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漫谈高中数学之美


漫谈高中数学之美 摘要:众所周知,数学在我们的基础教育中占有很大的份量, 是我们的文化中极为重要的组成部分。数学美深深地感染着人们的 心灵,激起人们对她的欣赏。下面从几个方面来欣赏数学美。 关键词:数学 赏析 兴趣 一、奇异、突变美 全世界有很大影响的两份杂志曾联合邀请全世界的数学家们评选 “近 50 年的最佳数学问题” ,其中有一道相当简单的问题:有哪些 分数不合理地把 b

约去得到,结果却是对的? 经过一种简单计算,可以找到四个分数: 。这个问 题涉及到“运算谬误,结果正确”的歪打正着,在给人惊喜之余, 不也展现一种奇异美吗。 人造卫星、行星、彗星等由于运动的速度的不同,它们的轨道可 能是椭圆、双曲线或抛物线,这几种曲线的定义如下: 到定点距离与它到定直线的距离之比是常数e的点的轨迹, 当e<1时,形成的是椭圆. 当e>1时,形成的是双曲线. 当e=1时,形成的是抛物线. 常数e由 0.999 变为 1、变为 0.001, 相差很小, 形成的却是形状、 性质完全不同的曲线。而这几种曲线又完全可看作不同的平面截圆 锥面所得到的截线。 二、和谐美 数论大师赛尔伯格曾经说,他喜欢数学的一个动机是以下的公 式: 这个公式实在美极了, , 奇数 1、 5、 3、 ?这样的组合可以给出 , 对于一个数学家来说,此公式正如一幅美丽图画或风景。 欧拉公式:曾获得“最美的数学定理”称号。欧拉建立了在他那 个时代,数学中最重要的几个常数之间的绝妙的有趣的联系,包容 得如此协调、有序。与欧拉公式有关的棣美弗-欧拉公式是这个公 式把人们以为没有什么共同性的两大类函数――三角函数与指数 函数紧密地结合起来了。对他们的结合,人们始则惊诧,继而赞 叹――确是“天作之合” ,因为,由他们的结合能派生出许多美的, 有用的结论来。 比如,由公式(1)得 由这两个公式,可把三角函数的定义域扩 展到复数域上去,即考虑“弧度”为复数的“角” 。新定义的余弦 函数与我们早已熟悉的通常的余弦函数和谐一致。 和谐的美,在数学中多得不可胜数。 黄金分割比在许多艺术作品中、在建筑设计中都有广泛的应用。 达·芬奇称黄金分割比为“神圣比例” .他认为“美感完全建立在 各部分之间神圣的比例关系上” 。与有关的问题还有许多, “黄金分 割”“神圣比例”的美称,她受之无愧。 、 三、简洁美 爱因期坦说过: “美,本质上终究是简单性。 ”他还认为,只有借 助数学,才能达到简单性的美学准则。物理学家爱因期坦的这种美 学理论,在数学界,也被多数人所认同。朴素,简单,是其外在形 式。只有既朴实清秀,又底蕴深厚,才称得上至美。 欧拉给出的公式:v-e+f=2,堪称“简单美”的典范。世间 的多面体有多少?没有人能说清楚。但它们的顶点数v、棱数e、 面数f,都必须服从欧拉给出的公式,一个如此简单的公式,概括 了无数种多面体的共同特性,能不令人惊叹不已?由她还可派生出 许多同样美妙的东西。如:平面图的点数v、边数e、区域数f满 足 v-e+f=2,这个公式成了近代数学两个重要分支——拓扑 学与图论的基本公式。由这个公式可以得到许多深刻的结论,对拓 扑学与图论的发展起了很大的作用。 在数学中,像欧拉公式这样形式简洁、内容深刻、作用很大的定 理还有许多。比如: 圆的周长公式:c=2π r 勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方。 平均不等式:对任何正数 正弦定理:δ abc的外接圆半径r,则 数学的这种简洁美,用几个定理是不足以说清的,数学历史中每 一次进步都使已有的定理更简洁。 正如伟大的希而伯特曾

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