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指数对数函数高考专题练习


高考要求: 1、 理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质. 2、 掌握指数函数的概念、图像和性质. 3、 理解对数的概念,掌握对数的运算性质. 4、 掌握对数函数的概念、图像和性质. 5、 能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 考点回顾: 1.幂的有关概念
n个 ?? ? ? ? ? (1)正整数指数幂 a ? a? a ? a

? ? ? a ( n ? N ) n

(2)零指数幂 a 0 ? 1 (a ? 0) (3)负整数指数幂 a
?n

?

1 a ? 0, n ? N ? ? n ? a

(4)正分数指数幂 a ? n am a ? 0, m, n ? N ? , n ? 1 ; (5)负分数指数幂 a
m ?n

m n

?

?

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

? a ? 0, m, n ? N

?

, n ? 1?

(6)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质

?1? ar as ? ar ?s ? a ? 0, r, s ?Q?
? 3?? ab ?
r

? 2? ? ar ?

s

? a rs ? a ? 0, r , s ? Q ?

? a r b r ? a ? 0, b ? 0, r ? Q ?

3.根式的内容 (1)根式的定义:一般地,如果 x ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n ? 1, n ? N ? , n a 叫
n

?

?

做根式,

n 叫做根指数, a 叫被开方数。
(2)根式的性质: ①当 n 是奇数,则 n a n ? a ;当 n 是偶数,则 n a n ? a ? ? ②负数没有偶次方根, ③零的任何次方根都是零 4.对数的内容 (1)对数的概念 如果 a ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记 b ? loga N (a ? 0, a ? 1)
b

?a ?? a

a?0 a?0

(2)对数的性质:①零与负数没有对数

② loga 1 ? 0

③ loga a ? 1

1

(3)对数的运算性质 ① loga MN ? loga M ? loga N

② log a

M ? log a M ? log a N N

③ loga M n ? n loga M 其中 a>0,a≠0,M>0,N>0
(4)对数换底公式: loga N ?
x

logm N ( N ? 0, a ? 0且a ? 1, m ? 0且m ? 1) logm a

5、 指数函数 y=a 与对数函数 y=logax (a>0 , a≠1)互为反函数,从概念、图象、性质去理解它们 的区别和联系 名称 一般形 式 定义域 值域 过定点 图象 (-∞,+ ∞) (0,+ ∞) (0,1)
x

指数函数 Y=a (a>0 且 a≠1)
x

对数函数 y=logax (a>0 , a≠1)

(0,+ ∞) (-∞,+ ∞) (1,0)

指数函数 y=a 与对数函数 y=logax (a>0 , a≠1)图象关于 y=x 对称

单调性

a> 1,在(-∞,+ ∞)上为增函数 0<a<1, 在(-∞,+ ∞)上为减函数

a>1,在(0,+ ∞)上为增函数 0<a<1, 在(0,+ ∞)上为减函数 y>0? y<0?

值分布

y>1 ?

y<1?

比较两个幂值的大小,是一类易错题,解决这类问题,首先要分清底数相同还是指数相同,如果底 数相同,可利用指数函数的单调性;指数相同,可以利用指数函数的底数与图象关系(对数式 比较大小同理) 记住下列特殊值为底数的函数图象:

6、 研究指数,对数函数问题,尽量化为同底,并注意对数问题中的定义域限制 7、 指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题,讨论复

2

合函数的单调性是解决问题的重要途径。 考点训练 考点 1、指数函数、图像、性质(注意参数的分类讨论、及数形结合的应用、转化思想的应用)

?1? ?1? EG1、若方程 ? ? ? ? ? ? 4? ? 2?
(A) ?? ?,1?

x

x ?1

? a ? 0 有正数解,则实数 a 的取值范围是
(B) (??,?2) (C) ?? 3,?2? B

D (D) ?? 3,0? ( )

B1-1、下列函数中,值域为(0,+∞)的是 A. y ? 5
1 2? x

B. y ? ( )

1 3

1? x

C. y ?

1 ( )x ?1 2

D. y ? 1 ? 2 x )

B1-2、关于 x 方程 a x ? ? x 2 ? 2 x ? a(a ? 0, 且a ? 1) 的解的个数是??B?( A. 1 B. 2 C. 0 D. 视 a 的值而定

B1-3、 已知函数 y ? f ( x) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 3x ? 1,设 f ( x ) 的反函数是 y ? g ( x ) , 则 g ( ?8) ? .-2

考点 2、对数函数、图像、性质(注意参数的分类讨论、及数形结合的应用、转化思想的应用) EG2、.函数 y=loga(-x -4x+12)(0<a<1))的单调递减区间是 A. (-2,- ? ) B. (-6,-2)
-│x│ 2 2

C. (-2,2)

D. (- ? ,-2]

B2-1. 若关于 x 的方程(2-2 A. a≥-2 B. 0≤a≤2
2

) =2+a 有实根,则实数 a 的取值范围是 D. -2≤a<2

C. -1≤a<2

B2-2.函数 y=log 1 (x -ax+3a)在[2,+∞)上是减函数,则 a 的取值范围是
2

(A) (-∞,4) (B) (-4,4] B2-3.若 log a A. 0 ? a ?

(C) (-∞,-4)∪[2,+∞] (D)[-4,4]

1 ? 1 ,则实数 a 的取值范围是 2 1 或a ?1 2
B. a ? 1 C. 0 ? a ?

1 2

D. a ? 2

B2-4.若函数 f ( x) ? loga x(0 ? a ? 1) 在 [a, 2a] 上的最大值是最小值的 3 倍,则 a= A.

2 4

B.

2 2

C.

1 4

D.

1 2

B2-5、函数 y=log2(1-x)的图象是 y y y y

O

1

x

-1 O

x

O

1

x

O 1

x

(A)

(B)
3

(C)

(D)

方法归纳 1.解决与对数函数有关的问题,要特别重视定义域; 2.指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于 1 还是小于 1,要注意对底数的讨论; 3.比较几个数的大小的常用方法有:①以 0 和 1 为桥梁;②利用函数的单调性;③作差 实战训练 1、 函数 y=-e 的图象 D A.与 y=e 的图象关于 y 轴对称 C.与 y=e 的图象关于 y 轴对称 2、函数 y=(
-x x x

B.与 y=e 的图象关于坐标原点对称 D.与 y=e 的图象关于坐标原点对称 . 2.5, B D.
-x

x

1 x x ) -2 在区间[-1, 1]上的最大值为 3

3、记函数 y ? 1 ? 3? x 的反函数为 y ? g ( x) ,则 g (10) ? A. 2
x

B. ?2

C. 3

?1

4、 若函数 f(x)=log a 在[2,4]上的最大值与最小值之差为 2,则 a=___ 5.函数 y ? log 1 (3x ? 2) 的定义域是____________ ? x |
2

2 或 2 2

? ?

2 ? ? x ? 1? 3 ?

?x ? 1 ?2 ( x?1) 6.f(x)= ? 则满足 f(x)= 的 x 的值是_______________3 x 4 ? ?log81 ( x?1)

7.设 f

?1

( x) 是函数 f ( x) ? log2 ( x ? 1) 的反函数,若 [1 ? f ?1 (a)][ 1 ? f ?1 (b)] ? 8 ,则
log2 3

f(a+b)的值为 B
A. 1 B. 2 C. 3 D.

8.函数 f ( x) ? loga (ax2 ? x) 在 x ? [2,4] 上是增函数,则 a 的取值范围是( ).A A. a ? 1 B. a ? 0, a ? 1 C. 0 ? a ? 1 D. a ? ? .

9、 如果 log 1 x ?
2

?
3

? log 1
2

?
2

那么 sin x 的取值范围是 B

A、 ??

? 1 1? , ? ? 2 2?

B、 ??

? 1 ? ,1? ? 2 ?

C、 ??

? 1 1? ?1 ? , ? ? ? ,1? ? 2 2? ? 2 ?

D、 ??

? 1 3? ? 3 ? ??? , ,1? ? ? ? 2 2 ? ? 2 ?

10、a 若不

等式内恒成立,则实数 的取值

11.函数 f ( x) ? 1 ? 2 log4 ( x ? 1) 的反函数为 f A. 1 ? 2 log4 3 B.-7

?1

( x),则f ?1 (4) 等于 C
D.-7 或 9

C.9

12.已知函数 f ( x) ? loga (1 ? a x ) (其中 a ? 0 , a ? 1 ) 。

4

(1)求反函数 f

?1

( x) 及其定义域;
?1

(2)解关于 x 的不等式 loga (1 ? a x ) ? f

(1)

x x 解 1)当 0 ? a ? 1 时,由 1 ? a ? 0 得出函数定义域 x ? (0 , ? ?) ;当 a ? 1 时,由 1 ? a ? 0 得函

数定义域为 x ? (?? , 0) 。 由 y ? loga (1 ? a x ) ? a y ? 1 ? a x ? a x ? 1 ? a y ? x ? loga (1 ? a y ) 则

f ?1 ( x) ? loga (1 ? a x )
故 当 0 ? a ? 1 时, f 当 a ? 1 时, f
?1 ?1

( x) ? loga (1 ? a x ) , x ? (0 , ? ?) ;

( x) ? loga (1 ? a x ) , x ? (?? , 0)
?1

(2) loga (1 ? a x ) ? f

(1) ? loga (1 ? a x ) ? loga (1 ? a)
?1 ? a x ? 1 ? a ?a x ? a ?x ? 1 ?? ?? ?x ? 0 ?x ? 0 ?x ? 0

由 1 ? a ? 0 ? 0 ? a ? 1 则原不等式 ? ?

? 0 ? x ?1
13.已知函数 f ( x) 的图象与 g ( x) ? ( ) x 的图象关于直线 y=x 对称,求 f ( 2 x ? x ) 的递减区间.
2

1 4

解:? f ( x) ? log1 x,
4

? f (2x ? x 2 ) ? log1 (2x ? x 2 ),
4

由2x ? x 2 ? 0,得x ? (0,2),
? x ? (0,1]时,

而 x ? (0,1]时,

u ? 2 x ? x 2 递增,

f (2x ? x 2 ) 递减.
2x 4 x ?1

14、定义在 R 上的奇函数 f ( x) 有最小正周期为 2,且 x ? (0,1) 时, f ( x) ? (1)求 f ( x) 在[-1,1]上的解析式; (2)判断 f ( x) 在(0,1)上的单调性; (3)当 ? 为何值时,方程 f ( x) = ? 在 x ? [?1,1] 上有实数解. 解(1)∵x∈R 上的奇函数 又∵2 为最小正周期 ∴ f (0) ? 0 ∴ f (1) ? f (2 ? 1) ? f (?1) ? ? f (1) ? 0
2?x 4?x ?1 ? 2x 4 x ?1 ? ? f ( x)

设 x∈(-1,0) ,则-x∈(0,1) , f (? x) ? ∴ f ( x) ? ?
2x 4 x ?1

? 2x x ? (-1,0) ?? x 4 ?1 ? ? f ( x) ? ? 0 x ? {-1,0,1} ? x ? 2 x ? (0,1) x ? ? 4 ?1
5

(2)设 0<x1<x2<1

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?

(2 x1 ? 2 x2 ) ? (2 xx ? 2 x2 ? 2 x2 ? 2 x1 ) (4 x1 ? 1)(4 x2 ? 1)

=

(2 x1 ? 2 x2 )(1 ? 2 x1 ? x2 ) (4 x1 ? 1)(4 x2 ? 1)

?0

∴在(0,1)上为减函数。 (3)∵ f ( x) 在(0,1)上为减函数。 ∴ f (1) ? f ( x) ? f (0)
2 1 即 f ( x) ? ( , ) 5 2

1 2 同理 f ( x) 在(-1,0)时, f ( x) ? (? ,? ) 2 5

又 f (?1) ? f (0) ? f (1) ? 0
1 2 2 1 ∴当 ? ? (? ,? ) ? ( , ) 或 ? ? 0 时 2 5 5 2
f ( x) ? ? 在[-1,1]内有实数解。

15. 已知 9 -10.3 +9≤0,求函数 y=( 解:由已知得(3 ) -10·3 +9≤0 ∴1≤3 ≤9 故 0≤x≤2 而 y=(
x x 2 x

x

x

1 x-1 1 x ) -4· ( ) +2 的最大值和最小值 4 2
x x

得(3 -9) (3 -1)≤0 4' 6'

1 x-1 1 x 1 2x 1 x ) -4·( ) +2= 4· ( ) -4· ( ) +2 4 2 2 2 1 x 1 ) ( ? t ? 1) 2 4
2

令 t=(

则 y=f(t)=4t -4t+2=4(t-

1 2 ) +1 2

8'

当 t=

1 即 x=1 时,ymin=1 2

10' 12'

当 t=1 即 x=0 时,ymax=2

16、设 a 是实数,试讨论关于 x 的方程 lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实根的个数.

? x ? 1? 0 ? 解 原方程可化为 ?3 ? x? 0 ?( x ? 1)(3 ? x) ? a ? x ?
即?

2'

?1? x?3
2 ?? x ? 5 x ? 3 ? a
2

4' 6'

作出 y=-x +5x-3(1<x<3)及 y=a 的图像如右.

6

当 x=1 时 y=1,当 x=3 时 y=3,当 x= 由图像知 ①当 a>

5 13 时 ymax= 2 4

8'

13 或 a≤1 时,两曲线无公共点,故原方程无实根。 4

10'

②当 1<a≤3 或 a=

13 时,两曲线有一个公共点,故原方程有一个实根。 4
14'

12'

③当 3<a<

13 时,两曲线有两个公共点,故原方程有两个实根。 4

17、已知

f ( x ) ? log 2

x?2 x ? 2 , g ( x) ? log2 ( x ? 2) + log2 ( p ? x) ( p ? 2 )

(1)求 f (x) , g (x) 同时有意义的实数 x 的取值范围; (2)求 F(x) = f (x) +g (x )的值域。

解: (I)使 f ( x) 、 g ( x) 同时有意义的实数 x 的取值范围 2 ? x ? p ;

(6 分)

( II) F ( x) = f ( x) + g ( x) 的值域为(1 )当 p ? 6 时,的值域为 (??, 2log2 ( p ? 2) ? 2] ; ( 2)当

2 ? p ? 6 时,的值域为 (??, 2 ? 2log2 ( p ? 2)) .
18、设函数 f ( x) ?

(12 分)

1 , 4 ?2
x

(1)求证:对一切 x ? R, f ( x) ? f (1 ? x) 为定值; (2)记 a n ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( 及前 n 项和. 解: (1) f ( x) ? f (1 ? x) ?
(2)由(1)知f (0) ? f (1) ? 1 ?, f (1) ? f (0) ? . 2 将上述n ? 1个式子相加得2a n ? n ?1 n ?1 ,? a n ? . 2 4 1 1 n?3 n(n ? 3) S n ? [2 ? 3 ? 4 ? ? ? (n ? 1)] ? ? ?n ? . 4 4 2 8 (10?) (12?)
1 1 1 4x 1 ? ? ? ? . 4 x ? 2 41? x ? 2 4 x ? 2 4 ? 2 ? 4 x 2 (6?)

1 n

2 n

n ?1 ) ? f (1) n

(n ? N *), 求数列 {an } 的通项公式

1 1 n ?1 1 2 n?2 1 , f( )? f( ) ? , f( )? f( )? 2 n n 2 n n 2

(注:17 题答案中的“K”应为“??”)

补充: 1、函数 f ( x) ? a (a ? 0且a ? 1) 对于任意的实数 x, y 都有
x

(A) f ( xy) ? f ( x) f ( y)

(B) f ( xy) ? f ( x) ? f ( y)

7

(C) f ( x ? y) ? f ( x) f ( y)

(D) f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y)

2、方程 lg(4 x ? 2) ? lg 2 x ? lg 3 的解是___________________ x1 ? 0, x2 ? 1 3、函数 f(x) ? In ( x ?1?1 )(x ? 0) 的反函数 f
?1

(x ) ?

.

e 2 x ? 2e x

( x ? R)
-1 -1

4、已知函数 y=log2x 的反函数是 y=f (x),则函数 y= f (1-x)的图象是 B

5、 a ? ?

1 是函数 f ( x) ? ln(e x ? 1) ? ax 为偶函数的 c 2
(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
2

(A) 充分不必要条件 (C) 充分必要条件

6.已知函数 f ( x) ? log1 ( x ? ax ? a) 的值域为 R,且 f(x)在( ? ?,1 ? 3) 上是增函数,则 a 的
2

范围是

.[0,2]

8


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