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高三数学限时训练(椭圆、双曲线)(含答案)


高三数学限时训练(椭圆、双曲线)
考 试 时 间 : 60 分 钟 1-10 每 题 6 分 11-12 每 题 20 分

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点, P 是椭圆上的点,且 | PF1 |:| PF2 |? 2 :1 ,则 1 . F1 , F2 是椭圆 9 4

?PF1 F2 的面积为
A.4 B.6 C. 2 2 D. 4 2

2.下列双曲线不是 以 2 x ? 3 y ? 0 为渐近线的是 ..

A.

x2 y 2 ? ?1 9 4

B.

y 2 x2 ? ?1 4 9

C.

x2 y 2 ? ?1 4 9

D.

y 2 x2 ? ?1 12 27

x2 y 2 y ? kx ? 1( k ? R ) ? ? 1 总有公共点, x 3. 要使直线 与焦点在 轴上的椭圆 实数 a 7 a
的取值范围是 A. 0 ?

a ?1

B. 0 ?

a?7

C. 1 ?

a?7

D. 1 ?

a?7

4.已知双曲线

x2 y 2 = 1 (a > 0, b > 0) 的一条渐近线平行于直线 l : y = 2 x + 10 ,双 a 2 b2

曲线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为 A.

x2 y 2 =1 5 20

B.

x2 y 2 =1 20 5

C.

3x 2 3 y 2 =1 25 100

D.

3x 2 3 y 2 =1 100 25

5.已知椭圆 C:

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点为 F1 、 F2 ,离心率为 ,过 F2 的 2 a b 3

直线 l 交 C 于 A、B 两点,若 ?AF1B 的周长为 4 3 ,则 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 A. 3

x2 y 2 ? ?1 B. 3 2

x2 y 2 ? ?1 C. 12 8

x2 y 2 ? ?1 D. 12 4

1

x2 y2 6. 若直线 mx+ny=4 和圆 O: x +y =4 没有交点, 则过点 (m, n) 的直线与椭圆 ? ?1 9 4
2 2

的交点个数为 A.至多一个

B.2 个

C.1 个

D.0 个

7.设双曲线 C 经过点 ? 2, 2 ? ,且与

y2 ? x 2 ? 1 具有相同渐近线,则 C 的方程为________. 4

8.过点 P(2 ,2) 的直线 l 与双曲线 _______条. 9. 过点 M (1,1) 作斜率为 ?

x2 y2 ? ? 1 有且仅有一个公共点,则这样的直线 l 有 4 4

1 x2 y 2 的直线与椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A, B , 若M 2 a b

是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率为__________.

a ? b ? 0 )与双曲线 C2 的公共焦点,它们在第一 10.设 F1 , F2 是椭圆 C1 : a 2 ? b 2 ? 1(
象限交于点 M ,离心率分别为 e1 和 e2 ,且线段 MF 1 的垂直平分线过 F2 ,则 小值为__________.

x2

y2

1 e2 ? 的最 e1 2

2

题号 答案

班级:_______________________ 1 2 3 4

姓名:________________ 5 6 7 8

9

10

11. 已知椭圆 C:

x2 y2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点(0, 2 ) ,且离心率为 . 2 a b 3

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)是否存在过点 E(-2,0)的直线 m 交椭圆 C 于点 M、N,满足三角形 MON 的面积为

2 6 .若存在,求直线 m 的方程;若不存在,请说明理由.. 3

\

3

12. 已知椭圆 C : x

2

? 2 y2 ? 4 ,
?
3
,求 PF 1 ? PF 2 ;

(1)设 F1 , F2 分别是椭圆 C 的左、右焦点,P 在椭圆上,若 ?F1 PF2 ? (Ⅱ) 设 O 为原点, 若点 A 在椭圆 C 上, 点 B 在直线 y 与圆 x
2

? 2 上, 且 OA ? OB , 求直线 AB

? y 2 ? 2 的位置关系,并证明你的结论

4

高三数学限时训练(椭圆、双曲线)
参考答案

1-6

ACC A BB

7.

x2 y 2 ? ?1 3 12

8.

2

9.

2 10. 2 ? 2 2
c2 2 6 ,得 2 ? , a 3 3

11 解: (I)椭圆 C 过点(0, 2 ) ,得 b ? 由 a ? b ? c =4+ c ,解得 a ? 6.
2 2 2 2
2

2 ,又 e ?

故椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 6 2 x2 y2 ? ? 1. 整理得 (t 2 ? 3) y 2 ? 4ty ? 2 ? 0. 6 2

(II)设直线 m : x ? ty ? 2 ,代入

? y1 ? y 2 ?

24t 2 ? 24 4t ?2 , y y ? , 得 | y ? y | ? . 1 2 1 2 t2 ? 3 t2 ? 3 3? t2
1 ? | OE | ? | y1 ? y 2 |? 2

S ?OMN ? S ?OEM ? S ?OEN

24t 2 ? 24 2 6, = (t 2 ? 3) 2 3

整理得 t 4 ? 3t 2 . 解得 t ? ? 3, 或 t ? 0. 故直线 m 的方程为 y ?

3 2 3 3 2 3 x? , 或 x ? ?2. x? ,或 y ? ? 3 3 3 3

12 解: (I)由题意,椭圆 C 的标准方程为
2 2

x2 y 2 ? ? 1。 4 2

所以 a ? 4, b ? 2 ,设 PF 1 ? m , PF2 ? n ,则 m ? n ? 4 , 又 4c ? m ? n ? mn ? (m ? n) ? 3mn ,
2 2 2 2

8 。 3 ? 8 1 4 ? mn cos ? ? ? 。 故 PF 1 ? PF 2 3 3 2 3
因此 4 ? 2 ? 16 ? 3mn ,解得 mn ?

5

(Ⅱ) 直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切。证明如下: 设点 A,B 的坐标分别为 ( x0 , y0 ) , (t , 2) ,其中 x0 ? 0 。 因为 OA ? OB ,所以 OA ? OB ? 0 ,即 tx0 ? 2 y0 ? 0 ,解得 t ? ?

??? ? ??? ?

2 y0 。 x0

当 x0 ? t 时, y0 ?

t2 ,代入椭圆 C 的方程,得 t ? ? 2 , 2

故直线 AB 的方程为 x ? ? 2 。圆心 O 到直线 AB 的距离 d ? 2 。 此时直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切。 当 x0 ? t 时,直线 AB 的方程为 y ? 2 ?

y0 ? 2 (x ? t) , x0 ? t

即 ( y0 ? 2) x ? ( x0 ? t ) y ? 2x0 ? ty0 ? 0 , 圆心 0 到直线 AB 的距离

d?

2 x0 ? ty0 ( y0 ? 2) 2 ? ( x0 ? t ) 2

又 x02 ? 2 y02 ? 4 , t ? ?

2 y0 故 x0
2 4 ? x0

2 x0 ? d?

2 y0 2 x0 4 y0 2 ?4 x0 2

?

x0 2 ? y0 2 ?

1 4 2 x0 ? 8 x0 ? 16 2

= 2 此时直线 AB 与圆 x ? y ? 2 相切。
2 2

6


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