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2013年北京市中学生数学竞赛复赛(高一)


2 0 1 4年 第 2期  1 9   2 0 1 3年北京市中学生数学竞赛复赛 ( 高一 )   中图分类号 : G 4 2 4 . 7 9   文献标识码 : A   文章编号 :1 0 0 5— 6 4 1 6 ( 2 0 1 4 ) 0 2— 0 01 9- 0 3   一 、 填空题( 每小题 8分 , 共4 O分 )   +  4 — 5 . 已知实数

口 、 b 、 C 满足  0+b+C =2 , a b+6 c +c 口= 0 , 且 a b c = 一1 .   1 . 方 程  4 +  2  v 。一2  z  一2   2   :2 4   则以 实 数 口 、 b 、 c的 数 值 为 元 素 的 集 合 是  二、 ( 1 5分 ) 已知二次 方程  明: b  =d   .   的全部整数解 (  , Y ,   ) 的集合是— — .   2 . 如图 1 , 已知菱形 A B C D 的顶点 D、 C在 直  线 Y=  上 , 且顶点 、 日在 曲线 Y =   上, D A平行  于 Y轴. 贝 0   S 菱 形 ^ B ∞=   +b x +c = 0的  根是二次方程  +   + 口 = 0的根 的 2   0 1 3倍. 证  三、 ( 1 5分 ) ( 1 ) 一个正整 数如能表 示为若干  个正整数平 方 的算 术平 均值 , 则 称此 数为 “ 好整  数” , 如  4:   , 2   0 0 7:   堕竿 堕 ,   ‘ +   ,   2   0 0 8: 堡   j   / / 0     一   则4 、 2   0 0 7 、 2   0 0 8 均为好整数. 记好整数的集合为  , 正整数 的集合为 z+ , 证明: M= Z+ .   图 1   3 . 函数f : N — N, 使对一切 的 n∈ N, 有  n ) ) +  n )= 2 n + 3 , 且  0 ) =1 .   贝   =一 ( 2 ) 记 a= 1  + 2   +… + 2   0 1 3   . 证明: 0可写  成2   0 1 2个不 同的正整数 的平方和.   ①  .   四、 ( 1 5分 ) 在△ A B C中 , 已知  B A C: 4 0 。 ,   A B C= 6 0 。 , 若 D、 E分别为边 A C 、 A B上的点 , 且  使  C B D= 4 0 。 ,   B C E: 7 0 。 , F是 B D与 C E的  交点 , 联结 A F . 证明: A F上 B C .   4 . 如图 2 , 在△ A B C中, 已知  B =6 0 。 ,   A C B= 7 5 。 , D是边 B C上 的动 点 , 以A D为 直径  作o 0分 别 与 A B 、 A C交 于 点 E 、   若弦 E F长  度的最小值为 2 , 则A B:   五、 ( 1 5 分) 高一数学竞赛共设有 3 5 个考 场 ,   甲、 乙、 丙三所学校的领 队各 自将本校学生人数相  同的考场归为 一组. 经统计 , 甲校共 有 i 组, 各 组  的考场数分别为 0 。 , 口 : , …, 0   ; 乙校共有 组 , 各组  的考场数分别为 b   , b   , …, 6   ; 丙校共有 k 组, 各组  的考场数分别为 C l , c 2 , …, c   . 已知 口 1 , 口 2 , …,

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