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椭圆及其标准方程(三)


椭圆及其标准方程(三)
且 2a ? F1F2 ). 椭圆的标准方程: 2 2 2 2 x y x y ? 2 ? 1 或 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b b a

椭圆的定义: MF1 ? MF2 ? 2a (a 是常数

今天 , 我们来继续学习怎样求轨迹 方程的问题.
方法复习
1



求轨迹方程的一般步骤: 1.建 建立适当的坐标系;

设曲线上任一点的坐标, 及相关点的坐标; (限)找条件; 3.现(限)
2.设 4.代 5.化
解答挑战题

由条件(代)列方程;

化简方程.
2

证明所得方程(可以省略)为所求的曲线方程.

思维挑战题: 已知圆 B: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 16 及点 A(1, 0) ,C 为 圆 B 上任一点,求 AC 的垂直平分线与线段 BC 的交 2 2 点 P 的轨迹方程. x y

分析条件发现: AP ? BP ? 4

4

?

3

?1

∴点 P 的轨迹是以 A、 为 B 焦点的椭圆.
这种求轨迹方程的方法称为定义法.
课本例2 动画演示
3

课本例2、将圆 x 2 ? y 2 ? 4上的点的横坐标保持不 变,纵坐标变为原来的一半,求所得的曲线的方 程,并说明它是什么曲线.
解:设所得曲线上任一点坐标为P(x,y),圆 y 上的对应点的坐标P’(x’,y’), ? x' ? x 由题意可得:
? ' ?y ? 2y
o
P′

P

x

x ? y ?4 2 2 2 所以 x ? 4 y ? 4 即 x ? y 2 ? 1 4
因为

'2

'2

这就是变换后所得曲线的方程,它表示一个椭圆。

相关点分析法:即利用中间变量求曲线方程.
4

课本例 3: 如图,设点 A、B 的坐标分别为 (?5, 0), (5, 0) ,直线 4 AM,BM 相交于点 M,且它们的斜率之积是 ? , 9 求点 M 的轨迹方程.

分析:把题目条件直接用 x 、 y 表示出来, x 、 y 之间的 关系式就显示出来了.

这种求轨迹的方法──直译法
5

(补充)例 3 如图,线段 AB 的两个端点 A、B 分别在 点 x 轴、y 轴上滑动, AB ? 5 , M 是 AB 上的一点, 且 AM ? 2 ,求点 M 随线段 AB 运动而变化,求点 M 的轨迹方程.

y
?A
0

?M
Bx

6

本课小结: 求轨迹方程的方法有多种: 定义法、直译法、代入法、相关点坐标分析 法等. 具体求轨迹方程时,我们既应严格按一般步骤 去展开过程,又应注意到思考方法的灵活性的尝 试. 通过本课的学习我们还可以看到确定椭圆的 几何条件有多种,这些东西能让我们开拓眼见.

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