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2013年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试理科数学


2013 年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试理科数学 本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 24 题,满分 150 分,考试 时间 120 分钟。 注意事项 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚; 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂,非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体 工整,字迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、 试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁,不得折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. 集合 , ,则 A. B. C. D. 2.设 Sn 是公差为 的无穷等差数列 的前 n 项和,则“d < 0”是“数列 有最大项”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.Δ ABC 中, , ,若 ,则角 C 为 A. B. C. D. 4.已知 ,则 展开式中的常数项为 A.20 B.-20 C.-15 D.15 5.正三棱柱 ABC—A1B1C1 的所有棱长都为 2,则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值 为 A. B. C. D. 6.已知函数 ,其图象相邻的两条对称轴方程为 与 ,则 A. 的最小正周期为 ,且在 上为单调递增函数 B. 的最小正周期为 ,且在 上为单调递减函数 C. 的最小正周期为 ,且在 上为单调递增函数 D. 的最小正周期为 ,且在 上为单调递减函数 7.一个几何体的三视图及尺寸如右图所示,则该几何体的 外接球半径为

A. B. C. D. 8.过抛物线 的焦点 F 的直线 l 与抛物线在第一象限的交点为 A,直线 l 与抛物线的准线的 交点为 B,点 A 在抛物线的准线上的摄影为 C,若 , ,则抛物线的方程为 A. B. C. D. 9.阅读右面的程序框图,输出结果 s 的值为 A. B. C. D. 10.在平行四边形 ABCD 中, , , 连接 CE、DF 相交于点 M,若 ,则实数 λ 与μ 的乘积为 A. B. C. D. 11.已知函数 的两个极值点分别为 x1,x2,且 , ,记分别以 m,n 为横、纵坐标的点 表 示的平面区域为 D,若函数 的图象上存在区域 D 内的点,则实数 a 的取值范围为 A. B. C. D. 12.设点 P 在曲线 上,点 Q 在曲线 上,则 的最小值为 A. B. C. D. 第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。将答案填在答题卡的相应位置上。 ) 13.若复数 ,则 __________。

14.已知双曲线 的右焦点为 F,由 F 向其渐近线引垂线,垂足为 P,若线段 PF 的中点在此双曲线上,则此双曲线的离线率为__________。 15.已知平面区域Ω = ,直线 l: 和曲线 C: 有两个不同的交点,直线 l 与曲线 C 围城的平面 区域为 M,向区域Ω 内随机投一点 A,点 A 落在区域 M 内的概率为 ,若 ,则实数 m 的取 值范围是__________。 16.已知Δ ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c,若 a = 1,2cosC + c = 2b,则Δ ABC 的周长的取值范围是__________。 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知正项数列满足 。 (1)求数列 的通项公式; (2)设 ,求数列 的前 n 项和 Tn。 18. (本小题满分 12 分) 从某学校高三年级共 1000 名男生中随机抽取 50 人测量身高。 据测量, 被测学生身高全 部介于 155cm 到 195cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组,第一组[155,160),第二组 [160,165),? ,第八组[190,195]。下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分、 其中第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列。 (1)求第六组、第七组的频率,并估算高三年级全体男生身高在 180cm 以上(含 180cm) 的人数; (2)学校决定让这 50 人在运动会上组成一个高旗队,在这 50 人中要选身高在 180cm 以上 (含 180cm)的三人作为队长,记 X 为身高在[180,185)的人数,求 X 的分布列和数学期望。

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥AD,AB∥CD,CD⊥AD,AD = CD = 2AB = 2,E,F 分别为 PC,CD 的中点,DE = EC。 (1)求证:平面 ABE⊥平面 BEF; (2)设 PA = a,若平面 EBD 与平面 ABCD 所成锐二面角 ,求 a 的取值范围。

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 过点 ,离心率 ,若点 在椭圆 C 上,则点 称为点 M 的一个“椭点” ,直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,若点 A、B 的“椭点”分别是 P、Q,且以 PQ 为直径的圆经过坐 标原点 O。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)若椭圆 C 的右顶点为 D,上顶点为 E,试探究Δ OAB 的面积与Δ ODE 的面积的大小 关系,并证明。

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 。 (1)若函数满足 ,且在定义域内 恒成立,求实数 b 的取值范围; (2)若函数 在定义域上是单调函数,求实数 a 的取值范围;

(3)当 时,试比较 与 的大小。 选考题:请考生从第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22. (本小题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,已知 PA 与⊙O 相切,A 为切点,过点 P 的割线交圆于 B、C 两点,弦 CD ∥AP,AD、BC 相交于点 E,F 为 CE 上一点,且 DE2 = EF?EC。 (1)求证:CE?EB = EF?EP; (2)若 CE:BE = 3:2,DE = 3,EF = 2,求 PA 的长。 23. (本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,已知直线 l 的极坐标方程为 ,圆 C 的圆心是 ,半径为 。 (1)求圆 C 的极坐标方程; (2)求直线 l 被圆 C 所截得的弦长。

24. (本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲 设函数 。 (1)解不等式 ; (2)已知关于 x 的不等式 恒成立,求实数 a 的取值范围。

2013 年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试 数学试卷(理工类)答案及评分标准 一、选择题: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A B B B C C D C B B D 二、填空题: 13. 14. 15. 16. 三、解答题: 17. (Ⅰ)整理得 ???????????? 4 分 又 得 ???????????? 6 分 (Ⅱ)由(1)知 ??????????? 8分 所以 ?????????????? 12 分 18. 解: (Ⅰ) 第六组 ?2 分 第七组 ?4 分 估计人数为 ?6 分 (Ⅱ) 可能的取值为 0,1, 2, 3. ?7 分

所以 的分布列

0123

?10 分 =. ? 12 分 19.(Ⅰ) , 分别为 的中点, 为矩形, ? 2分 ,又 面 , 面 , 平面 ⊥平面 ? 4分 (Ⅱ) ,又 , 又 ,所以 面 , ?6 分 法一:建系 为 轴, 为 轴, 为 轴, , , 平面 法向量 ,平面 法向量 ?9 分 ,可得 . ?12 分 法二:连 交 于点 ,四边形 为平行四边形,所以 为 的中点,连 , 则 , 面 ,, 作 于 点,所以 面 , 连 ,则 , 即为所求 ? 9分 在 中, , 解得 ?12 分 20. (Ⅰ)由已知 解得 , ,方程为 ?3 分 (Ⅱ) 设 ,则 (1)当直线 的斜率存在时,设方程为 联立得: 有 ① 由以 为直径的圆经过坐标原点 O 可得: ? 整理得: ② 将①式代入②式得: , ? 6 分 又点 到直线 的距离 ? 8 分 所以 ? 10 分 (2) 当直线 的斜率不存在时,设方程为 ( ) 联立椭圆方程得: 代入 得到 即 , 综上: 的面积是定值 又 的面积 ,所以二者相等. 21. (Ⅰ) 由原式 , 令 ,可得 在 上递减,

?12 分 ? 1分

在 上递增,所以 即 (Ⅱ) , , 时,函数 在 单调递增 , , ?3 分

?5 分

, , 必有极值,在定义域上不单调?8 分 ? ?9 分 (Ⅲ)由(I)知 在(0,1)上单调递减 ∴ 时, 即 ? 10 分 而 时, ? 12 分 22.(I)∵ ,∴ , 又∵ ,∴ ,∴ ∽ ∴ 又∵ ,∴ ?5 分 (II) , , 是⊙ 的切线, , ?10 分 23.(Ⅰ)圆 的极坐标方程为: ?5 分 (Ⅱ)圆心到直线距离为 ,圆半径为 ,所以弦长为 24.(Ⅰ) 的解集为: ? 5分 (Ⅱ) ?

?

10 分

10 分


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