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一道直线和圆的参数方程问题解析


一道直线和圆的参数方程问题解析
以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,已知点 P 的直角坐标为 (1, ?5) ,点 M 的极坐 标为 (4,

?
2

) ,若直线 l 过点 P ,且倾斜角为

? ,圆 C 以 M 为圆心,4 为半径。 3

(1)求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程; (2)试判定直线 l 和圆 C 的位置关系。 解: (1)由点 M 的极坐标为 (4, 直线 l 的参数方程为 ?

?
2

) ,根据极坐标与直角坐标互化公式,可得 M 的直角坐标为 (0, 4) ,

? x ? 1 ? t cos ? , , ( t 为参数) 。 ? y ? ?5 ? t sin ?

圆 C 的直角坐标方程为 x2 ? ( y ? 4)2 ? 16 ,极坐标方程为 ? ? 8cos( (2)直线 l 的方程为 y ? 5 ? 3( x ?1) 即 3x ? y ? 5 ? 3 ? 0 , 圆 C 的直角坐标方程为 x2 ? ( y ? 4)2 ? 16 ,

?
2

? ? ) 即 ? ? 8sin ? 。

由圆心 (0, 4) 到直线 l 的距离 d ?

?4 ? 5 ? 3 2

?

9? 3 ? 4 可知,直线和圆相离。 2


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