴AC=3(AE+AF),即 λ=μ=3,∴λ+μ=3. 4 答案 3 6.判断下列命题的正误,并说明理由. (1)若 ae1+be2=ce1+de2(a、b、c、d∈R),则 a=c,b=d. (2)若 e1 和 e2 是表示平面内所有向量的一组基底,那么该平面内的任一向量可以 用 e1+e2、e1-e2 表示出来. 解 (1)错误,当 e1 与 e2 共线时,结论不一定成立.

(2)正确,假设 e1+e2 与 e1-e2 共线,则存在实数 λ,使 e1+e2=λ(e1-e2),即(1 -λ)e1=-(1+λ)e2. 因为 1-λ 与 1+λ 不同时为 0,所以 e1 与 e2 共线,这与 e1 与 e2 不共线矛盾. 所以 e1+e2 与 e1-e2 不共线,因而它们可以作为基底,该平面内的任一向量可以 用 e1+e2、e1-e2 表示出来.

综合提高

?限时 25 分钟?
). → → B.AB-AC 1→ 1→ D.2AB+2AC

→ 7.已知 AD 为△ABC 的中线,则AD等于( → → A.AB+AC 1→ 1→ C.2AB-2AC

解析 延长 AD 到点 E,使 DE=AD,连接 CE,BE,则四边形 ABEC 是平行四 边形,则 → 1→ 1 → → 1→ 1→ AD=2AE=2(AB+AC)=2AB+2AC. 答案 D → 8.(2010· 全国Ⅱ高考)在△ABC 中,点 D 在边 AB 上,CD 平分∠ACB.若CB=a, → → CA=b,|a|=1,|b|=2,则CD=( 1 2 A.3a+3b 3 4 C.5a+5b 解析 如图,∠1=∠2, |CB| |BD| 1 ∴|CA|=|DA|=2, → 1 → 1? → → ? ∴BD=3BA=3?CA-CB? 1 =3(b-a), → → → 1 2 1 ∴CD=CB+BD=a+3(b-a)=3a+3b. ). 2 1 B.3a+3b 4 3 D.5a+5b

答案 B 9.如图,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线 AB、AC → → → → 于不同的两点 M、N,若AB=mAM,AC=nAN,则 m+n 的值为________. → → 解析 设AB=a,AC=b, → 1 → → 1 1 则AO=2(AB+AC)=2a+2b, → → → 又AO=AM+MO → → → → → → → ?1-λ? λ =AM+λMN=AM+λ(AN-AM)=(1-λ)AM+λAN= m a+nb.

?1-λ=1 ? m 2 根据平面向量基本定理? λ 1 ?n=2 ?
答案 2

消去 λ 整理得 m+n=2.

10.(2012· 荆门高一检测)如图,平面内有三个 → → → → → 向量OA、OB、OC.其中OA与OB的夹角为 120° , → → → → OA与OC的夹角为 30° ,且|OA|=|OB|=1, → → → → |OC|=2 3,若OC=λOA+μOB(λ,μ∈R),则 λ+μ 的值为________. 解析 如图,以 OA、OB 所在射线为邻边,OC 为对角线作平行四边形 ODCE, → → → 则OC=OD+OE. → 在 Rt△OCD 中,∵|OC|=2 3,∠COD=30° , ∠OCD=90° , → → → → ∴|OD|=4,|CD|=2,故OD=4OA, → → OE=2OB,即 λ=4,μ=2,∴λ+μ=6. 答案 6 11.如图所示,设 M,N,P 是△ABC 三边上的点,

→ 1→ → 1→ → 1→ → → 且BM=3BC,CN=3CA,AP=3AB,若AB=a,AC=b, → → → 试用 a,b 将MN、NP,PM表示出来. → → → 1→ 2→ 1 2 解 NP=AP-AN=3AB-3AC=3a-3b, → → → 1→ 2→ 1 2 MN=CN-CM=-3AC-3CB=-3b-3(a-b) → → → → 1 2 1 =-3a+3b,PM=-MP=-(MN+NP)=3(a+b). 12.(创新拓展)已知△ABC 的两边 AB、AC 的中点分别为 M、N,在 BN 的延长 线上取点 P,使 NP=BN,在 CM 的延长线上取点 Q,使 MQ=CM,证明:P、 A、Q 三点共线.

证明

→ → 设AB=a、AC=b.由题意可知,

→ → → → → → AP=AB+BP=a+2BN=a+2(AN-AB) 1→ =a+2(2AC-a)=a+b-2a=b-a; → → → → → → AQ=AC+CQ=b+2CM=b+2(AM-AC) 1→ =b+2(2AB-b)=b+a-2b=a-b. → → → → 显然,AP=-AQ,说明AP,AQ共线. 故 P、A、Q 三点共线.


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