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2014届高三数学一轮复习《正弦定理和余弦定理》理 新人教B版


[第 23 讲

正弦定理和余弦定理]

(时间:45 分钟 分值:100 分)

基础热身 1.[2013·山西大学附中检测] △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,又 a,b, c 成等比数列,且 c=2a,则 cosB=( ) 1 3 2 2 A. B. C. D. 4 4 4 3 2.△ABC

的三内角 A,B,C 的对边边长分别为 a,b,c.若 a= =( 5 b,A=2B ,则 cosB 2

) 5 5 5 5 A. B. C. D. 3 4 5 6 2 2 2 3.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2c =2a +2b +ab,则△ABC 是( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形 4.在△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,如果 c= 3a,B=30°,那么 C 等 于( ) A.120° B.105° C. 90° D.75°

能力提升 5.△ABC 中,a,b,c 分别为∠A,∠B,∠C 的对边,如果 a,b,c 成等差数列,∠B 1 =30°,△ABC 的面积为 ,那么 b 为( ) 2 A.1+ 3 B.3+ 3 3+ 3 C. D.2+ 3 3 6.[2013·湖北卷] 设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若三边的长为连 续的三个正整数,且 A>B>C,3b=20acosA,则 sinA∶sinB∶sinC 为( ) A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4 7. [2013·大连检测] 在△ABC 中, AC= 7, BC=2, B=60°, 则 BC 边上的高等于( ) 3 3 3 A. B. 2 2 3+ 6 3+ 39 D. 2 4 2 2 2 8. [2013·哈师大检测] 在△ABC 中, 若 sin A+sin B<sin C, 则△ABC 的形状是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.

)

C.钝角三角形 D.不能确定 3 5 9.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cosA= ,cosB= ,b=3,则 5 13 c=( ) 14 12 5 56 A. B. C. D. 5 13 13 65 10.[2013·安徽卷] 设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,则下列命题 正确的是________(写出所有正确命题的编号). π 2 ①若 ab>c ,则 C< ; 3 π ②若 a+b>2c,则 C< ; 3 π 3 3 3 ③若 a +b =c ,则 C< ; 2 π ④若(a+b)c<2ab,则 C> ; 2 π 2 2 2 2 2 ⑤若(a +b )c <2a b ,则 C> . 3 11.在直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 的顶点 A(-1,0),C(1,0),顶点 B 在椭圆 + 4 2 y sinA+sinC =1 上,则 的值为________. 3 sinB 1 12. [2013·石家庄检测] 在△ABC 中, 若 a=2, b+c=7, cosB=- , 则 b=________. 4 13. [2013·天津检测] 设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c.若(a+b-c)(a +b+c)=ab,则角 C=________. 14.(10 分)△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量 m=(2sinB,- 3),
2B ? ? n=?cos2B,2cos -1?且 m∥n. 2

x2

?

?

(1)求锐角 B 的大小; (2)如果 b=2,求△ABC 的面积 S△ABC 的最大值.

15. (13 分)设△ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c, 且有 2sinBcosA=sinAcosC +cosAsinC. (1)求角 A 的大小; (2)若 b=2,c=1,D 为 BC 的中点,求 AD 的长.

难点突破 16.(12 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 a=2,c= 2, 2 cosA=- . 4 (1)求 sinC 和 b 的值; π? ? (2)求 cos?2A+ ?的值. 3? ?

课时作业(二十三) 【基础热身】 2 1.B [解析] ∵a ,b,c 成等比数列,∴b =ac. 2 2 2 a +c -b 又由 c=2a,∴cosB= 2ac a2+4a2-ac 5a2-2a2 3 = = = . 2 2ac 4a 4 sinA sinB 5 2.B [解析] 由正弦定理 = ,又∵a = b,A=2B, a b 2 sin2B sinB ∴ = ,又∵b≠0,sinB≠0, b 5 b 2 ∴ 2cosB 5 =1,∴cosB= .故选 B. 4 5 2

1 2 2 2 2 2 2 3.A [解析] ∵2c =2a +2b +ab,∴a +b -c =- ab, 2 2 2 2 a +b -c 1 ∴cosC= =- <0. 2ab 4 所以△ABC 是钝角三角形.故选 A. 4. A [解析] 依题意由正弦定理得 sinC= 3sinA, 又 B=30°, ∴sinC= 3sin(150° 3 3 1 3 -C)= cosC+ sinC,即- sinC= cosC,∴tanC=- 3.又 0°<C<180°,因此 C= 2 2 2 2 120°. 【能力提升】 1 1 5.C [解析] ∵ acsinB= ,∴ac=2, 2 2 2 2 2 又 2b=a+c,∴a +c =4b -4, 3+ 3 2 2 2 由余弦定理 b =a +c -2accosB 得,b= . 3 6. D [解析] 因为 a, b, c 为连续的三个正整数, 且 A>B>C, 可得 a=c+2, b=c+1①. b2+c2-a2 b2+c2-a2 又因为 3b=20acosA,由余弦定理可知 co sA= ,则 3b=20a· ②,联立 2bc 2bc 15 2 ①②,化简可得 7c -13c-60=0,解得 c=4 或 c=- (舍去),则 a=6,b=5.又由正弦 7 定理可得,sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶ c=6∶5∶4.故选 D. 7.B [解析] 先用余弦定理求出边 c 的长度,再直接解直角三角形.由余弦定理得 7 2 2 =c +2 -2×2c×cos60°, 解得 c=3, 再由 BC 边上的高构成的直角三角形中, 得 h=c×sinB 3 3 3 =3× = ,故选 B. 2 2 8.C [解析] 考查正弦定理和判断三角形的形状,考查考生的转化思想,关键是利用 正弦定理,把角转化成边,再利用边之间的关系,判断三角形的形状. a2+b2-c2 2 2 2 由正弦定理可把不等式转化为 a +b <c ,cosC= <0,所以△ABC 为钝角三角 2ab 形.故选 C. 3 5 4 12 9. A [解析] 因为 cosA= , cosB= , 所以 sinA= , sinB= , 因为 sinC=s in[180° 5 13 5 13

4 5 3 12 56 c -(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= × + × = ,由正弦定理知 = 5 13 5 13 65 sinC b c 3 14 ,即 = ,解得 c= . sinB 56 12 5 65 13 10.①②③ [解析] 本题考查命题真假的判断,正、余弦定理,不等式的性质,基本 不等式等. a2+b2 b a 1 2 2 2 对于①,由 c =a +b -2abcosC<ab 得 2cosC+1> = + ≥2,则 cosC> ,因为 ab a b 2 π 0<C<π ,所以 C< ,故①正确; 3 2 2 2 2 2 2 2 对于②,由 4c =4a +4b -8abcosC<a +b +2ab 得 ab(8cosC+2)>3(a +b ),即 8cosC 1 π ?a b? +2>3? + ?≥6,则 cosC> ,因为 0<C<π ,所以 C< ,故②正确; 2 3 ?b a? 3 3 3 3 a b ?a? ?b? ?a? ?b? ?a? 对于③, a3+b3=c3 可变为? ? +? ? =1, 可得 0< <1, 0< <1, 所以 1=? ? +? ? <? ?

?c?

?c?

c

c

?c?

?c? ?c?

2

2 π ?b? 2 2 2 +? ? ,所以 c <a +b ,故 C< ,故③正确; 2 ?c? 1 1 1 2 2 2 2 对于④,(a+b)c<2ab 可变为 2× > + ≥ ,可得 ab>c,所以 ab>c ,因为 a +b

c a b

ab

π 2 ≥2ab>ab>c ,所以 C< ,④错误; 2

a2+b2
2 1 1 2 1 1 a +b 2 2 2 2 2 2 对于⑤, (a +b )c <2a b 可变为 2+ 2< 2, 即 2> , 所以 c <ab≤ , 所以 cosC> a b c c ab 2 2ab 1 π ≥ ,所以 C< ,故⑤错误.故答案为①②③. 2 3 11.2 [解析] 由题意知△ABC 中,AC=2,BA+BC=4, sinA+sinC BC+BA 由正弦定理得 = =2. sinB AC a2+c2-b2 1 4+(c-b)(c+b) 1 12 . 4 [ 解析 ] cosB = =- ,可得 cosB = =- , 2ac 4 4c 4 a= 2, ? ? 4+7(c-b) =-1,8c-7b+4=0,结合 b+c=7,可得?b=4,答案为 4.
2 2

c

? ?c=3

13.

2π 3

[解析] 由已知条件(a+b-c)(a+b+c)=a b,化简得 a +b -c =-ab,所

2

2

2

以 cosC=

a2+b2-c2 -ab 1 2π = =- .又 C 是三角形的内角,则 C∈(0,π ),所以 C= . 2ab 2ab 2 3 14.解:(1)∵m∥n, 2B ? ? ∴2sinB?2cos -1?=- 3cos2B,

?

2

?

∴sin2B=- 3cos2B,即 tan2B=- 3. 又∵B 为锐角,∴2B∈(0,π ), 2π π ∴2B= ,∴B= . 3 3 π (2)∵B= ,b=2, 3

∴由余弦定理 cosB=

a2+c2-b2 得, 2ac

a2+c2-ac-4=0, 2 2 又∵a +c ≥2ac,∴ac≤4(当且仅当 a=c=2 时等号成立).
1 3 ac≤ 3(当且仅当 a=c=2 时等号成立),∴S△ABC 的最大值为 3. 2 4 15.解:(1)方法一:由题设知,2sinBcosA=sin(A+C)=sinB. 1 因为 sinB≠0,所以 cosA= . 2 π 由于 0<A<π ,故 A= . 3 b2+c2-a2 a2+b2-c2 b2+c2-a2 2 2 2 方法二:由题设可知,2b· = a· +c· .于是 b +c -a 2bc 2ab 2bc b2+c2-a2 1 =bc.所以 cosA= = . 2bc 2 π 由于 0<A<π ,故 A= . 3 2 →2 ?→ →? 1 →2 →2 → → (2)方法一:因为AD =?AB+AC? = (AB +AC +2AB·AC) 4 2 ? ?

S△ABC= acs inB=

π? 7 1? = ?1+4+2×1×2×cos ?= , 3? 4 4? 7 7 → 所以|AD|= .从而 AD= . 2 2 1 π 2 2 2 2 2 2 方法二:因为 a =b +c -2bccosA=4+1-2×2×1× =3,所以 a +c =b ,B= . 2 2 3 ,AB=1,所以 AD= 2 【难点突破】 因为 BD= 3 7 1+ = . 4 2 2 14 a c ,可得 sinA= ,又由 = 及 a =2, 4 4 sinA sinC

16.解:(1)在△ABC 中,由 cosA=-

c= 2,可得 sinC=

7 . 4 2 2 2 2 由 a =b +c -2bccosA,得 b +b-2=0, 因为 b>0,故解得 b=1. 7 所以 sinC= ,b=1. 4 2 14 ,sinA= , 4 4 3 2 得 cos2A=2cos A-1=- , 4 (2)由 cosA=- sin2A=2sinAcosA=- 7 . 4

π? π π -3+ 21 ? 所以,cos?2A+ ?=cos2Acos -sin2Asin = . 3? 3 3 8 ?


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