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异面直线所成的角和线面角(文)


异面直线所成的角和线面角
平移法:①体内平移———中位线平移法
1、如图各棱都相等的三棱锥 S—ABC,E,F 分别为 SC,AB 的中点,求 1)异面直线 EF 与 SA 所成的角( )A450 B 300 C 60 0 D 900

2、如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,底面是边长为 2 的菱形,∠DAB=60°, 对角线 AC 与

BD 交于点 O,PO⊥平面 ABCD, ?PBD =60°. (1)求四棱锥的体积; (2)若 E 是 PB 的中点,求异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值.

3、如图,四面体 ABCD 中,AB⊥BC,AB⊥BD,BC⊥CD, 且 AB=BC=6,BD=8,E 是 AD 中点,求 BE 与 CD 所成角的余弦值
7 5

A
6

E
8 6

B

D

(第 9 题) C 4、如图,四面体 ABCD 中, O、E 分别是 BD、BC 的中点,

A

CA ? CB ? CD ? BD ? 2, AB ? AD ? 2.
(I)求证: AO ? 平面 BCD; (II)求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小;
B D O E C

体内平移———平行四边形平移法
5、如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F 分别是 BB1 、CD 的中点. D1 求 AE 与 D1 F 所成的角。

C1 B1 E

A1

D A
1

F B

C

6、在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 和 N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点,求直线 D1 AM 与 CN 所成角的余弦值
A1 M B1 D N A B (第 6 题)

C1

C

②体外补形平移:
7、如图, PA ? 平面 ABC , ?ACB ? 90? 且 PA ? AC ? BC ? a ,则异面直线 PB 与 AC 所成角的正切值等于_____. 解:将此多面体补成正方体 DBCA ? D ' B ' C ' P , PB 与 AC 所成的角的大 小即此正方体主对角线 PB 与棱 BD 所成角的大小,在 Rt△PDB 中,即

P

A

C

tan ?DBA ?

PD ? 2 .故填 2 . DB

P
D1
A D B

B1

C1 B

C

8、如图 ABCD,ABEF 是边长为 a 的正方形, 直线 FA 垂直平面 ABEF 的所有直线, 求异面直线 AC 和 BF 所成的角

F

E A D

B

C

练习:.如图长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知 AB=a,BC=b(a>b),AA1=c,求异面直线 D1B 和 AC 所成角的余弦值。 D1 A1 D A B B1 C
E B A D F C

C1

9、A1B1C1—ABC 是直三棱柱,∠BCA=90°,点 D1、F1 分别是 A1B1、A1C1 的中点 BC=CA=CC1,求 BD1 与 AF1 所成角的余弦值是
B1 D1 F1 C1 B A C (第 5 题) 2 A1

10、已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 8,侧棱长为 6,D 为 AC 中点。

(1) 求异面直线 AB1 与 BC1 所成角
A1 B1 C1

A

C B

(2)

11、如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ⊥底面 ABC ,D 是 PC 的中点,已知∠ BAC =

? , 2

AB ? 2 , AC ? 2 3 , PA ? 2 ,求:
(1)三棱锥 P ? ABC 的体积 (2)异面直线 BC 与 AD 所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)

垂面法(异面垂直)
12、如图各棱都相等的三棱锥 S—ABC,求异面直线 SC 与 AB 所成的角( A450 B 300 C 60 0 D 900 )

线面角的求法 1.定义法 :平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是 解由斜线段,垂线段,斜线在平面内的射影所组成的直角三角形,垂线段是其中最重要的元 素,它可以起到联系各线段的作用。 1、 ( 如图 1 ) 四面体 ABCS 中, SA,SB,SC 两两垂直, ∠SBA=45° , ∠SBC=60° , M 为 AB
3

的中点,求(1)BC 与平面 SAB 所成的角。 (2)SC 与平面 ABC 所成的角。 解:(1) ∵SC⊥SB,SC⊥SA,
C

H

S M A

B

图1

∴SC⊥平面 SAB 故 SB 是斜线 BC 在平面 SAB 上的射影, ∴∠SBC 是直线 BC 与平面 SAB 所成的角为 60° 。 (2) 连结 SM,CM,则 SM⊥AB, 又∵SC⊥AB,∴AB⊥平面 SCM, ∴面 ABC⊥面 SCM 过 S 作 SH⊥CM 于 H, 则 SH⊥平面 ABC ∴CH 即为 SC 在面 ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC与平面ABC所成的角。 sin ∠SCH=SH/SC ∴SC 与平面 ABC 所成的角的正弦值为√7/7 ( “垂线”是相对的,SC 是面 SAB 的垂线,又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面 垂直的性质定理,其思路是:先找出与已知平面垂直的平面,然后一面内找出或作出交线的 垂线,则得面的垂线。 )

2、如图:已知直三棱柱 ABC—A1B1C1,AB=AC,F 为棱 BB1 上一点,BF∶FB1 =2∶1,BF=BC=2a。 (I) 若 D 为 BC 的中点,E 为 AD 上不同于 A、D 的任意一点,证明 EF⊥FC1; (II) 试问: 若 AB=2a, 在线段 AD 上的 E 点能否使 EF 与平面 BB1C1C 成 60° 角,为什么?证明你的结论

4

3、如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=2 3 ,PD=CD=2. (I)求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值; (II)证明平面 PDC⊥平面 ABCD; (III)求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值。

4、如图 6,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是等腰梯形,AD∥BC, AC⊥BD.(Ⅰ)证明:BD⊥PC; (Ⅱ)若 AD=4,BC=2,直线 PD 与平面 PAC 所成的角为 30°,求四棱锥 P-ABCD 的体积.

[ 中国^ 教* ~育出# 版%

【答案】 【解析】 (Ⅰ)因为 PA ? 平面ABCD, BD ? 平面ABCD, 所以PA ? BD. 又 AC ? BD, PA, AC 是平面 PAC 内的两条相较直线,所以 BD ? 平面 PAC,
5

而 PC ? 平面 PAC,所以 BD ? PC . (Ⅱ)设 AC 和 BD 相交于点 O,连接 PO,由(Ⅰ)知,BD ? 平面 PAC, 所以 ?DPO 是直线 PD 和平面 PAC 所成的角,从而 ?DPO ? 30 . 由 BD ? 平面 PAC, PO ? 平面 PAC,知 BD ? PO . 在 Rt POD 中,由 ?DPO ? 30 ,得 PD=2OD. 因为四边形 ABCD 为等腰梯形, AC ? BD ,所以 从而梯形 ABCD 的高为

AOD, BOC 均为等腰直角三角形,

1 1 1 AD ? BC ? ? (4 ? 2) ? 3, 于是梯形 ABCD 面积 2 2 2

1 S ? ? (4 ? 2) ? 3 ? 9. 2
在等腰三角形AOD中, OD ? 所以 PD ? 2OD ? 4 2, PA ?

2 , AD ? 2 2, 2

PD2 ? AD2 ? 4.

1 1 ? S ? PA ? ? 9 ? 4 ? 12 . 3 3 5、如图,在侧棱锥垂直底面的四棱锥 ABCD-A1B1C1D1 中, AD ∥ BC,AD ⊥ AB,
故四棱锥 P ? ABCD 的体积为 V ?

AB= 2 。AD=2,BC=4,AA1=2,E 是 DD1 的中点,F 是平面 B1C1E 与直线 AA1 的交点。
(1)证明: (i)EF∥A1D1; (ii)BA1⊥平面 B1C1EF; (2)求 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角的正弦值。 【解析】 (1) (i)因为 C1B1 / / A 1D 1 ,C1 B1 ? 平面 ADD1 A1,所以 C1 B1 / / 平面 ADD1 A1. 又因为平面 B1C1EF 平面 ADD1 A1= EF ,所以 C1B1 / / EF .所以 A1D1 / / EF .

(ii)

因为 BB1 ? A 1B 1C1D 1 ,所以 BB 1 ?B 1C1 ,

又因为 BB1 ? B1 A 1 ,所以 B 1C1 ? ABB 1A 1, 在矩形 ABB1 A 1B 1 F ? tan ?AA 1B ? 1 中,F 是 AA 的中点,即 tan ?A 即

2 . 2

?A1B1F ? ?AA1B ,故 BA1 ? B1F .
所以 BA 1C1EF . 1 ? 平面 B (2) 设 BA1 与 B1F 交点为 H,连结 C1H .

6

由(1)知 B1C1EF ,所以 ?BC1 H 是 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角. 在矩形 ABB1 A 1 中,

AB ? 2 , AA1 ? 2 ,得 BH ?

4 4 ,在直角 BHC1 中, BC1 ? 2 3 , BH ? ,得 6 6

sin ?BC1H ?

30 BH 30 ,所以 BC 与平面 B1C1EF 所成角的正弦值是 . ? 15 BC1 15

2. 利用公式sinθ =h/ι 其中θ 是斜线与平面所成的角, h 是 垂线段的长,ι 是斜线段的长,其中求出垂线段的长 (即斜线上的点到面的距离) 既是关键又是难点, 为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的 长。利用三棱锥的等体积,省去垂足 可是如果垂足位置不好确定, 此时可以利用求点面距常用方法---等体积法。 从而不用确 定垂足的位置,照样可以求出线面角。因为垂线段的长度实际就是点面距 h!利用三棱锥的 等体积,只需求出 h,然后利用 sin ? ?

h 进行求解。 斜线段长

6、 ( 如图 2) 长方体 ABCD-A1B1C1D1 , AB=3 ,BC=2, A1A= 4 , 求 AB 与面 AB1C1D 所 成的角。 解:设点 B 到 AB1C1D 的距离为 h, ∵VB﹣AB1C1=VA﹣BB1C1∴1/3 S△AB1C1· h= 1/3 S△BB1C1· AB,易得 h=12/5 设AB 与 面 A B1C1D 所成的角为θ
D A 3 2 B C

,则sinθ

=h/AB=4/5

4 D1 A1

H C1 B1

图2 ∴AB 与面 AB1C1D 所成的角为 arcsin 4/5

7、在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,CA=CB=CC1=2,∠ACB=90°,E、F 分别是 BA、BC 的中点,G 是 AA1 上一点,且 AC1⊥EG. (Ⅰ)确定点 G 的位置; (Ⅱ)求直线 AC1 与平面 EFG 所成角θ 的大小.

7

8、如图,四棱锥 S ? ABCD 中, AB CD , BC ? CD ,侧面 SAB 为等边三角形,

AB ? BC ? 2, CD ? SD ? 1.
(I)证明: SD ? 平面 SAB; (II)求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小。

3. 利用公式 cosθ =cosθ 1· cosθ

2

如图所示:PA 是平面α 的一条斜线,A 为斜足,过 P 作平面α 的垂线,垂足为 B,PC 为 平面α 内的一条线,若∠PAC=α ,∠PAB=β ,∠CAB=γ ,探究 cosα ,cosβ ,cosγ 三者的关 系 P 过 B 作 BC⊥AC,连结 PC

? PB ? 平面? ? ? ? PB ? AC ? AC ? 平面? ? ? ? AC ? 平面PBC ? AC ? BC ?
AC AC AB cosα = AP , cos β = AP , cosγ = AB

α

β A α γ C

B P

推得:cosα = cos β cosγ 变式 1:探究 如图所示:PA 是平面α 的一条斜线, A 为斜足,PA 和∠BAC 两边所成的角相等, 探讨 PA 在平面α 的投影的位置 B A O

C α 0 0 变式 2: PA 是平面α 的一条斜线, A 为斜足, PA 和∠BAC 两边所成的角相等为 30 , ∠BAC=90 , 求 PA 和平面α 所成角的余弦值 变式 3:已知球的直径 SC=4,A,B 是该球面上两点,AB= 3 ,∠ASC=∠BSC=30 ,则三棱锥 S-ABC 的体积为( ) B C
0

M

A S 类比例题 4 和变式 1 知变式 1 图是例题 4 的两个图对在一起,很快得变式 1 的结论 P

8

点在 ?BAC 的平分线上;类比变式 1 和变式 2,运用例题 4 的结论,设 PA 和平面 ? 所成角 为 ? ,得 cos ? =cos

? ? 3 2 6 cos = ;变式 3 综合性稍强,挖掘出?SBC≌?SAC, ? ? 6 4 2 2 4
43 4 ? 13 , 2 4

∵∠ASC=∠BSC=30 ,∴BS=AS=2 3 ,又∵ cos ?ASM =
0

SA - AM ? SA

2

2

cos

? 2 39 13 = cos ?CSM cos ?ASM ,∴ cos ?CSM = , sin ?CSM = , 6 13 13
三棱锥 S-ABC 的体积

= S ?SCM AB =

1 3

1 1 3 1 1 13 13 ? SM ? SC ? sin?CSM ? AB = ? ? ? 4? ? 3= 3 2 3 3 2 2 13

1、 (如图 4) 已知直线 OA,OB,OC 两两所成的角为 60° , ,求直线 OA 与 面 OBC 所成的 角的余弦值。 解:∵∠AOB=∠AOC ∴ OA 在面 OBC 内的射影在∠BOC 的平分线 OD 上,则 ∠AOD 即为 OA 与面 OBC 所成的角,可知 ∠DOC=30°,cos∠AOC=cos∠AOD· cos∠DOC ∴cos60° =cos∠AOD· cos30° ∴ cos∠AOD= √3/3 ∴ OA 与 面 OBC 所成的角的余弦值为√3/3。

A

B O C D

α

图4

2、如图,已知 AB 是平面 ? 的一条斜线, B 为斜足, AO ? ? , O 为垂足, BC 为 ? 内的一 条直线, ?ABC ? 60 , ?OBC ? 45 ,求斜线 AB 和平面 ? 所成角。
A

解:∵ AO ? ? ,由斜线和平面所成角的定义可知, ?ABO 为 AB 和 ? 所成角, 又∵ cos? ? cos?1 ? cos?2 ,

cos ?ABC cos 60 1 2 2 ? ? ? ? , cos ?CBO cos 45 2 2 2 ∴ ?BAO ? 45 ,即斜线 AB 和平面 ? 所成角为 45 .
∴ cos ?ABO ?

B

O C

?

9

3、如图,在正方体 AC1 中,求面对角线 A1B 与对角面 BB1D1D 所成的角。

O ,连结 OB , 〖解〗 (法一)连结 AC 1 1 与 B1 D 1 交于
∵ DD1 ? AC ? 平面 BB1D1D , 1 1, B 1D 1 ? AC 1 1 ,∴ AO 1 ∴ ?A 1BO 是 A 1 B 与对角面 BB 1D 1 D 所成的角,

D1

O

C1 B1

A1 1 A1 B ,∴ ?A1BO ? 30 . 2 (法二)由法一得 ?A 是 A1B 与对角面 BB1D1D 所成的角, BO 1
在 Rt ?A1BO 中, A1O ?

2 BB 6 又∵ cos ?A1 BB1 ? cos 45 ? , cos ?B1BO ? 1 ? , 2 BO 3 A 2 cos ?A1 BB1 3 ? 2 ? ∴ cos ?A1 BO ? ,∴ ?A . 1BO ? 30 cos ?B1 BO 2 6 3

D B

C

说明: 求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影, 后求斜线与其射影的夹 角。另外,在条件允许的情况下,用公式 cos? ? cos?1 ? cos?2 求线面角显得更加方便。 4.已知空间四边形 ABCD 的各边及对角线相等,求 AC 与平面 BCD 所成角的余弦值。 解:过 A 作 AO ? 平面 BCD 于点 O ,连接 CO, BO, DO , A ∵ AB ? AC ? AD ,∴ O 是正三角形 BCD 的外心,

3 a, 3 ∵ ?AOC ? 90 ,∴ ?ACO 即为 AC 与平面 BCD 所成角, 3 3 ∴ cos ?ACO ? ,所以, AC 与平面 BCD 所成角的余弦值为 . 3 3
设四面体的边长为 a ,则 CO ?

C

O D

B

10


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