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高中数学选修4-5第一讲 不等式2


绝对值不等式的解法

, | 我们知道 对于不等式 x |< ,由绝对值的 , 点距离 几何意义它的解集是数轴上到原 , 小于 的点的集合即(? , ) ; 对于不等式 | x |> ,由绝对值的几何意义它的解集是 , 数轴上到原点距离大于 的点的集合 即 , (? ∞, ) ∪ ( ,+∞) .

一般地 , 如果 a &

gt; , 那么从绝对值的几何意 义看, | x |< a表示数轴上到原点距离 小于 a的点的集合 , | x |> a表示到原点距离大于 a的点的集合 ,因而 | x |< a ? ? a < x < a; (?) | x |> a ? x < ? a或x > a.
因此 , 不等式 | x |< a 的解集是 (? a, a ) ; 不等式 | x | > a 的解集是 (? ∞ ,? a ) ∪ (a,+∞ ).在数轴上表示如 下 (图 . ? ) :
?a
O

a

x

| x |< a
图 . ?

?a

| x |> a

O

a

x

( , 上述绝对值不等式?), 是解其他绝对值不等式 的基础 即其他绝对值不等式的 解一般可以通过转化为 上述不 , 等式而得到.例如 a 是一个正实数, 对于绝对值不等式 | x ? x |< a ( 或| x ? x |> a ) , 我们有
| x ? x |< a ? ?a < x ? x < a ? x ? a < x < x + a; | x ? x |> a ? x ? x < ?a, 或x ? x > a ?

由于绝对值| x ? x | 的几何意义是数轴上坐 x 标为 x , , 的点与坐标为 的点的距离所以以上不等式的解 , 如图 . ? 所示. 可以在数轴上表示出来
x ?a
x

x < x ? a, 或x > x + a.

x +a

x

x ?a

x

x +a x

| x ? x |< a

图 . ?

| x ? x |> a

( , 利用上述? 利用上述?)式及绝对值的几何意义
的不等式 . 可以解一些含有绝对值

( ) | ax + b |≤ c和 | ax + b |≥ c
型不等式的解法



解不等式| x ? |≤ .

解 由| x ? |≤ , 得? ≤ x ? ≤ , 解得 ? ? ? ≤ x ≤ ,因此, 原不等式的解集为?x ? ≤ x ≤ ?. ? ? 从几何上看, 如果将| x ? |≤ 两边除以 , 得
x? ≤ ,它的解集是数轴上到坐标为 的点的距

离不大于 的点的集 合, 如图 . ? 所示 .
1 ? 3
O

1 3

1

x

图 . ?



| 解不式 ? x |≥ .

解 由 ? x |≥ 得| x ? |≥ , |

所以 x ? ≤ ? , 或 x ? ≥ ,
从而x ≤ ? 或 x ≥ ,
所以原不等式的解集为 ? ? ?x x ≤ ? 或 x ≥ ?. ? ?

探究 你能给出上述绝对值不 等式的 ? 解的几何解释吗

( ) | x ? a | + | x ? b |≥ c和 | x ? a | + | x ? b |≤ c 型不
等式的解法 例 解不等式| x ? | + | x + |≥ . 分析 这个绝对值不等式 A1 A B B1 比较复杂我们从它的几何 - 3 - 2 - 1 O 1 2 x , .如图 . ? , 设 意义来分析 图 . ? 数轴上与 , 对应的点分 ? A 别是A, B,那么不等式的解就是数 轴上到 , B两 .所以 , 点的距离之和不小于的点所对应的实数 我们只要在数轴上确定 出具有上述特点的点的 , . 位置 就可以得出不等式的解

解法一 如图 . ? , 设数 A1 A B B1 x O 1 2 -3 -2 -1 轴上与 ? , 对应的点分别 图 . ? 为A, B那么 A, B两点的距离 是 ,因此区间 [? , ]上的数都不是原不等式的解. 为了求出不等式的解, 关键要在数轴上找出与点 A, B 的距离之和为 的点.将点 A 向左移动 个单 位到点 A , 这时有 | A A | + | A B |= ; 同理, 将点 B 向右移动 个单位到点 B , 这时也有 | B A | + | B B |= ;

从数轴上可以看到, 点A 与点B 之间的任何点到 点A, B的距离之和都小于 ; 点A 的左边或点B 的

右边的任何点到A, B的距 A1 A B B1 x O 1 2 离之和都大于 . -3 -2 -1 所以, 原不等式的解集是 图 . ? (? ∞,? ] ∪ [ ,+∞ ) . , 分析上述 解法 可以发现, 解| x ? | + | x + | ≥ 时, 数轴上与? , 对应的点A , B 把实数集分成 ( 了三个区间? ∞,? ] , (? , ) , [ ,+∞) , 先分别在这 三个区间上讨论不等式 解的情况 , 然后把它 的 们综合在一起就得到不 等式的解集. , , , 事实上以点A, B为分界点将数轴分为三个区间 , 在这三个区间上绝对值不等式可以转化 为不含 . . 绝对值的不等式 因此我们有如下解法

解法二 当x ≤ ? 时, 原不等式可以化为 ? ( x ? ) ? ( x + ) ≥ , 解得x ≤ ? , x≤? , 即不等式组 | x ? | + | x + | ≥
的解集是 (? ∞,?

].

当 ? < x < 时,原不等式可以化为 , 原不等式可以化为 ? ( x ? ) + ( x + ) ≥ , 即 ≥ , 矛盾.
? < x≤ , 所以不等式组 | x ? | + | x + |≥

的解集为? .

当x ≥ 时, 原不等式可以化为 ( x ? ) + ( x + ) ≥ , 解得x ≥ , x≥ , 即不等式组 | x ? | + | x + |≥ 的解集是 [ ,+∞ ). +∞ 综上所述, 原不等到的解集是 (? ∞,? ] ∪ [ ,+∞ ).
时我们知道 由函数y = f ( x)的 , 在学习函数知识 , 零点与方程f ( x) = 的根的关系 可以利用函数 ( , 图象求方程的近似)根.类似地 我们也可以从函 , . 数的观点利用函数图象求不等式 的解集

y

解法三 将原不等式转化 为| x ? | + | x + | ? ≥ . 构造函数 y =| x ? | + | x + | ? .即 ? x? ,x ≤ ? ; y= ? , ? < x< ; x? , x≥ .
?3

3
2 1

?2 ?1

O
-1
-2

1

2

x

图 . ?

作出函数的图象(图 . ? ) ,它是分段线性函数, 函数的零点是 ? , .从图象可知,当x ∈ (? ∞,? ] ∪ [ ,+∞ )时, 有y ≥ , 即 | x ? | + | x + | ? ≥ .所以原 不等式的解集是(? ∞,? ] ∪ [ ,+∞ )K.

, 思考 例 中给出了三种解绝对值 不等式的方法 ? 你能概括一下它们各自 的特点吗

从例 的解题过程可以看到上述三种方法各 , . 有特点 , 解法一利用了绝对值不 等式的几何意义体现 .从中可以发现理解绝对值的 , 了数形结合思想 , 几何意义 给予绝对值不等式以准 确的几何解 释是解题关键 . | , 解法二利用 x ? |= ,| x + |= 的解 将数轴分 , 成三个区间然后在这三个区间上将 原不等式 , 转化为不含绝对值的不 等式而解之 体现了分

.从中可以发现以绝对值的零点 , " " 类讨论思想 , 为分界点将数轴分为几个区间的 目的是为了 , 确定各个绝对值中的多 项式的符号进而去掉 . 绝对值符号
解法三 通过 构造函数 利用函数图象体现了 , , .从中可以发现正确求出函 , 函数和方程的思想 数的零点并画出函数图 (有时需要考察函数 象 ) . 的增减性 是解题的关键
| 探究 | x ? a | + | x ? b |≤ c型不等式的解法与x ? a | + | x ? b |≥ c型不等式的解法完全类 , 你能用一个具体 似 ? 例子说明吗


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