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2.2.1双曲线及其标准方程


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2.2.1

2.2.1
【学习要求】

双曲线及其标准方程

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1.了解双曲线的定义,几何图形和标准方程的推导过程. 2.掌握双曲线的标准方程. 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题. 【学法指导】 本节课的

学习要运用类比的方法,在与椭圆的联系与区别 中建立双曲线的定义及标准方程.

填一填·知识要点、记下疑难点

2.2.1

1.双曲线的定义

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把平面内与两个定点 F1,F2 的距离的 差的绝对值 等 于常数 (小于 |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定 点叫做 双曲线的焦点 线的焦距. , 两焦点间的距离 叫做双曲

填一填·知识要点、记下疑难点

2.2.1

2.双曲线的标准方程 焦点在 x 轴上 标准 方程 焦点 焦距 焦点在 y 轴上

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x2 y2 - =1 a2 b2
(a>0,b>0) F1(-c,0),F2(c,0)

y2 x2 - =1 a2 b2

(a>0,b>0)

F1(0,-c),F2(0,c)

|F1F2|= 2c ,c2= a2+b2

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2.2.1

探究点一

双曲线的定义

问题 1 取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各 选择一点,分别固定在点 F1,F2 上,把笔尖放在点 M 处, 拉开闭拢拉链,笔尖经过的点可画出一条曲线,思考曲线 满足什么条件? 答案 如图,曲线上的点满足条件:|MF1|-|MF2|
=常数;如果改变一下位置,使|MF2|-|MF1|=常 数,可得到另一条曲线.

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结论 平面内与两个定点 F1、 F2 的距离的差的绝对值等于常 数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线 . 这两个定点叫做双曲 线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

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2.2.1

问题 2 双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差 的绝对值为常数,若没有绝对值,则动点的轨迹是什么?

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答案
问题 3

若没有绝对值,动点的轨迹就成了双曲线的一支.
双曲线的定义中,为什么要限制到两定点距离之差

的绝对值为常数 2a,2a<|F1F2|?

答案

只有当 2a<|F1F2|时,动点的轨迹才是双曲线;当 2a

=|F1F2|时,动点的轨迹是两条射线;当 2a>|F1F2|时,满足条 件的点不存在.

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条件下点 P 的轨迹是什么图形? (1)| ?x+5?2+y2- ?x-5?2+y2|=6; (2) ?x+4?2+y2- ?x-4?2+y2=6.

2.2.1

问题 4 已知点 P(x,y)的坐标满足下列条件,试判断下列各

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(1)∵| ?x+5?2+y2- ?x-5?2+y2|表示点 P(x,y)到两定

点 F1(-5,0)、F2(5,0)的距离之差的绝对值,
|F1F2|=10,∴||PF1|-|PF2||=6<|F1F2|,

故点 P 的轨迹是双曲线. (2)∵ ?x+4?2+y2 - ?x-4?2+y2 表示点 P(x , y) 到两定点
F1(-4,0)、F2(4,0)的距离之差,|F1F2|=8,

∴|PF1|-|PF2|=6<|F1F2|,
故点 P 的轨迹是双曲线的右支.

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探究点二 问题 1 双曲线的标准方程

2.2.1

类比椭圆的标准方程推导过程,思考怎样求双曲线

的标准方程? 答案 (1)建系: 以直线 F1F2 为 x 轴, F1F2 的中点为原点建立
平面直角坐标系.
(2)设点:设 M(x,y)是双曲线上任意一点,且双曲线的焦点 坐标为 F1(-c,0),F2(c,0).
(3)列式:由|MF1|-|MF2|=± 2a,

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可得 ?x+c?2+y2- ?x-c?2+y2=± 2a.



(4)化简:移项,平方后可得

(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).

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令 c2-a2=b2,得双曲线的标准方程为

2.2.1

x2 y2 - =1 (a>0,b>0). ② a2 b2 (5)从上述过程可以看到, 双曲线上任意一点的坐标都满足方
程② ;以方程② 的解 (x , y ) 为坐标的点到双曲线两个焦 点 (-c,0),(c,0)的距离之差的绝对值为 2a,即以方程②的解 为坐标的点都在双曲线上,这样,就把方程②叫做双曲线的 标准方程.

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结论

双曲线的标准方程 焦点在 x 轴上 标准方程 x2 y2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0) 焦点在 y 轴上 y2 x2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0)

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2.2.1

问题 2 两种形式的标准方程怎样进行区别?能否统一? 答案 两个标准方程的区别: 双曲线标准方程中 x2 与 y2 的系

数符号决定了焦点所在的坐标轴.当 x2 系数为正时,焦点在 x 轴上; 当 y2 系数为正时, 焦点在 y 轴上.而与分母的大小无关. 两种形式可统一表示为 mx2+ny2=1(mn<0). 问题 3 如图,类比椭圆中 a,b,c 的意义,你能在 y 轴上

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找一点 B,使|OB|=b 吗?

答案 以双曲线与 x 轴的交点 A 为圆心,以线 段 OF2 为半径画圆交 y 轴于点 B.

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2.2.1

例 1 (1)已知双曲线的焦点在 y 轴上,并且双曲线过点(3, ? ? ?9 -4 2)和?4,5? ,求双曲线的标准方程; ? ? ? x2 y2 (2)求与双曲线 - =1 有公共焦点,且过点(3 2,2)的 16 4 双曲线方程.
解 y2 x2 (1)由已知可设所求双曲线方程为 2- 2=1 (a>0,b>0), a b
2 ? ?a =16, 解得? 2 ? ?b =9,

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9 ? ?32 2 - 2=1, a b ? 则? ?25- 81 =1, 2 2 ? a 16 b ?

y 2 x2 ∴双曲线的方程为 - =1. 16 9

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(2)方法一 x2 y2 设双曲线方程为 2- 2=1. a b

2.2.1

由题意易求得 c=2 5.
?3 2?2 4 又双曲线过点(3 2,2),∴ 2 - 2=1. a b 又∵a2+b2=(2 5)2,∴a2=12,b2=8. x2 y 2 故所求双曲线的方程为 - =1. 12 8 x2 y2 方法二 设双曲线方程为 - =1 (-4<k<16), 16-k 4+k 将点(3 2,2)代入得 k=4,
x2 y 2 ∴所求双曲线方程为 - =1. 12 8

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2.2.1

小结

(1)双曲线标准方程的求解方法是“先定型, 后计算”.

先看焦点所在的坐标轴是 x 轴还是 y 轴,从而设出相应的标 准方程.
(2)在求双曲线的方程时, 若不知道焦点的位置, 则进行讨论, 或可直接设双曲线的方程为 Ax2+By2=1 (AB<0). x2 y2 (3) 与双曲线 2- 2= 1 共焦点的双曲线的标准方程可设为 a b x2 y2 - 2 =1(-b2<λ<a2). 2 a -λ b +λ

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跟踪训练 1 b (1)过点(1,1)且 = 2的双曲线的标准方程是 a y2 B. -x2=1 1 2 x2 2 y2 D. -y =1 或 -x2=1 1 1 2 2

2.2.1

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x2 2 A. -y =1 1 2 2 y C.x2- =1 1 2

( D )

b 解析 由于 = 2,∴b2=2a2.当焦点在 x 轴上时,设双曲线 a x2 y 2 1 2 方程为 2- 2=1, 代入(1,1)点, 得 a = .此时双曲线方程为 2 a 2a 2 2 x y -y2=1.同理求得焦点在 y 轴上时,双曲线方程为 -x2=1. 1 1 2 2

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2.2.1

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x2 y2 (2)若双曲线以椭圆 + =1 的两个顶点为焦点,且经过椭 16 9 x2 y2 - =1 圆的两个焦点,则双曲线的标准方程为____________. 7 9
解析 x 2 y2 椭圆 + =1 的焦点在 x 轴上,且 a=4,b=3,c= 16 9

7,所以焦点为(± 7,0),顶点为(± 4,0).于是双曲线经过点 (± 7,0),焦点为(± 4,0),则 a′= 7,c′=4,所以 b′2 x2 y2 =9,所以双曲线的标准方程为 - =1. 7 9

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2.2.1

探究点三 与双曲线定义有关的应用问题 x2 y2 例 2 已知双曲线的方程是 - =1,点 P 在双曲线上,且 16 8 到其中一个焦点 F1 的距离为 10,点 N 是 PF1 的中点,求 |ON|的大小(O 为坐标原点). 解 设双曲线另一个焦点为 F2, 连接 PF2, ON 是三角形 PF1F2
的中位线, 1 所以|ON|= |PF2|,因为||PF1|-|PF2||=8,|PF1|=10, 2 1 所以|PF2|=2 或 18,|ON|= |PF2|=1 或 9. 2 小结 双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题的主要依

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据.在应用时,一是注意条件 ||PF1|-|PF2||=2a (0<2a<|F1F2|) 的使用,二是注意与三角形知识相结合,经常利用正、余弦 定理,同时要注意整体运算思想的应用.

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x2 y2 跟踪训练 2 如图,从双曲线 - =1 的左焦 3 5 点 F 引圆 x2+y2=3 的切线 FP 交双曲线右支 于点 P, T 为切点,M 为线段 FP 的中点,O 为坐标原点,则|MO|-|MT|等于 A. 3 B. 5 C. 5- 3

2.2.1

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( C ) D. 5+ 3

1 解析 |OM|-|MT|= |PE|-(|MF|-|FT|) 2 1 =|FT|- (|PF|-|PE|) 2 1 = 5- ×2× 3= 5- 3. 2

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例3

2.2.1

已知 A,B 两地相距 800 m,在 A 地听到炮弹爆炸声

比在 B 地晚 2 s,且声速为 340 m/s,求炮弹爆炸点的轨迹 方程.
解 如图,建立直角坐标系 xOy,使 A,B 两点在 x 轴上,并且坐标原点 O 与线段 AB 的中点重合.

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设爆炸点 P 的坐标为(x,y),

则|PA|-|PB|=340×2=680,
即 2a=680,a=340.又|AB|=800,
所以 2c=800,c=400,b2=c2-a2=44 400.

因为|PA|-|PB|=340×2=680>0,所以 x>0.
因此炮弹爆炸点的轨迹(双曲线)方程为 x2 y2 - =1 (x>0). 115 600 44 400

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2.2.1

小结

(1)解答与双曲线有关的应用问题时,不但要准确把握

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题意,了解一些实际问题的相关概念,同时还要注意双曲线 的定义及性质的灵活应用.

(2)实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着 的变量范围.

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跟踪训练 3 2008 年 5 月 12 日,四川汶川发生里 氏 8.0 级地震,为了援救灾民,某部队在如图所 示的 P 处空降了一批救灾药品, 今要把这批药品

2.2.1

沿道路 PA、PB 送到矩形灾民区 ABCD 中去,已知 PA= 100 km,PB=150 km,BC=60 km,∠APB=60° ,试在 灾民区中确定一条界线,使位于界线一侧的点沿道路 PA 送药较近,而另一侧的点沿道路 PB 送药较近,请说明这 一界线是一条什么曲线?并求出其方程 .
解 矩形灾民区 ABCD 中的点可分为三类, 第一类沿道路 PA 送药较近,第二类沿道路 PB 送药较近,第三类沿道路 PA 和 PB 送药一样远近.依题意,界线是第三类点的轨迹.

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设 M 为界线上的任一点,则|PA|+|MA|=|PB| +|MB|,|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50(定值).

2.2.1

∴界线是以 A、B 为焦点的双曲线的右支的一 部分. 如图,以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y

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轴,建立平面直角坐标系,设所求双曲线方程的标准形式为 x2 y2 2- 2=1 (a>0,b>0), ∵a=25,2c=|AB| a b = 1002+1502-2×100×150×cos 60° =50 7, ∴c=25 7,b2=c2-a2=3 750, x2 y2 故双曲线的标准方程为 - =1. 625 3 750 注意到点 C 的坐标为(25 7,60), 故 y 的最大值为 60,此时 x=35, x2 y2 故界线的曲线方程为 - =1 (25≤x≤35,y>0). 625 3 750

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2.2.1

1.已知 A(0,-5)、B(0,5),|PA|-|PB|=2a,当 a=3 或 5 时, P 点的轨迹为 A.双曲线或一条直线 C.双曲线一支或一条直线 ( D ) B.双曲线或两条直线 D.双曲线一支或一条射线

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解析

当 a=3 时,2a=6,此时|AB|=10,

∴点 P 的轨迹为双曲线的一支(靠近点 B).

当 a=5 时,2a=10,此时|AB|=10,
∴点 P 的轨迹为射线,且是以 B 为端点的一条射线.

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2.2.1

2.若 k>1,则关于 x,y 的方程(1-k)x2+y2=k2-1 所表示的 曲线是 A.焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 y 轴上的双曲线 ( C ) B.焦点在 y 轴上的椭圆 D.焦点在 x 轴上的双曲线

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将已知方程化为标准形式,根据项的系数符号进行判 y2 x2 断.原方程可化为 2 - =1. k -1 1+k ∵k>1,∴k2-1>0,1+k>0.∴已知方程表示的曲线为焦点在 y 轴上的双曲线.

解析

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2.2.1

x2 y2 3.双曲线 - =1 上一点 P 到点(5,0)的距离为 15,那么该 16 9 点到(-5,0)的距离为 A.7 B.23 C.5 或 25 D.7 或 23 ( D )

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解析 ∵|PF1|-|PF2|=± 8,

∴|PF2|=15± 8,即|PF2|=23 或|PF2|=7.

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2.2.1

4.已知动圆 M 与圆 C1:(x+4)2+y2=2 外切,与圆 C2:(x- 4)2+y2=2 内切,求动圆圆心的轨迹方程. 解 设动圆 M 的半径为 r,由于动圆与圆 C1 相外切,所以
|MC1|=r+ 2, 又动圆与圆 C2 相内切, 所以有|MC2|=r- 2, 于是|MC1|-|MC2|=(r+ 2)-(r- 2)=2 2,且 2 2<|C1C2|, 因此动圆圆心 M 的轨迹是以 C1、C2 为焦点的双曲线的右支. x2 y2 设其方程为 2- 2=1,则有 2a=2 2,即 a= 2, a b 又 c=4,∴b2=c2-a2=16-2=14, x2 y2 于是动圆圆心的轨迹方程为 - =1 (x>0). 2 14

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2.2.1

1.双曲线定义中||PF1|- |PF2||= 2a (2a<|F1F2|)不要漏了绝对 值符号,当 2a=|F1F2|时表示两条射线. 2.在双曲线的标准方程中,a>b 不一定成立.要注意与椭圆中 a,b,c 的区别.在椭圆中 a2=b2+c2,在双曲线中 c2=a2+b2. 3.用待定系数法求双曲线的标准方程时,要先判断焦点所在 的位置,设出标准方程后,由条件列出 a,b,c 的方程组. 如果焦点不确定要分类讨论,采用待定系数法求方程或用 形如 mx2+ny2=1 (mn<0)的形式求解.

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