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转化思想讲座(王茜)


转化思想

转化思想 在解综合题中的应用

转化思想

转化思想要求我们居高临下地抓住问题的实质, 在遇到 转化思想要求我们居高临下地抓住问题的实质, 较复杂的问题时,能够辩证地分析问题, 较复杂的问题时,能够辩证地分析问题,通过一定的策略和 手段,使复杂的问题简单化,陌生的问题熟悉化, 手段,使复杂的问题简单化,陌生

的问题熟悉化,抽象的问 题具体化.具体地说, 题具体化.具体地说,比如把隐含的数量关系转化为明显的 数量关系; 数量关系; 把从这一个角度提供的信息转化为从另一个角度 提供的信息.转化的内涵非常丰富,已知与未知, 提供的信息.转化的内涵非常丰富,已知与未知,数量与图 概念与概念之间,图形与图形之间都可以通过转化, 形,概念与概念之间,图形与图形之间都可以通过转化,来 获得解决问题的转机

转化思想
如图, 例题 1( 2009 中考 25 题 ) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中, (

1 A ( 6, 0 ) , ( 6, 0 ) , 0, 4 3 , AC 到点 D,使 CD= AC , B C 延长 使 2
过点 D 作 DE‖AB 交 BC 的延长线于点 E. ‖ 点的坐标; (1)求 D 点的坐标; ) (2)作 C 点关于直线 DE 的对称点 F,分别连结 DF,EF,若过 B ) 分别连结 , , 点的直线 y = kx + b 将四边形 CDFE 分成周长相等的两个 四边形,确定此直线的解析式; 四边形,确定此直线的解析式; 轴上一点, (3)设 G 为 y 轴上一点,点 P 从直线 y = kx + b 与 y 轴的交点 ) 出发, 出发,先沿 y 轴到达 G 点,再沿 GA 到达 A 点,若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍,试确定 G 点的位置, P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间最短. 点的位置, 点所用的时间最短. 使 要求: 点位置的方法,但不要求证明) (要求:简述确定 G 点位置的方法,但不要求证明)

(

)

转化思想

时间最短? 时间最短?

若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍
动点P运动路 动点 运动路 线

y M D E 30° S C H G 1 O 1 T F

y = 3x + 6 3

确定点G位置? 确定点 位置? 位置

在MG上2倍速度运动 上 倍速度运动 的时间=在GH上1倍 上 倍 速度运动的时间

A

B

x

转化思想

时间最短? 时间最短?

若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍

y M D E 30° S C H G A 1 O 1 B T F

问题转化为点A到 问题转化为点 到 直线MB的最短距 直线 的最短距 离问题, 离问题,即A,G, , , H三点共线即可. 三点共线即可. 三点共线即可

G点确定 点确定

x

转化思想 此问题考查的知识最终是:点到直线的垂线段最短. 此问题考查的知识最终是:点到直线的垂线段最短.它 是把一个问题转化成一个新的问题,转化的难度较大. 是把一个问题转化成一个新的问题,转化的难度较大.要关 注两点之间线段最短;点到直线的垂线段最短两个定理, 注两点之间线段最短;点到直线的垂线段最短两个定理,在 求最值问题中常常用到. 求最值问题中常常用到.
没有转化思想不可能完成此类 它没有用到超纲的知识, 没有转化思想不可能完成此类问题, 它没有用到超纲的知识, 很难发觉用什么知识解决问题 这种转化思想是学生欠缺的, 发觉用什么知识解决问题. 却很难发觉用什么知识解决问题.这种转化思想是学生欠缺的, 应让学生通过例题逐步体会,提高转化能力与意识. 应让学生通过例题逐步体会,提高转化能力与意识. 通过例题逐步体会

转化思想
已知: 例 2(西城 2010 期末 25 题)已知:抛物线 y = x 2 (m + 1) x + m 与 ( x 轴交于点 A( x1 ,0) ( x 2 ,0) 在 B 的左侧) ,B( (A 的左侧) ( ) , ) ( , 与 y 轴交于点 C. . (1)若 m>1,△ABC 的面积为 6,求抛物线的解析式; ) > , ,求抛物线的解析式; 轴下方, (2)点 D 在 x 轴下方,是(1)中的抛物线上的一个动点, ) )中的抛物线上的一个动点, 且在该抛物线对称轴的左侧, 且在该抛物线对称轴的左侧, DE‖x 轴与抛物线交于 作 ‖ 另一点 E,作 DF⊥x 轴于 F,作 EG⊥x 轴于点 G,求 , ⊥ , ⊥ , 周长的最大值; 矩形 DEGF 周长的最大值; (3) m<0, AB 为一边在 x 轴上方做菱形 ABMN ∠NAB ) 若 , 以 ( 为锐角) 边的中点, 上一点, 为锐角) P 是 AB 边的中点,Q 是对角线 AM 上一点, , 若 cos ∠NAB =
4 , QB + PQ = 6 ,当菱形 ABMN 的面积 5

最大时, 的坐标. 最大时,求点 A 的坐标.

(3) m<0, AB 为一边在 x 轴上方做菱形 ABMN ∠NAB ) 若 , 以 ( 为锐角) 边的中点, 上一点, 为锐角) P 是 AB 边的中点,Q 是对角线 AM 上一点, , 若 cos ∠NAB =
4 , QB + PQ = 6 ,当菱形 ABMN 的面积 5
菱形形状定了, 菱形形状定了,是谁限 制菱形不能过大? 制菱形不能过大?

最大时, 的坐标. 最大时,求点 A 的坐标.

菱形的形状确定

y N Q

M

(m,0)

A

P
中点

O B
(1,0)

x

转化思想

(3) m<0, AB 为一边在 x 轴上方做菱形 ABMN ∠NAB ) 若 , 以 ( 为锐角) 边的中点, 上一点, 为锐角) P 是 AB 边的中点,Q 是对角线 AM 上一点, , 若 cos ∠NAB =
4 , QB + PQ = 6 ,当菱形 ABMN 的面积 5

最大时, 的坐标. 最大时,求点 A 的坐标.

由菱形的 轴对称性 QB=BN

y N Q x M

(m,0)

A

P
中点

O B
(1,0)

转化思想

NQ+BQ的值最小等于PN, PN=6时 NQ+BQ的值最小等于PN,当PN=6时,菱形就为最 的值最小等于PN 大菱形了.分析之后题目问题转化为当PN=6时, 大菱形了.分析之后题目问题转化为当PN=6时 PN=6 求点A 求点A的坐标
y N M

Q
(m,0)

A

P
中点

O B
(1,0)

x

转化思想

(3) m<0, AB 为一边在 x 轴上方做菱形 ABMN ∠NAB ) 若 , 以 ( 为锐角) 边的中点, 上一点, 为锐角) P 是 AB 边的中点,Q 是对角线 AM 上一点, , 若 cos ∠NAB =
4 , QB + PQ = 6 ,当菱形 ABMN 的面积 5

最大时, 的坐标. 最大时,求点 A 的坐标.

y N M

5k

6
Q

3k
x

A 2.5k P H O B (m,0) 中点 1.5k (1,0)

4k
转化思想

转化思想

此题考查的知识是:三角函数, 此题考查的知识是:三角函数,勾股定 理,和在直线上求一点到同侧两点距离 之和最小. 之和最小.距离最小问题是利用对称点 基本的转化问题.必须掌握. 基本的转化问题.必须掌握.
A B A P B ' B B ' P

1

AP+B

2

已知: 例 3(2010 海淀期末 25 题)已知:抛物线 y = ax + bx + c 与 x 轴交于点 (
2

A(2, 0) ,B(8, 0) ,与 y 轴交于点 C (0,4) .直线 y = x + m 与抛物线交于 直线
的左侧) ,与抛物线的对称轴交于点 点 D , E ( D 在 E 的左侧) 与抛物线的对称轴交于点 F . , (1) 求抛物线的解析式; 求抛物线的解析式; (2) 当 m = 2 时,求 ∠DCF 的大小; 的大小; (3) 若在直线 y = x + m 下方的抛物线上存在点 P ,使得 ∠DPF = 45° ,且 若在直线 满足条件的点 P 只有两个,则 m 的值为 只有两个 要求写解答过程) 要求写解答过程) .(第(3)问不 ( )

备用图 1

备用图 2

(1) 若在直线 y = x + m 下方的抛物线上存在点 P ,使得 ∠DPF = 45° ,且 若在直线 只有两个 满足条件的点 P 只有两个,则 m 的值为 要求写解答过程) 要求写解答过程) .(第(3)问不 ( )

1 2 3 y = x x4 4 2

45° °
F

45° °

45° °
D

P1 45° °

y = x+m

P3

P2 45° °

问题转化为圆与抛物线交点问题, 问题转化为圆与抛物线交点问题,由对称性可 此圆经过抛物线的顶点时,P2与P3合二为 得:此圆经过抛物线的顶点时 与 合二为 则满足45°且两个P点的条件 点的条件. 一,则满足 °且两个 点的条件.

F

45° °

D

P1 45° ° P3 P2 45° °

此圆经过抛物线的顶点,如何求 的值? 此圆经过抛物线的顶点 如何求m的值? 如何求 的值
利用平移设坐标
1 2 3 y = x x4 4 2
F

(3-r,



25 +r) 4

顶点坐标

y = x+m

25 (3, 4 ) ,

转化思想

此题通过转化很好的利用圆的知识, 此题通过转化很好的利用圆的知识,得到 答案.借助圆进行转化的题目很多,主要是关 答案.借助圆进行转化的题目很多, 于圆周角一组定理的应用, 于圆周角一组定理的应用,应让学生有这样的 经验. 经验.

例题背景是二次函数,是代数更是几 例题背景是二次函数, 必须深入挖掘题目中的几何条件, 何,必须深入挖掘题目中的几何条件,数 形结合才能解决和简化问题. 形结合才能解决和简化问题.我在专题中 给出3个例题和 道练习, 个例题和5道练习 给出 个例题和 道练习,让学生体会转 化思想和技巧,供老师们选用. 化思想和技巧,供老师们选用.

转化思想

解综合题通过什么来提高? 解综合题通过什么来提高?一方面老师要 讲方法,思路,给学生总结规律提炼思想, 讲方法,思路,给学生总结规律提炼思想,选 取适当的题目加强训练, 取适当的题目加强训练,另一方面要靠学生自 身的练,逼着学生去解决问题, 身的练,逼着学生去解决问题,在他困惑的时 候给以点睛的指导,提高学生自身的能力, 候给以点睛的指导,提高学生自身的能力,让 学生有成功的体验,最后达到不用指导的目的. 学生有成功的体验,最后达到不用指导的目的.

转化思想

能力有限, 欢迎指导.
171中学:王茜 中学: 中学

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