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《几何画板》操作--探究点的轨迹-圆


用《几何画板》探究点的轨迹:圆
一、教学背景分析 (1)知识背景与学生学情分析 ①本课是在学生学习了“直线与方程” 、 “圆与方程”这两章课本知识后,基于对 曲线与方程有了较好的理解和掌握的前提下,教材安排的一节“信息技术应用”课 程. ②在当今时代,计算机已经走进了学生们的日常生活,走进了课堂,学生普 遍都具备了一定的计算机和信息技术知识, 而且他们对计算机和计算机软

件也有 较熟练的操作能力. (2)新教材特色分析 我们现行的教材,基本都是新课标颁布实施以后的新编版本,在这套《普通 高中课程标准实验教科书 数学》教材中,课本在形式上改进了前一套教材中的

相应版块,增设了新的“信息技术应用”材料和内容,便于让数学的教与学贴近生 活、 贴近现实, 增强学以致用、 强化体验等新课程理念, 顺应素质教育的要求. 我 今天选说的“用《几何画板》探究点的轨迹:圆” ,就是必修②第四章 139 页的“信 息技术应用”课题. (3)探究性学习的需求分析 ①时代在进步,科技在提高,学生的学习方式也顺应着教学改革不断完善, 向着多样化、自主性、探究式的方向转变.所以新教材有新创意,体现着时代特 征,是对传统教学的不断改进,值得我们响应与附和. ②利用计算机解决学科问题,特别是数学问题,早就是学生司空见惯、耳闻 目睹的事情, 面对陌生的数学问题或陌生的计算机软件,学生在心理上并没有恐

惧感,相反,在老师的推荐、带动和指导下,还容易激发他们的好奇心和求新欲 望,甚至激发他们热衷于对计算机软件的尝试和探究的潜能. 因此,课本设置这样的一节课,不仅是要增强学生掌握现代信息技术的意识, 也是在强化对新课程理念的导向,更是对我们教师自身学习与探究能力的挑战、 检验与鞭策.这样一节课,我喜欢! 二、教学目标的设计与实现 (1)知识定位:借助《几何画板》来探究有关圆的轨迹问题,从新的视角审 视轨迹问题的本质;认识圆的几何属性在探究过程中的完美运用. (2)能力定位:让学生从认识 ?了解 ?会用《几何画板》的一些基本功能, 提升学生信息技术的实践能力, 加强新时代背景下学生信息技术的基本功;培养 学生利用计算机软件来探究、展示或拓展数学知识,开阔视野,激发创新潜能. (3)情感导向:简单的操练平台,简单的操作软件,让学生体验“过把瘾” ; 把知识教给学生, 把能力传授给学生; 投其所好, 实施快乐教学, 实现愉悦学习; 师生共同提高,提升“数学”品味. 三、教法与学法 教法:演示法、指导法. 学法:实践法、探究法( “动手”学习,亲历体验) . 四、课程运作 (1) 《几何画板》的搜索、下载和安装,快乐与好奇的开始. (2)基本操作入门.在阅读课本对《几何画板》的介绍过程中,初步了解这 个软件的基本信息与功能. (3)实例演练:

1 0) Q(8, 0) ,点 M 与点 P 的距离是它与点 Q 的距离的 ,用 【例】已知点 P(2,, 5

《几何画板》探究点 M 的轨迹,并给出轨迹的方程. (1)点拨基本元素的操练: ①怎样让工作窗口显示直角坐标系.

0) Q(8, 0) . ②如何作出点 P(2,,

③用“点工具”任作一可移动的点 M ,用“线段直尺工具”将点 M 与点
P、Q 连成线段 MP、MQ .

④先后选中 MP、MQ ,并“度量”比值 MP : MQ ? ?

(2)动态演示与作图: ①用鼠标拖着点 M 移动,比值 MP : MQ 变化,当比值显示 0.2 时停止,那么 这时的点 M ,就是轨迹上的一点. (采用这个操作,尝试寻找符合条件的另外一 些点, 其间可用键盘上的方向键微调点 M 的位置, 使 MP : MQ ? 0.2 的精度更高)

到此,师生暂停操作,提出问题:这个寻找符点 M 的方法,只能找到符合

题意的有限个点,甚至还不是准确位置的点,只是通过这些初级操作熟悉了《几 何画板》最基础的几个简单功能. 那么,我们怎样才能用《几何画板》得到符合题意的所有点,并得到完整的 轨迹曲线呢?此时,我们还得借助我们掌握的求轨迹的方法(坐标法) ,先来算 出轨迹方程,再从方程的角度来分析点 M 的轨迹到底是哪类曲线(可能认识, 也可能不认识! )
7 25 7 0) 为圆心、 经过代数运算, 学生得出方程 ( x ? ) 2 ? y 2 ? , 表明轨迹是以 ( , 4 16 4 5 r ? 为半径的圆. 4

②用《几何画板》的“圆工具” ,作出所得的圆,要求圆心位置准确、半径准 确.

③将先前探索时所得的点 M 选中,又选中圆周,在菜单“编辑(E)”下点“合并 点到圆” .

④用鼠标拖动点 M 在圆周上运动,观察 MP : MQ 的值,可以看到它已经不 会随点 M 的位置改变而变化了,恒定为 MP : MQ ? 0.2 .由此,我们用《几何画 板》验证了我们求得的方程对应的曲线(圆)符合题意.

⑤设置动画,让计算机自动演示这个轨迹的形成.选中点 M ,点“编辑(E)” ,打开动画设置窗口,点“确定”按钮; ?“操作类按钮(B)” ?“动画(A)…”

在窗口左上角就出现了“动画点”按钮;用鼠标右键点击圆周,在弹出菜单中点“隐 藏圆(H)” ;选中点 M ,在“显示(D)”下点“追踪点(T)” .这几个动作设置 完后,点“动画点”按钮,即可展示点 M 的轨迹的形成.

这就是我们今天课程的第一个操作流程(初级操作) ,下面就要进入第二个 操作流程(中级操作) .
7 25 通过动画,我们已经看到,满足方程 ( x ? ) 2 ? y 2 ? 的所有点都满足题意 4 16 1 条件(与点 P 的距离是它与点 Q 的距离的 ) ;那么,反过来,满足题意条件的 5

所有点是否都在那个圆上呢?下面,我们让《几何画板》自己来作出轨迹,看是 不是与我们画出的圆一致? ① 以点 P 为圆心,适当长度为半径画出一个圆(把控制点停在 x 轴上,以便于 调整这个圆的大小) .

② 作圆 P 的任意一条半径 PK ,双击点 P ,然后选中点 K .在菜单“变换(T)”下 点击“缩放(D)…” ,打开“缩放”对话框;在对话框里输入缩放比例为 5 :1 ,点确 定,即得到 5 倍于 PK 长的线段 PR .

③ 采用作“平行四边形”的方法,将线段 PR “平移”到点 Q 处,得线段 QS ;以点 Q 为圆心、 QS ? PR ? 5PK 为半径画出圆 Q .

④ 若圆 圆P、圆Q 不相交,则用鼠标拖动 圆P 的控制点,使得 圆P、圆Q 相交, 点击两圆相交处,出现交点并命名为 M ,并连接 MP、MQ .

1 (提问学生思考:根据作图过程,判断这个交点 M 满足 MP ? MQ 吗?) 5

⑤ 选中两圆交点 M ,在“显示”下点“追踪交点”后,用鼠标连续拖动 圆P 的控制点,看到两圆的大小连续变化,点 M 的轨迹呈现.当我们反复多次拖 动控制点, 使得交点的轨迹变得足够密集, 就完美显示出了点 M 的轨迹曲线.

7 25 ⑥ 对比我们画出的圆 ( x ? ) 2 ? y 2 ? 和软件生成的轨迹, 发现它们是同一条曲 4 16

线,这就验证了所求的轨迹是一个圆,方程是 ( x ?1.75)2 ? y 2 ? 1.252 .

除此之外,我们还可以通过《几何画板》函数作图(圆)的功能,让软件自动 作出轨迹曲线(高级操作) . ① 在“数据(N)”菜单下打开“新建参数(W…)”窗口(或在鼠标右键菜单里点

“新建参数(W…)” ,或用快捷键 Shift+Ctrl+P) ,新建参数“ r ? 1 ” .

② 在“数据(N)”菜单下打开“新建函数(N…)”窗口(或在鼠标右键菜单里点 “新建函数(N…), ” 或用快捷键 Ctrl+F) ,新建以下四个函数: “ y ? r 2 ? ( x ? 2) 2 ”、
2 2 “ y ? ? r ? ( x ? 2) ”、

“ y ? (5r ) 2 ? ( x ? 8) 2 ”、

2 2 “ y ? ? (5r ) ? ( x ? 8) ” ,它们对应于四个半圆.

③ 选中四个函数表达式,在“绘制(G)”菜单下打开“绘制新函数(F)…” (或使用快 捷键 Ctrl+G) , 《几何画板》会自动画出这四个函数的曲线,即圆

( x ? 2)2 ? y 2 ? r 2 、 ( x ? 8)2 ? y 2 ? (5r )2 .

④ 选中“ r ? 1 ” ,用数字“+” 、 “-”键改变 r 的值,使 圆P、圆Q 相交,点击相交处,给 生成的交点命名为“ M ” .

⑤ 选中点 M ,在“显示(D)”菜单下点“追踪交点(T)…” (Ctrl+F) . ⑥ 用数字“+” 、 “-”键连续减小或增大参数 r 值,即可描出点 M 的轨迹曲线.
1 0) (3 0) ,且关于 x 轴对称的一个圆,方程 分析这个曲线,可以看出是经过点 ( ,、, 2

是 ( x ?1.75)2 ? y 2 ? 1.252 .

到此,用《几何画板》探索点的轨迹(圆)的演练过程完成,下面同学们独 立或相互合作,探索一下一个简单的轨迹作图:
0) 和点 A(10, 0) ,过点 O、A 分别作互相垂直的直线 l、l ' , 【实例】已知原点 O(0,

垂足为 M .试用几何画板探索点 M 的轨迹曲线,并写出轨迹方程. 几何关系分析:两条互相垂直的直线,斜率之积为 ?1 (互为负倒数) ,故可将一 条直线(如 l )的斜率 k 作为参数,建立动态的直线方程. 操作点拨引导: 方法一: ① 作一个 圆O ,在圆周上任取一点 P ,作直线 OP (即 l ) .

0) ,过 A 作 OP 的垂线 l ' ,垂足为“ M ” ② 作点 A(10, ,选中并设置“追踪交点” .

③ 对点 P 设置动画,同时隐藏 圆O .

④点“动画点”按钮,可自动生成点 M 的轨迹曲线.轨迹方程为

( x ? 5)2 ? y 2 ? 52 .

方法二: ① 新建参数 k ? 1 .

1 ② 新建函数 y ? kx ,新建函数 y ? ? ( x ? 10) ,并绘制函数图像(直线) . k

③ 命名交点(垂足)为“ M ” ,选中它并设置“追踪交点” .

④ 连续改变参数 k 的值,画出交点 M 的轨迹曲线;轨迹方程为

( x ? 5)2 ? y 2 ? 52 .


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