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含参不等式恒成立问题的处理策略


『   鋈   薹 l   2 0 1 3年第 21 期  含参不 等式恒成 立 问题 的处理策 略  张 翠 歌  ( 河南省襄城高 中,河南 襄城 4 6 1 7 0 0 )   求解参数 的取 值范 围是一类 常见题型 。含参恒 成立 问题是  f ( n + 1 )   刖   + 丽1 一   面  1 >。   中学数 学 中的一个 重要题型 。要 确定恒成 立不等式 中参数 的取  值范 围,须根据题 目的结构特 点,选择恰 当的方法 。 由于这类  ' 厂 ( n ) 是关于  (n∈N , n≥2) 的单调递增 函数 。   题 目涉及 的知识面广 、变量 多、综合性 强,需灵活应用 函数与  ,   ) ≥ , ( 2 ) =   7 要使不等式恒成立, 只须  > 音l o g   ( n — 1 ) + 专 解  不等式 知识 ,对能力 的要求较 高。同学们遇 到这类 问题 ,较难  找 到解题 的切入点和 突破 口。下面介 绍几种解 决这类 问题 的策  得1 <。 <   。 故实数a的取值范 围为( 1 ,   ) 。   略 和方 法 。   ‘ . . ‘ . . I ‘  … 1  r-   一 对于一些含参数 的不等式恒成立 问题 ,将 所求的参 数从恒  根据 题 目中所给 的含参不等式 的结构特征 ,构造适 当的函  成立不 等式 中分离 出来,使变量和 参数 分别位于不 等式 的左 、   数 ,并利用 函数 的性质来求参数 的取值 范围 。   右两边 ,然后通过研究变量的范围来确定参数 的取值范 围  1 .一次函数型  例 4 :不等式- 2 C O S 2 x+4 s i n  —k  +尼 < 0对一切 实数 x   给 定一 次函数 y = f ( X ) = a x + b ( a≠ 0 ) ,若 y = f ( X )在 [ m ,n ]   恒成立,求参数 k的取值 范围。   内恒有 f ( X ) > 0 ,则根据 函数的 图象 ( 直线 )可得上述结论等价  解 :所给不等式可化为 :( 2 s i n x + 1 )   <k   一 k + 3   于  i l )   i i)   。 、 构造 函数法  二、分离参数 法  亦 可 合 并 成  1 , ( 月 ) <0   §( 2 s i n x + 1 )   ~<k   - k + 3 而( 2 s i n x + 1 )   一 =9 . 。 . k   一k+3> 9   解 之 得 :k> 3 或k < 一2   同 理, 若 在[ m , n ] 内 恒 有f ( X ) < O ,   则 有 J - , ( m )   o   故  的取值范 围是( 一o O , 一 2) U ( 3 ,+O O ) 。   一 ① ② ③ ④ 般地分离变量后有下列几种情形:   f ( X )≥ g ( k ) § [ f ( X ) ]m i n≥ g ( k )   f ( X )> g ( k )   [ f ( X ) ]m i n> g ( k )   f ( X )≤ g ( k )§ [ f ( X ) ]m a x≤ g ( k )   f ( X )< g ( k )   [ f ( X ) ]m a x< g ( k )   本 质上是利用了一次函数的单调性和函数的最值。   三 、不等式解 集法  不等式 ( 木 )在 集合 中恒成立等价于集合

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