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[竞赛试卷]首届全国中学生数理化学科能力竞赛高二数学学科能力解题技能初赛试题


首届全国中学生数理化学科能力竞赛
高二数学学科能力解题技能初赛试题

试卷说明:1、本试卷共计 15 题,满分为 120 分 2、考试时间为 120 分钟

总分

本题得分

评卷人

一、选择题(每小题 5 分,共 30 分)

则集合 C 的元素个数 1. 已知 A = x ∈ N x < 2 , B = x x ? A , C = x x ? B , 为( )
8

{

}

{

}

{

}

(A) 2

(B) 4

(C) 8

(D) 16 )

2.曲线 y = sin( (A) 1

πx
3

+ 1) + 3 cos(

πx
3

+ 1) 的对称轴之间距离的最小值为(

(D) 4 uuu r 1 uuu r 3 uuu r 3.设点 P 为△ABC 的边 BC 上的一点,且满足 AP = AB ? CA ,则△ABP 与△ 4 4 (C) 3 ) APC 的面积之比为( (A) 1: 3 (B) 3 :1
x x

(B) 2

(C)
2

1: 4

(D)

4 :1

4.如果关于 x 的方程 4 ? a × 2 + a ? 3 = 0 至少有一个实根,则实数 a 的取值范 围是( ) (B) ( 3, 2] (C) (? 3, 2] (D) [? 3, 2]

(A) [?2, 2]

?x ? 2 y + 4 ≥ 0 ? 2 2 5.设实数 x, y 满足条件 ?2 ? 2 x ? y ≤ 0 ,则 f ( x, y ) = x + y + 2 x + 2 y 的最大 ?3 x ? y ? 3 ≤ 0 ?
值为( (A)23 ) (B)25 (C) 23 (D)5 )

6.已知 f ( x) 对于任意的 x、y ∈ R ,有 f ( x) f ( y) ? f ( xy) = 3x + 3 y + 6 ,则 f ( 2008) = ( (A)2008 (B)2009 (C) 2010 (D)2011

本题得分

评卷人

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分)
7.已知 a, b 均为质数,且满足 a + b = 13 ,则 a + b =
2 a b 2



8.已知△ABC 的三边长分别为 13,14,15. 有 4 个半径同为 r 的圆 O 、 O1 、 O2 、 O3 放在 △ABC 内,并且圆 O1 与边 AB 、 AC 相切,圆 O2 与边 BA 、 BC 相切,圆 O3 与边 CB 、 CA 相 切,圆 O 与圆 O1 、 O2 、 O3 相切,则 r = 9.若不等式 ( ?1) ? a < 2 +
n

.

(?1) n +1 对任意正整数 n 恒成立,则实数 a 的取值范围是 n

.

且不等式 f (a + 2b) + f (2a + b) > f (a) + f (b) 恒成立, 则 a 与 ?b 10. 函数 f ( x) 在 R 是减函数, 的大小关系是 .

11.已知函数 f ( x) 同时满足以下三个条件: (1)存在反函数 f
?1

( x) ;

(2)点 (1,1) 在函数 f ( x) 的图象上; (3)函数 f ( x + 1) 的反函数为 f 则?
?1

( x ? 1) .


?

? 1 ? 的前 n 项和 Tn = ? f (n) f (n + 1) ?

,则 ? 12.若 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数(如 [1.3] = 1, ? ?2 ? = ?3 等) ?+ ? 4? ? 2 ? 1× 2 ?

?

1?

?

1

?

1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ?+? ? +L+ ? ? =____________________. ? 3 ? 2 × 3 ? ? 4 ? 3× 4 ? ? 2009 ? 2008 × 2009 ?

三、解答题
13. (本小题满分 20 分) 在数列 {an } 中,已知 a1 = 1, an +1 = 2an + n ? 1 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn = nan + n , 且 {bn } 的前项 n 和为 Sn ,求证: S n +1 ≥ 2 S n + 6 .
2

本题得分

评卷人

(本小题满分 20 分) 14. 已知 x, y, z 是一个三角形的三个内角,求三元方程 2 cos x + 2 cos y + 2 cos z = 3 的所有解.

15. (本小题满分 20 分) 有一个 m × n × p 的长方体盒子,另有一个 (m + 2) × (n + 2) × ( p + 2) 的长方体盒子, 其中 m, n, p 均为正整数( m ≤ n ≤ p ),并且前者的容积 是后者一半,求 p 的最大值.


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