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河南省南阳市第一中学2015-2016学年高一数学上学期第二次月考试题


南阳一中 2015 年秋期高一年级第二次月考 数学试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A={ x | x ? -1 或 x ? 1 },B={ x | x ? 2a 或 x ? a+1 },若 (C R B) ? A ,则实 数 a 的取值范围是( ) C.(-∞,-

1]∪(

A.(1,+∞) B.(-∞,-2]∪[1,+∞) D.(-∞,-2]∪[

1 ,+∞) 2

2.设 m, n 是两条不同的直线,? , ? , ? 是三个不同的平面, 给出下列命题, 正确的是 ( A.若 m ? ? , ? ? ? , 则 m ? ? B.若 m// ? , m ? ? ,则 ? ? ? C.若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ? ? D.若 ? ? ? ? m , ? ? ? ? n , m//n ,则 ? // ? 3. 一个用斜二侧画法画出的三角形是斜边为 2a 的等腰直角三角形, 则原三角形的面积是( ) A.

1 ,+∞) 2



1 2 a 2

B. a

2

C.

2a 2


D. 2 2a

2

4.函数 y ? log2 (4 ? 3x ? x2 ) 单调 增区间是(

( ? ?, ) A.

3 2

( ? 1,) B.

3 2

( , ? ?) C.

3 2

( , 4) D.

3 2

5.下列说法正确的是( ) A.四边形一定是平面图形 B.上下底面是平行且全等的多边形的几何体一定是棱柱 C.圆锥的顶点与底面圆周上的点的距离可能不相 等 D.过空间不在两条异面直线上的点且与该两条异面直线都平行的平面可能不存在 6.若函数 y ? a x ? b ? a ? 0且a ? 1? 的图象经过第二、三、四象限,则有(
,b ? ?1 A. 0 ? a ? 1 ,b ? ?1 C. a ? 1 ,b ? 1 B. 0 ? a ? 1 ,b ? 1 D. a ? 1



7. 一个水平放置的空间几何体的三视图如右图所示, 则该几何体外接球球 心到底面的距离为( ) A.1.5 B.1 C.2 D.

2


8.在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 P 在线段 AD1 上运动,则异面 直线 CP 与 BA1 所成的角 ? 的取值范围是( A.0 < ? ? 60 ?
0 0

B.0 < ? ? 90
0

0

C.0 ? ? ? 60
0

0

D.0 ? ? ? 90
0

0

9.圆心角为 135°,面积为 B 的扇形围成一个圆锥,若圆锥的全面积为 A,则 A:B 等于( A.11∶8 B.3∶8 C.8∶3 D.13∶8



x 10.已知 f ( x ) 是偶函数,它在 [0,? ?) 上是减函数,若 f (e ) ? f (?e) ,则 x 的取值范围

D' N A' B'

1

C'

F

是( ) A.R B.(-∞,-1] ∪[1,+∞) C.(-∞,1] D.[-1,1] 11.如图所示,正方体 ABCD ? A?B?C ?D ? 的棱长为 1, E , F 分别是 棱 AA? , CC? 的中点,过直线 E , F 的平面分 别与棱 BB? 、 DD? 交于 M , N ,设 BM ? x , x ? [0,1] ,给出以下四种说法: (1)平面 MENF ? 平面 BDD ?B? ;

1 2 (3)四边形 MENF 周长 L ? f ( x ) , x ? [0,1] 是单调函数; (4)四棱锥 C? ? MENF 的体积 V ? h( x ) 为 常函数; 以上说法中错误 的为( ..
(2)当且仅当 x= 时,四边形 MENF 的面积最小; A. (1) (4) B. (2) C. (3) D. (3) (4)
3 ? ? x , x ? a, 12.已知函数 f ( x ) ? ? 2 若存在实数 b ,使函数 g ( x) ? f ( x) ? b 有两个零点, ? x , x ? a . ?



则 a 的取值范围是(



?1) ? (0, ??) A. (??,

0) ? (1, ??) B. (??,

0) C. (??,

1) D. (0,

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 .把正确答案写在答题卡相应题的横 线上。 13. 直线 L 经过点 A (a+1,2-b) 、 点B (a-2,5-b) , 则直线 L 的倾斜角的大小是 ; 14.若不等式 x 2 ? logm x ? 0 在区间 ( 0, ) 上恒成立,则实数 m 的取值范围是

1 2



15.已知四面体 ABCD 的顶点都在的球 O 的球面上,且 AB=6,BC= 5 3 ,AD=8,BD=10,CD=5, 平面 ABD 垂直平面 BCD,则球 O 的体积为 . 16 设定义在区间 (?a, a ) 上的函数 f ( x) ? log 2015 1 ? mx 是奇函数 1 ? 2016 x

(a, m ? R, m ? ?2016 ) ,则 m a 的取值范围是
三、解答题:本大 题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (10 分)已知全集 U ? {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8} , A ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0} ,
2

B ? {x |1 ? x ? 5, x ? Z } , C ? {x | 2 ? x ? 9, x ? Z} .
(1)求 A ? ( B ? C ) ; (2)求 (CU B) ? (CU C)

18. (12 分) 如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,

AD ? AA1 ? 1, AB ? 2 ,点 E 在棱 AB 上移动.
(1)证明: D1 E ? A1 D ; (2)若 AE =2 ? 3 ,求二面角 D1 ? EC ? D 的大小.

2

19. (12 分)已知函数 f ( x) ? 2a ? 4 x ? 2 x ? 1 . (1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的零 点; (2)若函数 f ( x) 有零点,求实数 a 的取值范围.

20. (12 分)如图(1) ,在三角形 ABC 中,BA=BC=2 ,∠ABC=90°,点 O,M,N 分别为线 段的中点,将 ABO 和 MNC 分别沿 BO, MN 折起, 使平面 ABO 与平面 CMN 都与底面 OMNB 垂直, 如图(2)所示. (1)求证:AB∥平面 CMN; (2)求点 M 到平面 ACN 的距离.

3

21. (12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱
? 形, ?BAD ? 60 , Q 为 AD 的中点, PA ? PD ? AD ? 2 .

(Ⅰ)求证: AD ? 平面 PQB ; (Ⅱ ) 点 M 在线段 PC 上,PM ? tPC , 试确定 t 的值, 使 PA // 平面 MQB ;

22. (12 分)已知函数 f ( x) ? ? x ? log 2 (1)求 f (

1? x . 1? x

2016 2016 ) ? f (? ) 的值; 2015 2015

(2)当 x ? [?a, a] (其中 a ? (0,1) ,且 a 是常数)时,若 m ? e ? x ? f ( x) 恒成立, 求 m 的取值范围。

南阳一中 2015 年秋期高一年级第二次月考
4

一、选择题 二、填空题

DBCBD 13. 135
0

ABAAC

数学答案 CB

1 14. [ ,1) 16

500 15. ? 3

16. (1,2016

1 2016

]

三、解答题 17 题解:(1)依题意有: A ? {1, 2}, B ? {1, 2,3, 4,5}, C ? {3, 4,5, 6, 7,8} ∴ B ? C ? {3, 4,5} ,故有 A ? ( B ? C ) ? {1, 2} ? {3, 4,5} ? {1, 2,3, 4,5} (2)由 CU B ? {6,7,8}, CU C ?{1,2} ; 故有 (CU B) ? (CU C) ={1,2,6,7,8} 18 题(1)证明

? A1 D ? AD1,A1 D ? AB,AD1 ? AB ? A, 且AD1 ? 平面ABB1 D1 , AB ? 平面ABB1 D1, ? AD1 ? 平面ABB1 D1,又? D1 E ? 平面ABB1 D1, ? D1 E ? A1 D

(2)过D作DF ⊥ CE与F,连结D1F,可证CE ⊥ D1DF, ∠D1FD即为该二面角的平面角 ,易求该角大小为 45O
19 解:(1). a=1 时, 令 f ( x) ? 0,
x

f ( x) ? 2 ? 4 x ? 2 x ?1 ,
x 2

即 2 ? (2

) ? 2x ? 1 ? 0 ,
1 (舍) 2

解得 2 ? 1 或 2 x ? ?

所以 x ? 0 . 所以函数 f ( x) 的零点为 0.
x x (2). 若 f ( x) 有零点,则方程 2a ? 4 ? 2 ? 1 ? 0 有解.

x 2 x ? 1 1 x 1 x ?? 1 ? 1 ? 1 ? ( ) ? ( ) ? ?? ? ? ? ? 于是 2a ? 4x 2 4 ? ?? 2 ? 2 ? ? 4 1 1 1 因为 ( ) x ? 0 ,所以 2a ? ? ? 0 , 即 a ? 0 2 4 4

2

20 题

5

(2) (略解)根据 VM ? ACN ? V A?CMN (等体积转化)可得距离为 21 题证明: (Ⅰ)连接 BD . ∵四边形 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60? , ∴△ ABD 为正三角形.又 Q 为 AD 中点, ∴ AD ? BQ . ∵ PA ? PD , Q 为 AD 的中点,∴ AD ? PQ . 又 BQ ? PQ ? Q , ∴ AD ? 平面 PQB .
Q A P

3 3

M

D N B

C

1 时, PA ∥平面 MQB . 3 下面进行证明: 连接 AC 交 BQ 于 N ,连接 MN . AN AQ 1 ∵ AQ ∥ BC , ∴ ? ? . NC BC 2 PM 1 1 PM AN 1 又∵ PM ? PC , ∴ ∴ ? . ? ? , ∴ MN ∥ PA . MC 2 3 MC NC 2
(Ⅱ)当 t ? 又 MN ? 平面 MQB , PA ? 平面 MQB , ∴ PA ∥平面 MQB . 【另解】 连接 AC 交 BQ 于 N ,连接 MN . ∵ AQ ∥ BC , ∴

AN AQ 1 ? ? . NC BC 2

若 PA ∥平面 MQB ,又 PA ? 平面 PAC ,平面 MQB ? 平面 PAC ? MN , ∴ MN ∥ PA . ∴

1 PM AN 1 1 ? ? . ∴ PM ? PC ,即 t ? . 3 MC NC 2 3

22 题.(1)由

1? x ? 0得 ? 1 ? x ? 1, ? f ( x )的 定 义 域 为 ( ?1,1). 1? x 1? x 1? x ? ?( ? x ? log2 ) ? ? f ( x) , 1? x 1? x

又 f ( ? x ) ? x ? log2

? f ( x ) 为奇函数. 2016 2016 f( ) ? f (? ) =0 2015 2015

------------------------- --------6 分

6

(2)设 ? 1 ? x1 ? x 2 ? 1 ,则

1 ? x1 1 ? x 2 2( x 2 ? x1 ) , ? ? 1 ? x1 1 ? x 2 (1 ? x1 )(1 ? x 2 )

? ?1 ? x1 ? x 2 ? 1,? x 2 ? x1 ? 0, (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) ? 0 ,
? 1 ? x1 1 ? x 2 1 ? x1 1 ? x 2 ? ? 0 ,即 ? 1 ? x1 1 ? x 2 1 ? x1 1 ? x 2

? 函数y ? log 2

1?x 在 (?1, 1) 上是减函数, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9分 1?x 1?x 从而得f(x ) ? ?x ? log 2 在 (?1, 1) 上也是减函数 .? ? ? ? ? 10分 1?x

m ? e ? x ? f ( x) 恒成立,即 m ? f ( x) ? e ? x 恒成立
令 h( x) ?

f ( x) ? e ? x ,则 h( x) ? f ( x) ? e ? x 在定义域上是减函数,
1? a ? e ?a 1? a
12 分

则 m ? h( x) min ? h(a ) ? ?a ? log 2

7


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