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排列组合顿悟


排列组合例题讲解 1

例 1.某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软 件和盒装磁盘,根据需要,软件至少买 3 片,磁盘至少买 2 盒 ,则不同的选购方式共有 ( (A) 5 种 (B) 6 种 (C) 7 种 (D) 8 种 )

解法一 记购买的软件数为 x,磁盘数为 y,依题意 x,y∈Z

x≥3,y≥2 60x+70y≤500 当 x=3 时,y=2,3,4;当 x=4 时,y=2,3;当 x =5 时,y=2;当 x=6 时,y=2.上述的不等式组共有 7 组 解,故不同的选购方式共有 7 种,选 C. 解法二 依题意,(x,y)是在坐标平面上,位于三条直线 L1:x=3,L2:y=2,L3:60x +70y=500 围成的三角形的边界及内部的点(坐标均为整数的点),如图 7-2-1,这样的点 共有 7 个,故选 C. 评述 这是一个计数的应用问题,解法一转化为求不等式组的整数解的个数;解法二转 化求坐标平面上特定区域内的整点个数.事实上,两种解法最终都采用了穷举法.这是解决 计数问题的基本方法之一. 例 2.在一块并排 10 垄的田地中,选择 2 垄分别种植 A、B 两种作物,每种作物种植 一垄,为有利于作物生长,要求 A、B 两种作物的间隔不小于 6 垄,则不同的种植方法共有 多少种? 解法一 如表格所示,用×表示种植作 物的地垄,О 表示未种植作物的地垄,则不 同的选垄方法共有 6 种,由于 A、B 是两种 作物,故不同的种植方法共有 12 种. 解法二 选垄方法可分为三类:第一类 间隔为 6 垄,有 1-8,2-9,3-10 三种选 法;第二类间隔为 7 垄,有 1-9,2-10 两 种选法;第三类间隔为 8 垄,只有 1-10 种 × × × ○ ○ ○ ○ ○ ○ × × ○ ○ ○ ○ ○ ○ × ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ × ○ ○ ○ ○ ○ ○ × ○ × ○ ○ ○ ○ × ○ × ×

选法,故选垄方法共 6 种,种植方法共 12 种. 评述 这是一个计数的应用问题, 解法一采用了画框图的方法; 解法二直接应用加法原 理和乘法原理. 若将例 1 和例 2 判定为排列与组合的问题, 并布列含排列数或组合数的算式, 反而会将 对问题的思考复杂化,难以得出正确的结论,由此可见,不应把计数问题都简单归结为排列 和组合的问题,也不能只通过计算排列数或组合数求解. 例 3.7 人排成一行,分别求出符合下列要求的不同排法的种数. (1)甲排中间; (2)甲不排在两端; (3)甲、乙相邻; (4)甲在乙的左边(不一定相邻); (5)甲、乙、丙两两不相邻. 解:(1)甲排中间,其余 6 人任意排列,故共有 P6 =720 种不同排法. (2)若甲排在左端或右端,各有 P6 种排法,故甲不排在两端共有 P7 ? 2 P6 =3600 种不
6 7 6 6

同排法. (3)法一:先由甲与除乙以外的 5 人(共 6 人)任意排列,再将乙排在甲的左侧或右侧(相

P2 =1440 种不同排法. 邻),故共有 P6 ·
法二:先将甲、乙合成为一个“元素” ,连同其余 5 人共 6 个“元素”任意排列,再由

6

1

P2 =1440 种不同排法. 甲、乙交换位置,故共有 P6 ·
(4)在 7 人排成一行形成的 P7 种排法中, “甲左乙右”与“甲右乙左”的排法是一一对 应的(其余各人位置不变),故甲在乙的左边的不同排法共有
7

6

1

1 7 P7 =2520 种不同解法. 2

(5)先由除甲、乙、丙以外的 4 人排成一行,形成左、右及每两人之间的五个“空” ,再 将甲、乙、丙插入其中的三个“空” ,每“空”1 人,故共有 P4 ? P5 =1440 种不同的排法.
4 3

评述 这是一组排队的应用问题,是一类典型的排列问题,附加的限制条件常是定位与 限位,相邻与不相邻,左右或前后等. 例 4.用 0,1,2,3,4,5 六个数字组成无重复数字的五位数,分别求出下列各类数 的个数:

(1)5 的倍数; (2)比 20300 大的数; (3)不含数字 0,且 1,2 不相邻的数. 解:(1)5 的倍数可分为两类:个位数的位置上的数字是 0 或 5, 个位数字是 0 的五位数有 P5 个; 个位数字是 5 的五位数有 4 P4 个; 故 5 的倍数共有 P5 +4 P4 =216 个 (2)比 20300 大的五位数可分为三类: 第一类:3××××,4××××,5××××;有 3 P5 个; 第二类:21×××,23×××,24×××,25×××,有 4 P4 个; 第三类:203××,204××,205××,有 3 P3 个. 故比 20300 大的五位数共有 3 P5 +4 P4 +3 P3 =474 个. (3)组成不含数字 0,且 1,2 不相邻的数可分为两步,第一步:将 3,4,5 三个数字排 成一行;第二步:将 1,2 插入第一步所形成四个“空”中的两个“空” ,故共有 P3 P4 =72 个. 评述 这是一组组成无重复数字的多位数的排数问题, 也是一类典型的排列问题, 常见 的附加条件是倍数关系,大小关系、相邻关系等.应当注意的是排队问题不会有元素重复的 问题,而排数问题必须规定无重复数字才是排列问题. 例 5 四面体的顶点和各棱中点共 10 个点,在其中取 4 个不共面的点,不同取法共有 ( (A) 150 种 (B) 147 种 (C) 144 种 (D) 141 种 )
3 4 2 4 4 4

3

3

3

3

2

2

分析 取出的四个点不共面的情况要比取出的四个点 共面的情况复杂,可采用间接法,先不加限制任取四 点,再减去四面共点的取法. 解 在 10 个点中任取 4 点,有 C10 种取法,取出 的 4 点共面有三类(如图 7-2-3). 第一类:共四面体的某一个面,有 4 C 6 种取法;
4 4

第二类:过四面体的一条棱上的三点及对棱的中点,如图中的平面 ABE,有 6 种取法; 第三类:过四面体的四条棱的中点,面与另外两条棱平行,如图中的平面 EFGM,共 有 3 个.
4 4 故取 4 个不共面的点的不同取法共有 C10 -(4 C 6 +6+3)=141(种)

因此选 D 评述 由点组成直线、平面、几何体等图形是一类典型的组合问题,常见的附加条件是 点共线与不共线,点共面与不共面,线共面与不共面等. 例 6 (1)设有编号为 1,2,3,4,5 的五个球和编号为 1,2,3,4,5 的五个盒子,现 将这五个球放入这五个盒子内, 要求每个盒内放一个球, 并且恰好有两个球的编号与盒子的 编号相同,这样的投放方法的总数为 ;

(2)四个不同的小球放入编号为 1,2,3,4 的四个盒中,则恰有一个空盒的放法共 有 种.
2 解(1)第一步:投放 2 个球,使其编号与盒子编号相同,有 C 5 种投法;第二步:投入其

余 3 个球,以第一步的投法是 1,2 号球投入 1,2 号盒子内为例,其余 3 个球由于不能再出 现球号与盒号相同的投法,如框图所示有 2 种投法. ④ 3 ⑤ 4 ③ 5 ⑤ 3 ③ 4 ④ 5

2 综上可知,符合题意的投放方法共有 C 5 × 2=20 种.

(2)第一步: 取出两个小球( C 4 种取法)合成一个 “元素” , 与另外两个球合成三个 “元素” ; 第二步:将 3 个元素放入 4 个盒中的 3 个盒子,每个盒子放一个元素,形成一个空盒( P4 种
3

2

P4 =144 种. 放法),故符合题意的放法共有 C 4 ·
评述 这是一组具有一定综合性的计数问题,应当注意,第(1)题如果判定第二步余下 3

2

3

P3 的算式,就会出错. 球可任意放入余下 3 个盒子,列出 C 5 ·

2

3


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