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第20讲 曲线轨迹的探求


数学高考综合能力题选讲 20

曲线轨迹的探求
100080 北京中国人民大学附中 题型预测
解析几何主要研究两大类问题:一是根据题设条件,求出表示平面曲线的方程;二是通 过方程,研究平面曲线的性质.从这个角度来说,轨迹问题成为解析几何高考命题的重点和 热点也就不足为奇了. 探求动点的轨迹,主要有以下方法: (1)定义法:若能结合题目条件分析出轨迹是什么曲线,则可利用曲线的定义得到结 论. (2)直接法:直接建立动点所满足的关系式,然后通过化简方程得出结论. (3)间接法:又分为相关点法、参数法、交轨法等. 解答轨迹问题时,若能充分挖掘几何关系,则往往可以简化解题过程.

梁丽平

范例选讲
5 ,且双 2

例1

已知双曲线的中心在原点,以坐标轴为对称轴,离心率为

曲线上动点 P 到点 A(2,0)的最近距离为 1. (Ⅰ)证明:满足条件的双曲线的焦点不可能在 y 轴上; (Ⅱ)求此双曲线的方程; (Ⅲ)设此双曲线的左右焦点分别是 F1 , F2 ,Q 是双曲线右支上的动点,过 F1 作 ∠F1QF2 的平分线的垂线,求垂足 M 的轨迹. 讲解:(Ⅰ)可考虑反证法. 讲解 证明:设双曲线的实半轴长为 a ,虚半轴长为 b ,半焦距为 c ,则由
a2 + b2 5 b 1 = ,所以, = . 2 4 a 2 a c 5 = , a 2



假设存在满足条件且焦点在 y 轴上的双曲线,则其渐近线方程为 y = ±2 x . 在此条件之下, 一方面, 我们当然可以设双曲线方程为: 2 4 x 2 = m ( m > 0 ) , y

然后把 PA 用 m 表示,利用 PA 的最小值为 1,推出矛盾.而另一方面,是否有 更简捷的办法呢?由于在前面的解答过程中已经求出了双曲线的渐近线, 不妨作 大胆的猜想:“点 A 到渐近线的距离大于 1”. 经过验证, 猜想正确. (事实上, A 点 (2, 到渐近线的距离为 d = 0) 4 5 > 1 )所 .

以双曲线上动点到点 A 的距离都超过 1.所以,不存在满足条件且焦点在 y 轴上 的双曲线. x2 y2 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)可设双曲线的方程为: 2 2 = 1( b > 0 ) , 4b b 则这个双曲线上任一点 P ( x, y ) 到点 A ( 2,0 ) 的距离为:
PA =

( x 2)

2

x2 + y = x 4x + 4 + b2 = 4
2 2

5 8 4 2 x + b 4 5 5

2

∵ x ∈ (∞, 2b] ∪ [2b, +∞) , ∴若 2b ≤
8 8 ,则当 x = 时, PA 有最小值,由 PA min = 5 5

4 b 2 = 1 ,解得 5

1 b 2 = (舍去); 5 8 若 2b > ,则当 x = 2b 时, PA 有最 5

小 值 , 由 PA min = 2b 2 = 1 , 解 得
b= 3 1 或 (舍去) ; 2 2

∴双曲线的方程为:

x2 4 y2 =1 9 9

(Ⅲ) 解: 设点 M 的坐标为 x, ) ( y , 延长 QF2 与 F1 M 交于点 T,连接 OM. ∵ QM 平分 ∠F1QF2 , QM⊥ F1 M , 且 ∴ QF1 = QT , F1 M = MT . 又∵点 Q 是双曲线右支上的动点, ∴ QF1 QF2 = QT QF2 = 2a

∴ F2T = 2a , ∴ OM = a , 即点 M 在以 O 为圆心, a 为半径的圆上. ∵ 当点 Q 沿双曲线右支运动到无穷远处时,QM 趋近于双曲线的渐近线, ∴ 点 M 的 轨 迹 是 圆 弧 CBD , 除 去 点 C, 点 D. 方 程 为 :
6 5 x2 + y 2 = 9 < x ≤ 3 . 5

点评:挖掘图形的几何性质,运用定义求轨迹是求动点轨迹的常用方法. 点评 例 2.如图,过点 A(-1,0),斜率为 k 的直线 l 与抛物线 C:y2=4x 交于 P,Q 两点. (I)若曲线 C 的焦点 F 与 P,Q,R 三点按如图顺序构成平行四边形 PFQR, 求点 R 的轨迹方程; (II)设 P,Q 两点只在第一象限运动, (0,8)点与线段 PQ 中点的连线交 x 轴于 点 N,当点 N 在 A 点右侧时,求 k 的取值范围. 讲解:(I)要求点 R 的轨迹方程,注意到 讲解 点 R 的运动是由直线 l 的运动所引起的,因此可 以探求点 R 的横、纵坐标与直线 l 的斜率 k 的关 系. 然而,点 R 与直线 l 并无直接联系.与 l 有直接联系的是点 P、Q,通过平行 四边形将 P、Q、R 这三点联系起来就成为解题的关键. 由已知 l : y = k ( x + 1) ,代入抛物线 C:y2=4x 的方程,消 x 得:
k 2 y y+k =0 4

∵ 直线l交抛物线C于两点P 、Q
k ≠0 ∴ 4 = 1 k 2 > 0
解得 1 < k < 0或0 < k < 1 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ), R( x, y ) ,M 是 PQ 的中点,则由韦达定理可知:

yM =

y1 + y2 2 = , 2 k

2 xM = k 2 1 将其代入直线 l 的方程,得 y = 2 M k

∵ 四边形 PFQR 是平行四边形, ∴ RF 中点也是 PQ 中点 M .
4 x = 2 xM xF = k 2 3 ∴ y = 2y = 4 M k

又∵ k ∈ (1, 0) ∪ (0,1) ∴ xM ∈ (1, +∞) . ∴ 点 R 的轨迹方程为 y 2 = 4( x + 3), x > 1. (II)因为 P、Q 在第一象限,所以, y1 y2 > 0且y1+y2 > 0 ,k > 0 .结合(I) 得, k ∈ (0,1) …① 点(0,8)与 PQ 中点所在直线方程为 y =
4k 2 8 . k 4k 2 4k 2 8 1 > 1 . 解之得 k<0 或 < k < 8. 2 4 k 4k 2 k 8k 2 x + 8 .令 y=0,得 N 点横 2k2

坐标为: xN =

因为 N 在点 A 右侧, xN > 1 , 令 得 综合①②,得 k 的取值范围是



1 < k < 1. 4

点评:选择合适的桥梁,促成已知和未知之间的转化是解决问题的关键.本 点评 题中的中点 M 就起到这样的作用.实际上,转移点法中的“转移”,参数法中 的“参数”都表达了同样的意思.

高考真题
1.

( 1995 年 全 国 高 考 题 ) 已 知 椭 圆
x 2 y2 x y + = 1 ,直线 l : + = 1 .P 24 16 12 8
l

y

R Q O

P

x

是 l 上 一 点 , 射 线 OP 交 椭 圆 于 点 R , 又 点 Q 在 OP 上 且 满 足 |OQ||OP|=|OR|2.当点 P 在直线 l 上移动时,求点 Q 的轨迹方程,并说明轨 迹是什么曲线.

2.

( 1999 年 全 国 高 考 题 ) 如 图 , 给 出 定 点

A(a,0)(a > 0) 和直线 l : x = 1. B 是直线 l 上的动
点, ∠BOA 的角平分线交 AB 于点 C .求点 C 的 轨迹方程, 并讨论方程表示的曲线类型与 a 值的 关系.

3.(2001 年上海春季高考)已知椭圆 C 的方

程为 x 2 +
a2 +

y2 = 1 ,点 P(a, b) 的坐标满足 2

b2 ≤ 1 .过点 P 的直线 l 与椭圆交于 A 、 B 2

两点,点 Q 为线段 AB 的中点,求:

(1)点 Q 的轨迹方程; (2)点 Q 的轨迹与坐标轴的交点的个数.

[













1



( x 1)
5 2

2

+

( y 1)
5 3

2

=1

( x, y ) ≠ ( 0, 0 )



2 . (1 a ) x 2 2ax + (1 + a ) y 2 = 0   ≤ x < a ) ; (0 2 x 2 + y 2 2ax by = 0 ; (2)略.]

3 . (1) 点 Q 的轨迹方程为


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