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【红对勾】2015版高中数学 第二章 解三角形单元质量评估(一)新人教版必修5


【红对勾】2015 版高中数学 第二章 解三角形单元质量评估(一) 新人教版必修 5
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。 满分 150 分, 考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合要求的) π 1. 在△ABC 中, 角 A、

B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, A= , a= 3 , b=1, 则 c 等于( 3 A.1 C. 3-1 解析:由正弦定理,得 sinB= 2. 答案:B 2.符合下列条件的三角形有且只有一个的是( A.a=1,b=2,c=3 B.a=1,b= 2,A=30° C.a=1,b=2,A=100° D.b=c=1,B=45° 解析:A:a+b=3=c,不能构成三角形;B:bsinA<a<b,故有两解;C:a<b,故 A 应 为锐角,而已知 A=100°,故不能构成三角形;D:b=c=1,故△ABC 为等腰三角形,∴C =B=45°,∴A=90°,故只有一解. 答案:D 3.在△ABC 中,若 B=120°,则 a +ac+c -b 的值( A.大于 0 C.等于 0 解析:根据余弦定理得 cos120°=
2 2 2 2 2 2 2 2

)

B.2 D. 3

bsinA 1 π π asinC = ,又 a>b,故 B= ,∴C= ,故 c= = a 2 6 2 sinA

)

)

B.小于 0 D.不确定

a2+c2-b2 1 =- , 2ac 2
2

即 a +c -b =-ac.故 a +ac+c -b =0. 答案:C 4.若△ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a,b,c 满足(a+b) -c =4,且 C=60°,则 ab 的值为( A. 4 3 ) B.8-4 3
2 2

1

C.1
2 2 2 2 2

D.

2 3

解析:由(a+b) -c =4 得(a +b -c )+2ab=4.① ∵a +b -c =2abcosC, ∴方程①可化为 2ab(1+cosC)=4. 因此,ab= 2 . 1+cosC
2 2 2

4 又∵C=60°,∴ab= . 3 答案:A 5.设 a,b,c 为△ABC 的三边,且关于 x 的方程(a +bc)x +2 b +c x+1=0 有两个 相等的实数根,则 A 的度数是( A.120° C.60° ) B.90° D.30°
2 2 2 2 2 2 2

解析:∵由题意可知题中方程的判别式 Δ =4(b +c )-4(a +bc)=0, 1 2 2 2 ∴b +c -a =bc,cosA= . 2 又∵0°<A<180°,∴A=60°. 答案:C 6. 在△ABC 中, a、 b、 c 分别为 A、 B、 C 的对应边, C=60°, 则 A. 1 2 B. 2 2

b a + 的值为( a+c b+c

)

C.1

D. 2
2 2 2

解析:由 C=60°,利用余弦定理找出三边 a、b、c 的关系,即 c =a +b -2abcos60° =a +b -ab,∴a +b =ab+c ,∴ =
2 2 2 2 2

b?b+c?+a?a+c? b2+bc+a2+ac = a+c b+c ?a+c??b+c? ab+ac+bc+c2 b


a



a2+b2+bc+ac =1,故选 C. a2+b2+ac+bc
答案:C 7.海上有两个小岛 A、B 相距 10 海里,从 A 岛望 B 岛和 C 岛成 60°视角,从 B 岛望 C

岛和 A 岛成 75°视角,则 B、C 间的距离是( A.5 海里 C.10 海里

) B.5 6海里 D.10 6海里

解析: C 处望 A、 B 视角为 180°-60°-75°=45°, 则∠ACB=45°, = , sin60° sin45°

BC

AB

2

10sin60° ∴BC= =5 6(海里). sin45° 答案:B 8.在锐角三角形 ABC 中,已知 A=2C,则 的范围是( A.(0,2) C.( 2, 3)

a c

)

B.( 2,2) D.( 3,2)

a sinA sin2C 解析: = = =2cosC,又 A+B+C=π ,A=2C, c sinC sinC
∴ π π a <C< ,故 2< < 3. 6 4 c

答案:C 9.在△ABC 中,若(a-acosB)sinB=(b-ccosC)sinA,则这个三角形是( A.底角不等于 45°的等腰三角形 B.锐角不等于 45°的直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 解析: 由正弦定理, 得 asinB=bsinA, 故原式化为 asinBcosB=csinAcosC, sinAsinBcosB =sinCsinAcosC. π ∴sin2B=sin2C.故 B=C 或 2B=π -2C,即 B+C= . 2 答案:D 10. 某人站在山顶看见一列车队向山脚驶来, 他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于 他看见第二辆车与第三辆车的俯角差,则第一辆车和第二辆车之间的距离 d1 与第二辆车和 第三辆车之间的距离 d2 之间的关系为( A.d1>d2 C.d1<d2 ) B.d1=d2 D.不能确定大小 )

3

解析:设山顶为点 P,山高为 PD,第一、二、三辆车分别为 A,B,C,俯角差为 α ,作 出图形如图, 由题知∠CPB=∠BPA=α , 由正弦定理, 得 即 PBsinα =d2sin∠PCB=d1sin∠PAB, 又∵sin∠PAB>sin∠PCB,∴d1<d2. 答案:C 第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请把答案填写在题中横线上) 11.在相距 2 km 的 A、B 两点处测量目标点 C.若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则 A、C 两点之间的距离是________km. 解析: = , = , sinα sin∠PCB sinα sin∠PAB

d2

PB

d1

PB

如图所示,由题意易知∠C=45°,

AC 2 由正弦定理得 = , sin60° sin45°
从而 AC= 2 2 2 · 3 = 6(km). 2

答案: 6 12.在△ABC 中,B=45°,C=60°,a=2( 3+1),则 S△ABC=________. 解析:∵A=180°-45°-60°=75°, = , sinA sinB 2 2? 3+1?× 2 asinB ∵b= = =4. sinA 6+ 2 4

a

b

4

1 1 3 ∴S△ABC= absinC= ×2( 3+1)×4× =6+2 3. 2 2 2 答案:6+2 3 7 8 13 13.已知在△ABC 中, = = ,则 C 的度数为________. sinA sinB sinC

a b c 7 8 13 解析:由 = = 及 = = ,得 a∶b∶c=7∶8∶13. sinA sinB sinC sinA sinB sinC
设 a=7k,b=8k,c=13k(k>0), ?7k? +?8k? -?13k? 1 则有 cosC= =- . 2×7k×8k 2 又∵0°<C<180°,∴C=120°. 答案:120° 14.在△ABC 中,已知 b=asinC 且 c=asin(90°-B),则△ABC 的形状为________.
2 2 2

a2+c2-b2 a2+c2-b2 解析:∵c=asin(90°-B)=acosB=a· = , 2ac 2c
∴a +c -b =2c ? a =c +b ? A 是直角. ∵A 是直角,∴sinA=1. 又∵ = , sinA sinC ∴a= ,即 c=asinC. sinC 由已知条件 b=asinC,可得 b=c. 综上可知,△ABC 是等腰直角三角形. 答案:等腰直角三角形
2 2 2 2 2 2 2

a

c

c

15.如图,要在山坡上 A、B 两处测量与地面垂直的铁塔 CD 的高,由 A、B 两处测得塔 顶 C 的仰角分别为 60°和 45°,AB 长为 40 m,斜坡与水平面成 30°角,则铁塔 CD 的高为 ________m.

5

解析: 由题意得∠ABC=45°-30°=15°, ∠DAC=60°-30°=30°, ∴∠BCA=30° -15°=15°,∴AC=AB=40 m.又∠BDC=30°+90°=120°,∴在△ACD 中, = sin30°

CD

AC 40 ,∴CD= ×40= 3(m). sin120° 3 3 2
40 3 答案: 3 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(本小题 12 分)解答下列各题: (1)在△ABC 中,已知 C=45°,A=60°,b=2,求此三角形最小边的长及 a 与 B 的值; (2)在△ABC 中,已知 A=30°,B=120°,b=5,求 C 及 a 与 c 的值. 解:(1)∵A=60°,C=45°, ∴B=180°-(A+C)=75°. ∴C<A<B.∴c<a<b,即 c 边最小. 由正弦定理可得 a=

1 2

bsinA 2sin60° = =3 2- 6, sinB sin75°

bsinC 2sin45° c= = =2 3-2. sinB sin75°
综上可知,最小边 c 的长为 2 3-2,a=3 2- 6,B=75°. (2)∵A=30°,B=120°, ∴C=180°-(A+B)=30°. ∴A=C.∴a=c. 由正弦定理可得 a=

bsinA 5sin30° 5 3 = = . sinB sin120° 3
5 3 . 3

综上可知,C=30°,a=c=

17.(本小题 12 分)已知 a,b,c 是△ABC 中 A,B,C 的对边,S 是△ABC 的面积,若 a =4,b=5,S=5 3,求 c 的长度. 1 1 解:由 S= absinC,得 5 3= ×4×5·sinC, 2 2 即 sinC= 3 . 2

∵C 为△ABC 的内角,∴C=60°或 C=120°. 1 1 ∴cosC= 或 cosC=- . 2 2
6

∵由 c =a +b -2abcosC=4 +5 -2×4×5cosC, ∴c= 21或 c= 61. 18. (本小题 12 分)在梯形 ABCD 中, AD∥BC, AB=5, AC=9, ∠BCA=30°, ∠ADB=45°, 求 BD 的长. 解:

2

2

2

2

2

如图,在△ABC 中,AB=5,AC=9,∠BCA=30°, ∴ = , sin∠BCA sin∠ABC

AB

AC

9sin30° 9 ∴sin∠ABC= = . 5 10 ∵AD∥BC,∴∠BAD=180°-∠ABC, 9 ∴sin∠BAD=sin∠ABC= . 10 9 同理在△ABD 中,AB=5,sin∠BAD= ,∠ADB=45°, 10

AB

sin∠ADB



BD

sin∠BAD

,BD=

AB·sin∠BAD 9 2 ,解得 BD= . sin∠ADB 2

19.(本小题 12 分)如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有 一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西 30°,相距

7

10 海里 C 处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援(角度精确到 1°)?

解:根据方位角的概念,可知∠CAB=90°+30°=120°. 在△ABC 中,由余弦定理,得

BC2=202+102-2×20×10cos120°=700.
于是,BC=10 7海里. sin∠ACB sin120° 又在△ABC 中,根据正弦定理,有 = , 20 10 7 ∴sin∠ACB= 3 . 7

由题意,∠ACB<90°, ∴由计算器可得∠ACB=41°,而 41°+30°=71°, ∴乙船应朝北偏东 71°方向沿直线前往 B 处救援. 20. (本小题 13 分)在锐角△ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 所对的边, 且 3a=2csinA. (1)确定角 C 的大小; 3 3 (2)若 c= 7,且△ABC 的面积为 ,求 a+b 的值. 2

a 2sinA sinA 3 解:(1)由 3a=2csinA 及正弦定理得, = = .∵sinA≠0,∴sinC= . c sinC 2 3
π ∵△ABC 是锐角三角形,∴C= . 3 π 1 π 3 3 (2)∵c= 7,C= ,由面积公式得 absin = ,即 ab=6.① 3 2 3 2 π 2 2 2 2 由余弦定理得 a +b -2abcos =7,即 a +b -ab=7, 3 ∴(a+b) =7+3ab.② 由①②得(a+b) =25,故 a+b=5. 21.(本小题 14 分)已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,asinA+csinC - 2asinC=bsinB. (1)求 B; (2)若 A=75°,b=2,求 a,c. 解:(1)由题意结合正弦定理得 a +c - 2ac=b , 由余弦定理得 b =a +c -2accosB,
2 2 2 2 2 2 2 2

8

故 cosB=

2 . 2

又 B 为三角形的内角,因此 B=45°. (2)由于 sinA=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°= 故 a= 2+ 6 . 4

bsinA 2+ 6 = =1+ 3, sinB 2

bsinC sin60° c= =2× = 6. sinB sin45°

9


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