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2014届高三数学一轮复习巩固与练习:基本初等函数


巩固
? ?1-x ,x≤1, 1.设函数 f(x)=? 2 ?x +x-2,x>1, ?
2

则 f[

1 ]的值为( f(2)

)

15 16 8 C. 9 A.
2

27 B.- 16 D.18

1 1 1 2 1

5 ]=f( )=1-( ) = .故选 A. f(2) 4 4 16 1 2.已知 f:x→-sinx 是集合 A(A?[0,2π ])到集合 B ={0, }的一个映射,则集合 A 2 中的元素个数最多有( ) A.4 个 B.5 个 C.6 个 D.7 个 1 7π 解析:选 B.∵A?[0,2π ],由-sinx=0 得 x=0,π ,2π ;由-sinx= ,得 x= , 2 6 11π ,∴A 中最多有 5 个元素,故选 B. 6 解析:选 A.∵f(2)=2 +2-2=4.∴f[
?2,x∈[-1,1] ? 3.(2010 年佛山质检)已知函数 f(x)=? ,若 f[f(x)]=2,则 x 的 ? ?x,x?[-1,1] 取值范围是( ) A.? B.[-1,1] C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.{2}∪[-1,1] 解析: D.若 x∈[-1,1], 选 则有 f(x)=2?[-1,1], f(2)=2; x?[-1,1], f(x) ∴ 若 则 =x?[-1,1],∴f[f(x)]=x,此时若 f[f(x)]=2,则有 x=2. 2 4.若 f(x-1)=2x+5,则 f(x )=________. 解析:令 x-1=t,则 x=t+1,f(t)=2(t+1 )+5=2t+7, 2 2 ∴f(x )=2x +7. 2 答案:2x +7 2 5.若 f(x)=x +bx+c ,且 f(1)=0,f(3)=0,则 f(-1)=________. ?1+b+c=0 ? 解析:依题意有? , ? ?9+3b+c=0
[来源:学。科。网 Z。X。X。K] [来源:学科网 ZXXK]

解得?

?b=-4 ? ? ?c=3
2



∴f(x)=x -4x+3, 2 ∴f(-1)=(-1) -4×(-1)+3=8. 答案:8 6.(1)已知 f(x-2)=3x-5,求 f(x); 2 (2)已知 f(1-cosx)=sin x,求 f(x); (3)若 f{f[f(x)]}=27x+26,求一次函数 f(x)的解析式. 解:(1)令 t=x-2,则 x=t+2,t∈R, 由已知有:f(t)=3(t+2)-5=3t+1, 故 f(x)=3x+1. 2 2 (2)∵f(1-cosx)=sin x=1-cos x, 令 1-cosx=t,cosx=1-t, ∵-1≤cosx≤1, ∴0≤1-cosx≤2,∴0≤t≤2,

∴f(t)=1-(1-t) =-t +2t(0≤t≤2), 2 故 f(x)=-x +2x(0≤x≤2). 2 (3 )设 f(x)=ax+b(a≠0),f[f(x)]=a x+ab+b, 2 3 f{f[f(x)]}=a(a x+ab+b)+b=a x+a2b+ab+b, 3 ?a =27, ? ? 2 ∴ ? ?a b+ab+b=26. 解得 a=3,b=2. 则 f(x)=3x+2,f[f(x)]=3(3x+2)+2=9x+8. f{f[f(x)]}=3(9x+8)+2=27x+26, ∴a=3,b=2,f(x)=3x+2 为所求.
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

2

2

练习 1.设 A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤2},在下列各图中能表示从集合 A 到集合 B 的映 射的是( )

解析:选 D.A 中的元素在 B 中都有唯一元素相对应.

?-2x+1,x<-1 ? 2.设函数 f(x)=?-3,-1≤x≤2 ?2x-1,x>2 ?
A.3 C.7 B.4 D.9

5 ,则 f(f(f( )-5))=( 2

)

5 解析:选 C.本题在求解时要注意自变量的取值范围与相对应的解析式,f(f(f( )-5)) 2 =f(f(-1))=f(-3)=7. 3. (2010 年北京西城模拟)设 f: →x 是集合 A 到集合 B 的映射, x 2 如果 B={1,2}, A∩B 则 等于( ) A.{1} B.? C.?或{1} D.?或{2} 解析:选 C.由已知可得集合 A 是集合{- 2,-1,1, 2}的非空子集,则 A∩B=?或 {1}. 4.下列各组函数是同一函数的是( ) |x| A.y= 与 y=1

x

B.y=|x-1|与 y=?

? ?x-1,x>1 ? ?1-x,x<1

C.y=|x|+|x-1|与 y=2x-1 x3+x D.y= 2 与 y=x x +1
? |x| ?1,x>0 解析:选 D.∵y= =? x ?-1,x<0 ? ? ?x-1,x≥1 又∵y=|x-1|=? ?1-x,x<1 ?

,定义域与对应法则都不同,∴排除 A.

,定义域不同,∴排除 B.

?-2x+1,x≤0 ? y=|x|+|x-1|=?1,0<x≤1 ?2x-1,x>1 ?

,对应法则不同,∴排除 C.

x3+x x(x2+1) y= 2 = 2 =x,故选 D. x +1 x +1 2 5.已知函数 f(x)=ax -x-c,且 f(x)>0 的解集为(-2,1),则函数 y=f(-x)的图
象为( )

解析:选 D.由 ax -x-c>0 的解集为(-2,1),

2

?-2+1=1, ? a 得? c ? ?-2×1=-a,
2

∴?

?a=-1, ? ? ?c=-2.

∴f(x)=-x -x+2. 2 ∴f(-x)=- x +x+2,图象为 D. 6.如图,点 P 在边长为 1 的正方形 ABCD 上运动,设点 M 为 CD 的中点,当点 P 沿 A→B→C→M 运动时,点 P 经过的路程设为 x, △APM 的面积设为 y, 则函数 y=f(x)的图象只可能是下图中的( )

?2x,0≤x≤1, ?3 1 解析:选 A.据题意可得 f(x)=? - x,1<x≤2 4 4 5 ?4-1x,2<x≤5, ? 2 2
1 件.
? ?e ,x≤0, 7.设 g(x)=? ? ?lnx,x>0,
x

易知只有 A 选项符合条

?1? 则 g[g? ?]=________. ?2?

1 1 1 ?1? ?1? 解析:据题意,g? ?=ln <0,g[g? ?]=eln = . 2 2 2 ?2? ?2? 1 答案: 2 2 8.已知 f( +1)=lgx,则 f(x)=________.

x

2 2 解析:令 +1=t(t>1),则 x= , x t-1 2 2 ∴f(t)=lg ,f(x)=lg (x>1). t-1 x-1 2 答案:lg (x>1) x-1 3 9.若 f(x)=(x +a) 对任意 x∈R 都有 f(1+ x)=- f(1- x),则 f(2)+f(-2)= ________. 解析:令 x=0,知 f(1)=-f(1), ∴f(1)=0, 3 ∴f(1)=(1+a) =0, ∴a=-1, 3 ∴f(x)=(x-1) , ∴f(2)+f(-2)=-26. 答案:-26 ? ?x-1,x>0, 2 10.(1)已知 f(x)=x -1, (x)=? g 求 f[g(x)]和 g[f(x)]的表达式. ? ?2-x,x<0, 1 (2)已知函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且 f(x)=2f( ) x-1,求 f(x)的表达式.
[来源:学。科。网] [来源:Zxxk.Com]

x

解:(1)当 x>0 时,g(x)=x-1, 2 2 故 f[g(x )]=(x-1) -1=x -2x; 当 x<0 时,g(x)=2-x, 2 2 故 f[g(x)]=(2-x) -1=x -4x+3;

? ?x -2x,x>0, ∴f[g(x)]=? 2 ? ?x -4x+3,x<0.

2

当 x>1 或 x<-1 时,f(x)>0, 2 故 g[f(x)]=f(x)-1=x -2; 当-1<x<1 时,f(x)<0, 2 故 g[f(x)]=2-f (x)=3-x .
?x -2,x>1或x<-1, ? ∴g[f(x)]=? 2 ? ?3-x ,-1<x<1.
2

1 1 1 1 1 2f(x) (2)在 f(x)=2f( ) x-1 中,用 代替 x,得 f( )=2f(x) -1,将 f( )= -1

x

x

x

x

x

x

1 2 1 代入 f(x)=2f( ) x-1 中,可求得 f(x)= x+ . x 3 3 11.已知 f(x)=x +2x-3,用图象法表示函数 g(x)= 解:当 f(x)≤0,即 x +2x-3≤0, -3≤x≤1 时,g(x)=0. 当 f(x)>0,即 x<-3 或 x>1 时, g(x)=f(x)=(x+1)2-4, ?0,-3≤x≤1, ? ∴g(x)=? 2 ? ?(x+1) -4,x<-3或x>1. 图象如图所示.
2 2

f(x)+|f(x)|
2

.

12.如图①所示是某公共汽车线路收支差额 y 元与乘客量 x 的图象.

(1)试说明图①上点 A、点 B 以及射线 AB 上的点的实际意义; (2)由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议,如图②③所 示.你能根据图象,说明这两种建议的意义吗? (3)图①、②中的票价是多少元?图③中的票价是多少元? (4)此问题中直线斜率的实际意义是什么? 解: (1)点 A 表示无人乘车时收入差额为-20 元. B 表示有 10 人乘车时收入差额为 0 点 元,线段 AB 上的点表示亏损,AB 延长线上的点表示赢利. (2)图②的建议是降低成本,票价不变,图③的建议是增加票价. (3)图①②中的票价是 2 元.图③中的票价是 4 元.

(4)斜率表示票价.


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