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第30届全国中学生物理竞赛复赛模拟试题第2套答案


2013 年物理竞赛复赛模拟试题—第二套参考解答
题一、 (20 分)经过测试,发现用如左图的四个力,恰好能把一根长为 1.00m 的轻质木棒撇 断。用四根这样的木棒对称的构成右图的架子,支撑在一个圆形碗口(俯视图) ,把一个重 物放挂在 P 点,求重物的最大质量。 【解答】 木杆之所以会断,是因为杆上部挤压,下部拉伸,所提供的力矩超过极限。 如左图可知,此种木杆所能提

供最大力矩:
M max ? 20N ? 0.25m ? 5N ? m

(3 分)
杆② 6 杆① 1 2 3

2 、○ 3 、○ 4 进行受力分析 对右图各点进行标号,对杆○

易得 N3 ? 2 N4 ? 4 N5 ? 8N1 对杆 1 进行受力分析,由力矩平衡
N1 ? 0.5m ? mg ? 0.75m ? N3 ? 1m

(2 分)

(2 分) (2 分)

5

4 杆③

得到

8 mg , N3 ? mg N1 ? 10 10

杆④

由受力平衡 得到
N6 ?

N6 ? N3 ? mg ? N1
3 mg 10

(2 分)

分析杆上提供力矩规律,发现极值只可能出现在受力点处,分析各受力点提供力矩大小,找 到最大值:
M2 ? 8 mg ? 0.25m ? mg ? 0.2m 10 4 mg ? 0.5m ? mg ? 0.2m 10

同时 M 3 ?

(7 分,两式只给出一个扣 3 分)

此值等于 M max 时,杆断。故 得
mg ? 0.2m ? 5N ? m m ? 2.5kg

(2 分)

题二、 (22 分)如图所示,在一个光滑的底面积为 S ? 1dm 高为 H ? 0.2m 的固定圆柱形容
2

器内,有一个可以自由上下滑动活塞(活塞下方于大气联通) ,活塞质量为 m0 ? 1.0kg ,活 塞下方用一根劲度系数为 k ? 200N/m ,原长为 l0 ? 0.3m 的轻质弹簧连接到容器底。初始 时刻活塞位于距离底面 h ? 0.1m 高的位置,上方盛满方有密度为 ? ? 1 ? 10 kg/m 的水,
3 3

用手拉住保持活塞静止然后释放。 假设水一旦满出容器就立刻流走, 不再对下方的活塞和水 有作用力。 (1) 求释放活塞上升最大位移
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(2) 求从释放到活塞运动到最高点所需时间。

【解答】 以地面为原点,向上为 x 坐标,描述活塞运动在水未完全溢出前,活塞及水有牛顿第二定律 注意:水也在加速!
? ?m0 ? ? ? s ? H ? x ?? ? ? a ? k ?l0 ? x ? ? m0 g ? ? ? s ? H ? x ? g

(3 分) (2 分) (2 分) (2 分) (2 分)

带入数据得到

a ? 10m s 2 .为匀加速运动。

到达瓶口时,活塞速度为 经历时间为

v1 ? 2 m s
t1 ? 2 10s

后活塞作简谐运动,平衡位置在容器口上 h' ? 0.05m 处 由能量守恒求得其振幅
1 1 2 1 mv12 ? kh' ? kA2 2 2 2
5 m 20 从瓶口上升至最大振幅处,参考圆转过角度



A?

(3 分)

? ? arcsin 5 5 ?


?
2

(3 分)

?? m ? ? 0.14s t2 ? ? arcsin 5 5 ? ? ? 2? k ?
3? 5 m ? 0.26m 20

(1 分)

综上: (1)上升最大位移
S ? ? H ? h ? ? h' ? A ?

(2 分)

(2)经历时间
T ? t1 ? t2 ? 0.29s

(2 分)

题三、 (20 分)由于潮汐和地球自转的影响,地球上的海水被拉成椭球状,且长轴方向与地 月连线方向略有偏差,这样地球对月亮的引力的合力会在月亮绕地球运动方向有微小的分 量,从而把月球加速,推动月亮远离地球,同时海水对地球的摩擦使得地球自转变慢,直到 月球公转周期和地球自转周期相同。 (事实恐龙看到的月亮比我们看到的大多了…)已知月 球 质 量 为 mM ? 7.35 ? 10 kg , 地 球 质 量 为 mE ? 5.9 ? 10 kg , 地 球 到 月 球 距 离 为
22 24

2 r ? 3.8 ? 108 m ,地球半径为 R ? 6.4 ? 106 m 。地球转动惯量 I ? mE R2 ,月球半径可以 5
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忽略, g ? 9.8N/kg 。试求最终月亮会离地球多远? 【解答】 设同一地距离用 a 表示,地球自转角速度 ? ,月球公转角速度 ? 由月球运动的牛顿第二定律及万有引力公式 GmM mE (3 分) mM ? ? 2 ? a ? a2 得
? GM E ? 3 ? GM ? 2 或? ? ? 3 E ? a?? ? ? ? ? ? a ?
1

1

带入 GM E ? gR2 , a0 ? r 得 ?0 ? 2.7047 ?10?6 rad / s 写出地球-月球系统角动量表达式(地球质量远大于月球质量)
L ? I ? ? ? mM ?a 2 ? I ? ? ? mM ? GM E ? 3 ?
2 ? 1 3

(3 分)

(3 分)

在整个过程中角动量守恒,而未态 ?未 =?未 故

I ? ?0 ? mM ? gR2 ? 3 ?0
得到 代入得

2

?

1 3

? I ? ?未 +mM ? gR 2 ? 3 ?末

2

?

1 3

(5 分) (3 分) (3 分)

?未 ? 1.4 ? 10?6 rad / s
a未 =5.8 ? 108 m

题四、 (24 分)如图所示,在圆形区域中(足够大) ,有垂直于直面向内随时间均匀增加的 磁场

?B ? k 。在离圆心 O 距离为 d 的位置有一个钉子,钉住了一根长度为 l 均匀的质量为 ?t

m 的绝缘棒的中心 P ,棒子能在平面内自由无摩擦自由转动。棒子上半截均匀带正电,电
量为 Q ,下半截均匀带负电,电量为 ?Q 。初始时刻棒子垂直于 OP 。 (1) 计算在 P 点处钉子受到的压力。 (2) 若棒子受到微小扰动,在平面内来回转动起来(速度很小,洛仑兹力可以忽略) ,求 证此运动是简谐振动,并计算周期。 (棒子绕质心的转动惯量为 I ?

1 2 ml ) 12

y B
O P

l

x

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【解答】 涡旋电场大小为 E ,则有
E 2? r ? ? r2 ?B ?t

得到
E? r ? k ,方向垂直于 O 连线(3 分) 2

则杆上场强分量为
k ? Ex ? ? ? y ? ? 2 ? k ?E ? ? d y ? ? 2
x 方向受电场力为:
0 ? 1 Q k k ? Qkl ?Q F ? ?? ? 2 ? dy ? ? y ? ? ? dy ? y ? ? 0 l /2 l / 2 ? 2 2 ? 4 l/2 ?

(3 分)

(1) 由于上下电量相反, y 方向地强不变,故钉子 y 方向不受力。

(3 分)

(3 分)

故钉子压力为

Qkl (由于电场和 y 坐标成正比,因而可以使用平均电场计算) 4

(2) 设棒子转过一微小角度 ? y 方向电场力会提供力矩(由于力臂是一阶小量,横坐标变化引起的电场力改变也是一阶小 量,忽略二阶以上小量,因而不必计算电场力改变量产生的力矩。由于电场几乎是均匀的, 所以正电荷受力的合力力臂为 ?
M ? ??

l ) 4
(6 分)

l ?k ? Qkdl ?? d ?? 2 ? ? Q 4 ?2 ? 4

而 则

M ? I? Qkdl ?? ? ?0 4I
T ? 2? ml 3Qkd

是简谐方程

(3 分)

周期为

(3 分)

题五、 (16 分)等离子体控制是我们通向可控核聚变的重要技术。我们把某等离子体假设成 正负电荷电量分别为 ?2q 和 ? q 。正电荷以速度 为数密度分别为 n0 和 2n0 的正负离子构成,

v 运动时受阻力 f ? ?k? v ,负电荷以速度 v 运动时受阻力 f ? ?k? v 。把等离子体填充进入
一个变长为 l 的绝热绝缘的立方体内,并在上下面放置各放置一块金属板块。将上下极板之 间接入 U 0 的直流电源之后,求电流 I 。 (以下不是考题:将上下极板之间接入 U 0 cos ?t 的 交流电之后,求电流 I (t ) )

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【解答】 上下极板加上 U 0 后,产生电场强度 E ? U 0 l (1 分)

? F ? 2qE 其中的正负离子受力大小有 ? ? ? F? ? qE ? F ? f ? ? k? v? 稳定时,正负离子应受力平衡 ? ? ? F? ? f ? ? k ? v?
2qU 0 ? v? ? ? ? k ?l ? ? v ? qU 0 ? ? k ?l ?
s 为横截面积 l 2

(2 分)

(2 分)

由上,可求出

(2 分)

由电流 i ? n ? q ? s ? v

(2 分)



? 4n0 q 2U 0l 2 2qU 0 i n q l 2 ? ? ? ? ? ?? 0 k ?l k? ? ? 2 ? i ? 2n ? q ? l 2 ? qU 0 ? 2n0 q U 0l ? 0 ? k ?l k? ?

(6 分)

总电流 I ? i? ? i? ? ? 4 / k? ? 2 / k? ? ? n0 q2U 0l 注:此题是用来卖萌的

(1 分)

题六、 (20 分)如图所示是传统风箱的结构,忽略活塞的摩擦,假设气壁导热良好,环境温 度恒定为 T0 ,向左推动的到左室体积为 V0 ,右气室体积为 2V0 时候开始方向向右推动,向 右推动至右气室体积为 V0 时,反向向左推动。环境气压为 P0 ,当压差为 ?P 的时候单向阀 门才会打开,当气体流出时保持有 ?P 压强差(相当于阻力) 。气体定体摩尔热容量为 CV 。 在活塞反向运动前,左右两气室均达到稳定压强。 (1) 求一个周期中一共从出气口鼓出的气体的摩尔数。 (2) 求一个周期中外力对活塞做功为多少? 提示:

?
a

b

dx b ? ln x a

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【解答】 分析活塞从左至右的过程(即半个周期) 设初始时左气室气体数 n1 ,右室 n2 此时左气室压强 P 1 ? P 0 ? P ,右室 P 2 ? P? P 分别有克拉伯龙方程 (2 分)

? ? V0 ? P0 ? P ? ? n1 RT0 ? ? ?2V0 ? P0 ? P ? ? n2 RT0

(4 分)

(1) 活塞至右端时,右室气体数变为 n1 ,右室 n2 则半周期鼓出气体 ? n2 ? n1 ? 一个周期鼓出 N ? 2 ? n2 ? n1 ? ?

2V0 ? P0 ? 3 P ? RT0

(2 分)

(2) 设左侧气室体积 V1 时,开始吸气. 设右侧气室体积 V2 时,开始鼓起

? V1 ? P0 ? P ? ? n1 RT0 ? 有克拉伯龙方程 ? ? ?V2 ? P0 ? P ? ? n2 RT0
左室吸气前,为等温过程, P ?
n1 RT0 v V1 n RT P ? P 故开始至吸气对活塞做功 W1 ? ? 1 0 dV ? V0 ? P0 ? P ? ln 0 V0 V P0 ? P

(4 分)

(2 分) (1 分)

吸气过程对活塞做功

W2 ? ? 2V0 ? V1 ? ? ? P ? P ? ? ? P0 ? 3 P ? ? V0

同理,两过程中右室对活塞做功
P0 ? P ? ? W3 ? ?2V0 ? P0 ? P ? ln P ? P ? 0 ?W = ? ? P ? 3 P ? ? V 0 0 ? 4
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(3分) (1分)

一个周期中外力做功: W ? ?2 ?W1 ? W2 ? W3 ? W4 ? ? 2V0 ? P0 ? 3 P ? ? ln

P0 ? P P0 ? P

题七、 (18 分)一个质量为 m 的宇宙飞船在太阳风中行驶,风速为 3u / 2 。初始时刻风速 和飞船速度相对惯性系 S 的大小和方向如图所示。当飞船与太阳风相对速度小于 3u 的时 候,飞船发动机推力恒定为 F ,否则发动机推力恒定为 2 F 。分船可以向任意方向加速, 要求飞船达到末状态为:相对于太阳风,速度为 2u ,方向垂直于风速向上。 ,画出飞船初态、末态 (1) 以风速为参照系, v x 和 v y 为坐标轴(原风速方向沿 v x 方向) 速度的位置,标记出飞船受力为 F 的范围。 (2) 求到达末态所需要的最小时间,并在上图中标记历经的状态。

u/2

3u / 2

? ? 90?

【解答】
vy

(1)虚线圆内受力为 F(圆心原点半径 3u ) (2)设速度变化量在圆内部分长: v1 设速度变化量在圆外部分长: v2 则初速至末速历时 t ?
m v1 m v2 ? 2F F

(5 分)

v末 =2u

v初 =u
vx

(3 分)

若时间类比光学中的光程, v 类比光线路径长, m f 类比 折射率,由于费马原理则原问题可等效为: 如图,求 A 点发出的光线中可到达 B 点的光线的光程及轨迹 (5 分) 考察 A 正上方点 P ,由几何关系 ?OPA ? 30 , ?BPO ? 90 (2 分) 1 1 (2 分) sin ?BPO ? n外 =1 ? = ? 1=sin ?OPA ? n内 2 2 满足折射定律故折线 APB 即为所求轨迹 带回原问题,得到 v1 ? u , v2 ? u 故最短用时: t ?
3 mu 2 F
n=1
O
n= 1 2

B

(0,2)

P A

R= 3

? ?
3 1 , 2 2

(2 分) (1 分)

题八、 (20 分)在小说《三体》中,人们提出一个“阶梯计划” ,用于把 m0 ? 1kg 的物体加 速到 0.9 倍光速,送往另一个星球以期跟地外文明交流。其实现的方案是:物体自带面积为

S ? 1000m2 的镜子,在正对镜面方向放置一颗核弹,点爆核弹,光子将在镜面上全部反射,
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从而推动镜面前进。然而一颗核弹不够,于是将一系列核弹在太阳系中排成一条直线,物体 沿着直线被推出,每经过一个核弹附近,就将核弹点爆,于是物体被不断加速。下面我们估 算这样操作的可行性。我们使用“大伊万”5000 万当量的核弹,假设核弹爆炸前静止,爆 炸瞬间能在 100m 附近的镜面产生 J ? 1.6 ?10 Jm s 的能流密度(以静止的核弹为参照
12 -2 ?1

系,假设能流全部为光子,并垂直于镜面入射) ,持续时间为 t0 ? 1.0s ,此后的爆炸产生的 辐射可以忽略。 (1) 当镜面速度为 v 时,以镜面为参照系,光的能量密度 J ' 为多少? 提示:多普勒效应表明,以速度 v 远离光源时候,看到的频率和原频率比为

c?v c?v

(2) 当镜面速度为 v 时,一次核弹爆炸后镜面获得的动量为多少?(假设一次爆炸之后 v / c 的变化量很小) (以上答案用字母表示。以下不是考题:试估算需要多少颗核弹才能加速到 0.9c?) 【解答】 假设核弹产生的光子数密度为 n0 则在 t0 时间内发射的光子数 N0 ? J ? c ? t0 ? n0 (2 分)

(1) 在地面参考系中,这些光子被镜面接收需时(参考小学数学追击问题)
t? c t0 c?v

(3 分)

在镜面参考系中,由于钟慢效应,接收需时
t ' ? 1 ? v2 c2 t

(2 分)



t' ?

1? v / c ? t0 1? v / c n' ? c?v n0 c?v

带入 n0' 得镜面系光子数 而镜面系中光子频率
J ' ? n' ? hv' ? c ?

(2 分) (2 分) (2 分)

v' ?

c?v v0 c?v

c?v c?v ?J n0 ? hv0 ? c ? c?v c?v

(2) 地面系中,镜面反射来的光子频率? '' 满足 c?v ' c?v ? '' ? v ? v0 c?v c?v 一次核弹爆炸,镜面获动量
P ? N0 ? hv0 ? hv'' c

(2 分)

(3 分) (1 分)
2 J ? s ? t0 c?v

带入 得

J ? n0 hv0c
P?

(1 分)

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注:不是考题部分,另第 n 次核爆后镜子的质量为 m ? m0? n 由质能关系得到 Pn ? m0 ? n 2 ? 1 带入(2)结果有:做近似 ? n?1 ? ? n
m0 ? n ?12 ? 1 ? m0 ? n 2 ? 1 ?
1

2 Jst0 c(1 ? 1 ? ? n ?2 )

带入计算器数值解数列得到 n ? 91

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