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二次函数解析式图象和性质专题


二次函数知识点
一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如 y ? ax2 ? bx ? c ( a , , 是常数, a ? 0 )的函数,叫做 b c
c 二次函数。 这里需要强调: 和一元二次方程类似, 二次项系数 a ? 0 , b , 可以为零. 而 二

次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数 y ? ax2 ?

bx ? c 的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量 x 的二次式, x 的最高次数是 2. ⑵ a , , 是常数, a 是二次项系数, b 是一次项系数, c 是常数项. b c 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式: y ? ax 2 的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。

a 的符号
a?0

开口方向 向上

顶点坐标

对称轴

性质

? 0 ,0 ?
? 0 ,0 ?

y轴

x ? 0 时, y 随 x 的增大而增大; x ? 0 时, y 随 x 的增大而减小; x ? 0 时, y 有最小值 0 .
x ? 0 时, y 随 x 的增大而减小; x ? 0 时, y 随 x 的增大而增大; x ? 0 时, y 有最大值 0 .

a?0

向下

y轴

2. y ? ax2 ? c 的性质: 上加下减。

a 的符号
a?0

开口方向 向上

顶点坐标

对称轴

性质

? 0 ,c ? ? 0 ,c ?

y轴

x ? 0 时, y 随 x 的增大而增大; x ? 0 时, y 随 x 的增大而减小; x ? 0 时, y 有最小值 c .

a?0

向下

y轴

x ? 0 时, y 随 x 的增大而减小; x ? 0 时, y 随 x 的增大而增大; x ? 0 时, y 有最大值 c .

3. y ? a ? x ? h ? 的性质:
2

左加右减。

a 的符号
a?0
a?0

开口方向 向上

顶点坐标

对称轴 X=h

性质

? h,0 ?

x ? h 时, y 随 x 的增大而增大; x ? h 时, y 随 x 的增大而减小; x ? h 时, y 有最小值 0 . x ? h 时, y 随 x 的增大而减小; x ? h 时, y 随 x 的增大而增大; x ? h 时, y 有最大值 0 .
1

向下

? h,0 ?

X=h

4. y ? a ? x ? h ? ? k 的性质:
2

a 的符号
a?0

开口方向 向上

顶点坐标

对称轴 X=h

性质

? h ,k ?

x ? h 时, y 随 x 的增大而增大; x ? h 时, y 随 x 的增大而减小; x ? h 时, y 有最小值 k . x ? h 时, y 随 x 的增大而减小; x ? h 时, y 随 x 的增大而增大; x ? h 时, y 有最大值 k .

a?0

向下

? h ,k ?

X=h

三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤:
k 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y ? a ? x ? h ? ? k ,确定其顶点坐标 ? h , ? ;
2

k ⑵ 保持抛物线 y ? ax 2 的形状不变,将其顶点平移到 ? h , ? 处,具体平移方法如下:
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位

y=ax2

y=ax 2+k

向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位

向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】 平移|k|个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位

向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位

y=a(x-h)2

y=a(x-h)2+k

2. 平移规律 在原有函数的基础上“ h 值正右移,负左移; k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减” . 方法二: ⑴ y ? ax ? bx ? c 沿 y 轴平移:向上(下)平移 m 个单位, y ? ax ? bx ? c 变成
2 2

y ? ax 2 ? bx ? c ? m (或 y ? ax 2 ? bx ? c ? m )
⑵ y ? ax ? bx ? c 沿轴平移:向左(右)平移 m 个单位, y ? ax ? bx ? c 变成
2 2

y ? a( x ? m) 2 ? b( x ? m) ? c (或 y ? a( x ? m) 2 ? b( x ? m) ? c )
四、二次函数 y ? a ? x ? h ? ? k 与 y ? ax2 ? bx ? c 的比较
2

从解析式上看, y ? a ? x ? h ? ? k 与 y ? ax2 ? bx ? c 是两种不同的表达形式,后者通过配
2

b ? 4ac ? b 2 b 4ac ? b2 ? 方可以得到前者,即 y ? a ? x ? ? ? ,其中 h ? ? , ? . k 2a ? 4a 2a 4a ?
2

2

五、二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 化为顶点式 y ? a( x ? h)2 ? k ,确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为:顶点、与 y 轴的交点 ? 0 , ? 、以及 ? 0 , ? 关于对称轴对称的点 ? 2h , ? 、 c c c 与 x 轴的交点 ? x1 , ? , ? x2 , ? (若与 x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 0 0 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与 x 轴的交点,与 y 轴的交点. 六、二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的性质 1. 当 a ? 0 时,抛物线开口向上,对称轴为 x ? ?
? b 4ac ? b2 ? b ,顶点坐标为 ? ? , ?. 4a ? 2a ? 2a

当x??

b b b 时, y 随 x 的增大而减小; x ? ? 时, y 随 x 的增大而增大;当 x ? ? 当 2a 2a 2a

时, y 有最小值

4ac ? b 2 . 4a
? b 4ac ? b2 ? b ,顶点坐标为 ? ? , ? .当 4a ? 2a ? 2a

2. 当 a ? 0 时,抛物线开口向下,对称轴为 x ? ?

x??

b b b 时, y 随 x 的增大而增大;当 x ? ? 时, y 随 x 的增大而减小;当 x ? ? 时, y 2a 2a 2a

4ac ? b 2 . 4a 七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式: y ? ax 2 ? bx ? c ( a , b , c 为常数, a ? 0 ) ;

有最大值

2. 顶点式: y ? a( x ? h)2 ? k ( a , h , k 为常数, a ? 0 ) ; 3. 两根式: y ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ( a ? 0 , x1 , x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标). 注意: 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式, 但并非所有的二次函数都可以写 2 成交点式,只有抛物线与 x 轴有交点,即 b ? 4ac ? 0 时,抛物线的解析式才可以用交 点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 a 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 中, a 作为二次项系数,显然 a ? 0 . ⑴ 当 a ? 0 时,抛物线开口向上, a 的值越大,开口越小,反之 a 的值越小,开口越 大; ⑵ 当 a ? 0 时,抛物线开口向下, a 的值越小,开口越小,反之 a 的值越大,开口越 大. 总结起来, a 决定了抛物线开口的大小和方向, a 的正负决定开口方向, a 的大小决 定开口的大小. 2. 一次项系数 b 在二次项系数 a 确定的前提下, b 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在 a ? 0 的前提下,
3

当 b ? 0 时, ? 当 b ? 0 时, ? 当 b ? 0 时, ?

b ? 0 ,即抛物线的对称轴在 y 轴左侧; 2a b ? 0 ,即抛物线的对称轴就是 y 轴; 2a b ? 0 ,即抛物线对称轴在 y 轴的右侧. 2a b ? 0 ,即抛物线的对称轴在 y 轴右侧; 2a b ? 0 ,即抛物线的对称轴就是 y 轴; 2a b ? 0 ,即抛物线对称轴在 y 轴的左侧. 2a

⑵ 在 a ? 0 的前提下,结论刚好与上述相反,即 当 b ? 0 时, ? 当 b ? 0 时, ? 当 b ? 0 时, ?

总结起来,在 a 确定的前提下, b 决定了抛物线对称轴的位置.

ab 的符号的判定:对称轴 x ? ?

b 在 y 轴左边则 ab ? 0 ,在 y 轴的右侧则 ab ? 0 , 2a

概括的说就是“左同右异” 总结: 3. 常数项 c ⑴ 当 c ? 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当 c ? 0 时,抛物线与 y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0 ; ⑶ 当 c ? 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负. 总结起来, c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置. 总之,只要 a , , 都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的. b c 二次函数解析式的确定: 根据已知条件确定二次函数解析式, 通常利用待定系数法. 用待定系数法求二次函数的 解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情 况: 1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式; 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式; 3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式; 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式. 九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于 x 轴对称
y ? a 2 ? b x 关于 x 轴对称后,得到的解析式是 y ? ?ax 2 ? bx ? c ; x ? c
y ? a ? x ? h ? ? k 关于 x 轴对称后,得到的解析式是 y ? ?a ? x ? h ? ? k ;
2 2

2. 关于 y 轴对称
y ? a 2 ? b x 关于 y 轴对称后,得到的解析式是 y ? ax2 ? bx ? c ; x ? c
y ? a ? x ? h ? ? k 关于 y 轴对称后,得到的解析式是 y ? a ? x ? h ? ? k ;
2 2

4

3. 关于原点对称
y ? a 2 ? b x 关于原点对称后,得到的解析式是 y ? ?ax 2 ? bx ? c ; x ? c
y ? a? x? ?h ? 关于原点对称后,得到的解析式是 y ? ?a ? x ? h ? ? k ; k
2 2

4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转 180°)
y ? a 2 ? b x 关于顶点对称后,得到的解析式是 y ? ?ax2 ? bx ? c ? x ? c
2 2

b2 ; 2a

y ? a ? x ? h ? ? k 关于顶点对称后,得到的解析式是 y ? ?a ? x ? h ? ? k .

5. 关于点 ? m , ? 对称 n
y ? a ? x ? h ? ? k 关于点 ? m , ? 对称后,得到的解析式是 y ? ?a ? x ? h ? 2m ? ? 2n ? k n
2 2

根据对称的性质, 显然无论作何种对称变换, 抛物线的形状一定不会发生变化, 因此 a 永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适 的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确 定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式. 十、二次函数与一元二次方程: 1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与 x 轴交点情况): 一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 是二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 当函数值 y ? 0 时的特殊情况. 图象与 x 轴的交点个数:
0 B 0 ① 当 ? ? b2 ? 4ac ? 0 时, 图象与 x 轴交于两点 A? x1 , ? , ? x2 , ? ( x1 ? x2 ) , 其中的 x1 ,x2

是一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ? 的两根.这两点间的距离
AB ? x2 ? x1 ? b 2 ? 4ac . a

② 当 ? ? 0 时,图象与 x 轴只有一个交点; ③ 当 ? ? 0 时,图象与 x 轴没有交点. 1' 当 a ? 0 时,图象落在 x 轴的上方,无论 x 为任何实数,都有 y ? 0 ; 2' 当 a ? 0 时,图象落在 x 轴的下方,无论 x 为任何实数,都有 y ? 0 . 2. 抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 的图象与 y 轴一定相交,交点坐标为 (0 , c ) ; 3. 二次函数常用解题方法总结: ⑴ 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程; ⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; ⑶ 根据图象的位置判断二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 中 a ,b ,c 的符号,或由二次函数中 a ,

b , c 的符号判断图象的位置,要数形结合; ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或 已知与 x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.
5

⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式 ax2 ? bx ? c(a ? 0) 本身就是所含字母

x 的二次函数;下面以 a ? 0 时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间
??0

抛物线与 x 轴有 两个交点 抛物线与 x 轴只 有一个交点 抛物线与 x 轴无 交点

二次三项式的值可正、 可零、可负 二次三项式的值为非负 二次三项式的值恒为正

一元二次方程有两个不相等实根 一元二次方程有两个相等的实数根 一元二次方程无实数根.

??0

??0

十一、函数的应用

?刹车距离 ? 二次函数应用 ?何时获得最大利润 ?最大面积是多少 ?

二次函数考查重点与常见题型
1. 考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如: 已知以 x 为自变量的二次函数 y ? (m ? 2) x ? m ? m ? 2 的图像经过原点, 则 m 的值是
2 2

2. 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角 坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如: 如图,如果函数 y ? kx ? b 的图像在第一、二、三象限内,那么函数 y ? kx ? bx ? 1 的图
2

像大致是( y 1

) y y 1 y

0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D 3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式, 有关习题出现的频率很高, 习题类型有中 档解答题和选拔性的综合题,如: 已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为 x ?

5 ,求这条抛物线的解析式。 3

4. 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、 对称轴、 二次函数的极值, 有关试题为解答题, 如: 已知抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c (a≠0)与 x 轴的两个交点的横坐标是-1、3,与 y 轴交点的纵 3 坐标是- 2 (1)确定抛物线的解析式; (2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5.考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题。 【例题经典】
6

由抛物线的位置确定系数的符号 例 1 (1)二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 的图像如图 1,则点 M (b, ) 在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 2 所示,?则下列结论:①a、b 同 号;②当 x=1 和 x=3 时,函数值相等;③4a+b=0;④当 y=-2 时,x 的值只能取 0.其中正 确的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

c a

(1) (2) 【点评】弄清抛物线的位置与系数 a,b,c 之间的关系,是解决问题的关键.

例 2.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点(-2,O)、(x1,0),且 1<x1<2,与 y 轴
的正半轴的交点在点(O, 2)的下方. 下列结论: ①a<b<0; ②2a+c>O; ③4a+c<O; ④2a-b+1>O, 其中正确结论的个数为( ) A 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个 答案:D 会用待定系数法求二次函数解析式 例 3.已知:关于 x 的一元二次方程 ax +bx+c=3 的一个根为 x=-2,且二次函数 y=ax +bx+c
2 2

的对称轴是直线 x=2,则抛物线的顶点坐标为( ) A(2,-3) B.(2,1) C(2,3) D.(3,2) 答案:C 例 4、 (2006 年烟台市)如图(单位:m) ,等腰三角形 ABC 以 2 米/秒的速度沿直线 L 向正方 形移动,直到 AB 与 CD 重合.设 x 秒时,三角形与正方形重叠部分的面积为 ym2. (1)写出 y 与 x 的关系式; (2)当 x=2,3.5 时,y 分别是多少? (3) 当重叠部分的面积是正方形面积的一半时, 三角形移动了多长时间?求抛物线顶点坐标、 对称轴. 例 5、已知抛物线 y=

1 2 5 x +x- . 2 2

(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴. (2)若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B,求线段 AB 的长. 【点评】本题(1)是对二次函数的“基本方法”的考查,第(2)问主要考查二次函数与一 元二次方程的关系. 例 6.已知: 二次函数 y=ax -(b+1)x-3a 的图象经过点 P(4, 10), x 轴于 A( x1 ,0) ,B( x 2 ,0) 交
2

两点 ( x1 ? x2 ) ,交 y 轴负半轴于 C 点,且满足 3AO=OB. (1)求二次函数的解析式;(2)在二次函数的图象上是否存在点 M,使锐角∠MCO>∠ACO?若存 在,请你求出 M 点的横坐标的取值范围;若不存在,请你说明理由.
7

(1)解:如图∵抛物线交 x 轴于点 A(x1,0),B(x2,O), 则 x1·x2=3<0,又∵x1<x2, ∴x2>O,x1<O,∵30A=OB,∴x2=-3x1. 2 2 ∴x1·x2=-3x1 =-3.∴x1 =1. x1<0,∴x1=-1.∴.x2=3. ∴点 A(-1,O),P(4,10)代入解析式得解得 a=2 b=3 2 ∴.二次函数的解析式为 y-2x -4x-6. (2)存在点 M 使∠MC0<∠ACO. (2)解:点 A 关于 y 轴的对称点 A’(1,O), ∴直线 A,C 解析式为 y=6x-6 直线 A'C 与抛物线交点为(0,-6),(5,24). ∴符合题意的 x 的范围为-1<x<0 或 O<x<5. 当点 M 的横坐标满足-1<x<O 或 O<x<5 时,∠MCO>∠ACO. 用二次函数解决最值问题 例 1 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE(如图) ,其中 AF=2,BF=1.试 在 AB 上求一点 P,使矩形 PNDM 有最大面积. 【评析】本题是一道代数几何综合题,把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起, 能很好考查学生的综合应用能力.同时,也给学生探索解题思路留下了思维空间. 例 2 某产品每件成本 10 元, 试销阶段每件产品的销售价 x (元) ?与产品的日销售量 y (件) 之间的关系如下表: x(元) 15 20 30 ? y(件) 25 20 10 ? 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数. (1)求出日销售量 y(件)与销售价 x(元)的函数关系式; (2) 要使每日的销售利润最大, 每件产品的销售价应定为多少元??此时每日销售利润 是多少元? 【解析】 (1)设此一次函数表达式为 y=kx+b.则 ?

?15k ? b ? 25, 解得 k=-1,b=40,? ? 2k ? b ? 20

即一次函数表达式为 y=-x+40. (2)设每件产品的销售价应定为 x 元,所获销售利润为 w 元 w=(x-10) (40-x)=-x2+50x-400=-(x-25)2+225. 产品的销售价应定为 25 元,此时每日获得最大销售利润为 225 元. 【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似,也有区别,主要有两点: (1) 设未知数在“当某某为何值时,什么最大(或最小、最省) ”的设问中,?“某某”要设为自 变量, “什么”要设为函数; (2)?问的求解依靠配方法或最值公式,而不是解方程.

例 3.你知道吗?平时我们在跳大绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线.如图所
示,正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4 m,距地面均为 1m,学生丙、丁分别站在 距甲拿绳的手水平距离 1m、2.5 m 处.绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学 生丙的身高是 1.5 m,则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示) ( ) A.1.5 m B.1.625 m C.1.66 m D.1.67 m 分析:本题考查二次函数的应用 答案:B
8

9

二次函数解析式图象和性质专题 一、 二次函数定义
m ?2

练习:若函数 y ? ?m ? 4 ?x 二、二次函数的基本形式

? mx ? m ? 1 是关于 x 的二次函数,则 m=________

1、一般式 y ? ax ? bx ? c?a ? 0?
2

分别指出下列二次函数中的 a,b,c

y ? x 2 ? 2x

y ? x 2 ? 2x ? 3

y??

1 2 x ?1 2

y ? ?x 2 ? 2x ? 3

y=2 x2-mx-2+2 m2
2

y ? ax 2 ? x ? a ? mx ? x 2

2、顶点式 y ? a?x ? m ? ? n?a ? 0? 指出 a,m,n y=

1 2 (x+8) -9 2

y ? ?x ? 1? ? 2
2

y=- (x- ) +2
8 3

9

8

2

y ? 3x 2

y ? ?3x 2 ? 1

y=2(x+1)2

3、交点式(双根式) y ? a?x ? x1 ??x ? x 2 ? ?a ? 0? (非标准的化为标准的) 指出 a, x1 , x 2

y ? 2 x?x ? 3?

y??

2 ?x ? 2??x ? 3? 3

y ? ?x ? 2??3 ? x ?

y ? ?2?2 x ? 1??3 ? x ?

4、三种形式的互化:一般式通过配方化为顶点式,一般式通过因式分解化为交点式,顶点 式和交点式通过乘法化为一般式 练习:将下列二次函数化为顶点式

y ? x 2 ? 2x

y ? x 2 ? 2x ? 3

y ? ?x 2 ? 2x

y ? ?x 2 ? 2x ? 3

y ? ?2 x 2 ? 4 x ? 3
练习:将下列二次函数化为标准的交点式

y ? x 2 ? 2x y ? 2x 2 ? 9x ? 4
y ? ?2?2 x ? 1??3 ? x ?

y ? ?x 2 ? 2x

y ? ?x 2 ? 2x ? 3
y ? ?2 x ? 1??3x ? 3?

y ? ?x ? 2??3 ? x ?

练习:将下列二次函数化为一般式

y=2(x+1)2

y=

1 2 (x+8) -9 2

y ? ?x ? 1? ? 2
2

y=- (x- ) +2
8 3

9

8

2

10

y ? 2 x?x ? 3?

y??

2 ?x ? 2??x ? 3? 3

三、二次函数的图象: (1)点与图象的关系:图象由无数个点构成,图象上的点的坐标满足函数解析式 练习:二次函数 y=-x +2x+m 的图象经过点 A(3,0) ,求 m 的值; 二次函数 y=-x +2x+m 的图象与 x 轴的一个交点为 A(3,0) ,求 m 的值; 二次函数 y=-x +2x+1 的图象经过点 A(3,m) ,求 m 的值; 二次函数 y=-x +2x+1 的图象经过点 A(m,4) ,求 m 的值; (2)二次函数的图象的相关定义及图象特征:图象形状、特征 开口方向、大小,对称轴,顶点坐标,增减,最值,交点
2
2 2 2 2

例 1: 二次函数 y ? ax ? bx ? c?a ? 0? 的图象与 X 轴交于 A 2, B m,0) ( 0) ( 且对称轴为 x ? ?1 , 则 m=_____ _____ 练习:二次函数 y ? ax ? bx ? c?a ? 0? 的图象与 X 轴交于 A(2,0)B(-6,0)则对称轴为
2

函数 y ? ax ? bx ? c?a ? 0? 的图象经过点 A(3,6) ,B(8,6) ,则对称轴为_____
2

二次函数 y ? ax ? bx ? c?a ? 0? 的图象经过 A(2,-5) ,B(m,-5)且对称轴为 x ? ?1 ,
2

则 m=_____

例 2: (2010 年金华) 已知抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 的开口向下,顶点坐标为(2,-3) ,那 么该抛物线有( )A. 最小值 -3 B. 最大值-3 C. 最小值 2 D. 最大值 2

练习:已知函数 y ? ax 2 ? bx ? c ,当 x=2 时,y 取最大值-5,则其图象开口向_____,对称 轴是____________顶点坐标为____________

例 3:(2009 年湖州)已知抛物线 y ? ax ? bx ? c 的图象开口向上且对称轴为直线 x ? 1 ,图
2

象经过点 ? ?1,y1 ?,2,y2 ? ?



(?5, y 3 ) ?1, y 4 ? ,?7, y5 ? 试比较 y1 , y2 , y 3 , y 4,y 5 的大小:

_______________ 练习: (2011 湖北省)已知抛物线开口向下且对称轴为 x ? ?1 , ?3 , y1 ) C(3, y2 ) ( 、

(?5, y 3 ) ?1, y 4 ? 为图象上的四点,则 y1 , y2 , y 3 , y 4 的大小关系是

____________

例 4: (2011 山东泰安,20 ,3 分)若二次函数 y=ax +bx+c 的 x 与 y 的部分对应值如下表: X y -7 -27 -6 -13 -5 -3 -4 3 -3 5 -2 3

2

则当 x=1 时,y 的值为 A.5 B.-3 C.-13
11

D.-27

练习: (2011 山东济宁,8,3 分)已知二次函数 y ? ax ? bx ? c 中,其函数 y 与自变量 x 之
2

间的部分对应值如下表所示:

x y

?? ??

0 4

1 1

2 0

3 1

4 4

?? ??

点 A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 )在函数的图象上,则当 1 ? x1 ? 2, 3 ? x2 ? 4 时, y1 与 y2 、 的大小关系正确的是 A. y1 ? y2 B. y1 ? y2 C. y1 ? y2 D. y1 ? y2

(2011 山东枣庄,18,4 分)抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 上部分点的横坐标 x ,纵坐标 y 的对 应值如下表:

x y

? ?

-2 0

-1 4

0 6

1 6

2 4

? ?

从上表可知,下列说法中正确的是

. (填写序号)
2

①抛物线与 x 轴的一个交点为(3,0) ②函数 y ? ax ? bx ? c 的最大值为 6; ; ③抛物线的对称轴是 x ?

1 ; 2

④在对称轴左侧, y 随 x 增大而增大.

(2009 年陕西省)根据下表中的二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的自变量 x 与函数 y 的对应值, 可判 断二次函数的图像与 x 轴 【 】

x ? y ?

- 1 - 1

0
? 7 4

1 - 2

2
? 7 4

? ?

A.只有一个交点 B.有两个交点,且它们分别在 y 轴两侧 C.有两个交点,且它们均在 y 轴同侧 D.无交点 例 5: (2011 山东威海,7,3 分)二次函数 y ? x ? 2 x ? 3 的图象如图所示.当 y<0 时,
2

自变量 x 的取值范围是( A.-1<x<3

) . C. x>3
2

B.x<-1

D.x<-1 或 x>3

练习:(2009 年本溪)如图所示,抛物线 y ? ax ? bx ? c ( a ? 0 )与 x 轴的两个交点分别 为 A(?1 0) 和 B(2, ,当 y ? 0 时, x 的取值范围是 , 0) .

12

四、二次函数的图象与性质(图象为抛物线) 1、顶点式的图象和性质 y ? a?x ? m ? ? n?a ? 0?
2

(1)开口___________(2)顶点坐标___________ (3)对称轴___________(4)增减______________________ (5)最值___________(6)与 y 轴一个交点,坐标 ?0, y ? (7)与 x 轴的交点个数_____________坐标_____________ 练习:指出下列二次函数的图象及性质并作大致图象

y ? 2?x ? 1?

2

y ? 2 x 2 ? 4 y ? 2?x ? 1? ? 1 y ? ?2?x ? 1? ? 1
2 2
2

y ? ?2?x ? 1? ? 1
2

(2011 上海,4,4 分)抛物线 y=-(x+2) -3 的顶点坐标是( (A) (2,-3) ; (B) (-2,3) ; (C) (2,3) ;

) . (D) (-2,-3) (
2

(2011 江苏无锡) 函数图象以直线 x = 2 为对称轴, 且经过点(0, 1)的是
2 2 2

)

A.y = (x ? 2) + 1 B.y = (x + 2) + 1 C.y = (x ? 2) ? 3 D.y = (x + 2) ? 3 (2011 湖南永州)由二次函数 y ? 2( x ? 3) 2 ? 1 ,可知( A.其图象的开口向下 C.其最小值为 1 )

B.其图象的对称轴为直线 x ? ?3 D.当 x ? 3 时,y 随 x 的增大而增大
2

(2009 年湖州)已知抛物线 y=-(x+2) -3,图象经过点 ? ?1,y1 ?,2,y2 ? ?

?- 7, y 4 ?试比较 y1 , y2 , y3 , y 4 的大小:
2



(?5, y 3 ) ,

_______________

(2009 年桂林市、百色市)二次函数 y ? ( x ? 1) ? 2 的最_______值是______ (2009 年湖北荆州)抛物线 y ? 3( x ?1) ? 2 的对称轴是____________
2

?? x ? 1?2 ? 1? x≤3? ? (2011 湖北鄂州,15,3 分)已知函数 y ? ? ,则使 y=k 成立的 x 值恰好 2 x ? 5? ? 1? x>3? ?? ?
有三个,则 k 的值为( A.0 B.1 ) C.2 D.3

2、交点式的图象和性质 y ? a?x ? x1 ??x ? x 2 ? ?a ? 0? (1)开口___________(2)顶点坐标___________ (3)对称轴___________(4)增减______________________
13

(5)最值___________(6)与 y 轴一个交点,坐标 ?0, y ? (7)与 x 轴的交点个数_____________坐标_____________ 练习:指出下列二次函数的图象及性质并作大致图象

y ? 2?x ? 2??2 x ? 1?

y ? ?x ? 2??3 ? x ?


(2009 年南充)抛物线 y ? a( x ? 1)( x ? 3)(a ? 0) 的对称轴是直线( A. x ? 1 B. x ? ?1 C. x ? ?3 D. x ? 3

(2009 湖北省荆门市)函数 y ? (x ? 2)(3 ? x) 取得最大值时, x ? ______.最大值是____ 3、一般式的图象和性质 y ? ax ? bx ? c ? a? x ?
2

? ?

b ? 4ac ? b 2 ? ? 2a ? 4a

2

(1)开口___________(2)顶点坐标___________ (3)对称轴___________(4)增减______________________ (5)最值___________(6)与 y 轴一个交点,坐标 ?0, y ? (7)与 x 轴的交点个数_____________坐标_____________ (8)与 X 轴两交点的距离 AB=

?x1 ? x2 ?2 ? 4 x1 x2
y ? 2x 2 ? 9x ? 4

练习:指出下列二次函数的图象及性质并作大致图象

y ? x 2 ? 2x y ? ?2 x 2 ? 4 x ? 3

y ? ?x 2 ? 2x ? 3 y ? x 2 ? 4x ? 5
2

例 1: (2010 福建模拟)抛物线 y ? x ? 2 x ? 3 的对称轴是直线 练习:(2011 湖南怀化)当 a 取 是 x=-2 例 2: (2010 年兰州) 二次函数 y ? ?3x ? 6 x ? 5 的图像的顶点坐标是
2



时,二次函数 y ? ax ? (1 ? 3a) x ? 2a ? 1的对称轴
2

A. (-1,8)

B. (1,8)
2 2

C. (-1,2)

D. (1,-4)

练习:二次函数 y ? 3x ? ax ? b 的图像的顶点坐标是(1,2) ,则 a=______b=______ (2011 广东肇庆)二次函数 y ? x ? 2 x ? 5 有 A. 最大值 ? 5 B. 最小值 ? 5
2

C. 最大值 ? 6
2

D. 最小值 ? 6

例 3: (2010 年广州市) 若二次函数 y=2 x -2 mx+2 m -2 的图象的顶点在 y 轴上, m 的 则 值是 .
2

变式练习 1:二次函数为 y=x -x+m,顶点在 x 轴上,则 m 范围是 _____ 变式练习 2:若二次函数 y=2 x -2 mx+2 m -2 的图象的顶点在 x 轴正半轴上,则 m 的值
2 2

14




2

变式练习 3:二次函数为 y=x -x+m,顶点在 x 轴上方,则 m 范围是 _____

例 4:如图所示,二次函数 y=-x +2x+m 的图象与 x 轴的一个交点为 A(3,0) ,另一个交点 为 B, 求点 B 的坐标; 练习: (2011 广元)如图,抛物线 y=ax +2ax+c(a≠0)与 x 轴交于点 A(-4,0)和 B.求 点 B 的坐标; (2011 贵州安顺)如图,抛物线 y= 求 B 坐标
2

2

1 2 x +bx-2 与 x 轴交于 A、B 两点,且 A(一 1,0). 2

例 5: (2011 陕西)若二次函数 y ? x ? 6 x ? c 的图像过 A(?1, Y1 ), B(2, Y2 ), C (3 ?
2

2 , Y3) ,

则 y1 , y 2 , y 3 的大小关系是


2

例 6: (2011 江苏泰州)已知:对二次函数 y=x -2x-3,写出当 1<x≤3 时 y 的取值范围; 练习:已知抛物线 y ? ? A.2

1 2 x ? 2 ,当 1 ? x ? 5 时,y 的最大值是( 3 2 5 7 B. C. D. 3 3 3
2



例 7:(2011 台湾台北)若下列有一图形为二次函数 y=2x -8x+6 的图形,则此图为()

例 8 : 2010 湖 北 省 咸 宁 ) 抛 物 线 ( 为 .

y ? 2 x2 ? 8x ? m 与 x 轴 只 有 一 个 公 共 点 , 则 m 的 值

练习: (2011 湖北襄阳)已知二次函数 y ? (k ? 3) x ? 2 x ? 1 的图象与 x 轴有交点,则 k
2

范围是 (2011 广东东莞,15,6 分)已知抛物线 y ? (改编 1)已知

1 2 x ? x ? c 与 x 轴有交点.求 c 的取值范围; 2

1 2 x ? x ? c ? 0 恒成立.求 c 的取值范围; 2
15

1 2 x ? x ? c ? 0 恒成立.求 c 的取值范围; 2 2 例 9: (2011 台湾台北)如图(十四),二次函数 y=ax ? bx+c 的图象在坐标平面上如图,
(改编 2)已知 ? 则方程 ax ? bx+c=0 的两根,下列叙述正确的是(
2



A.两根相异,且均为正根 C.两根相同,且为正根

B.两根相异,且只有一个正根 D.两根相同,且为负根
2

(2011 山东潍坊,12,3 分)已知一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0??(a ? 0) 的两个实数根 x1 、

x2 满足 x1 ? x2 ? 0 和 x1 .x2 ? 0 ,那么二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c?(a ? 0) 的图象有可能是

( ) 例 10: (2011 广东中山)抛物线 y ? 变式:抛物线 y ?

1 2 x ? x ? c 与 x 轴两交点的距离为 2,求 c 的值. 2

1 2 2 2 x ? x ? c 与 x 轴两交点的横坐标为 x1 , x 2 ,若 x1 ? x 2 ? 8 求 c 的值. 2

a2 (a ? 0) 的顶点为 P,与 x 轴交于 A、B 两点,当△PAB 为 2 等边三角形时,a 的值为_____ _____.

例 11:.设抛物线 y ? x 2 ? 2ax ?

五、二次函数图象与系数(一般式) (1)由系数确定图象 (2010 年吉林省长春市) 已知反比例函数 y ?

k 的图象如下右图所示,则二次函数 x

y ? 2kx2 ? x ? k 2 的图象大致为【
y
y



y

y

y

O
A.

x

O

x

O

x

O

x

O

x

C. B. D. 2 (2010 湖北省荆门市)函数 y=ax+1 与 y=ax +bx+1(a≠0)的图象可能是(



16

y
1

y
1

y
1

y
1

x

o
A.

o
B.

x

o
C.

x

o
D.

x

(2009 年兰州)在同一直角坐标系中,函数 y ? mx ? m 和函数 y ? ?mx ? 2 x ? 2 ( m 是
2

常数,且 m ? 0 )的图象可能是 ..

(2011 湖南湘潭市,8,3 分)在同一坐标系中,一次函数 y ? ax ? 1 与二次函数 y ? x ? a
2

的图像可能是

(2011 安徽芜湖, 10,4 分) 二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象如图所示, 则反比例函数 y ?
2

a x

与一次函数 y ? bx ? c 在同一坐标系中的大致图象是(

).

(2010 烟台市)二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象如图所示,则一次函数 y ? bx ? b ? 4ac
2 2

与反比例函数 y ? y x

a?b?c 在同一坐标系内的图象大致为( x
y y x x
17

) y x

O A.

O B.

O C.

O D.

y

?1

O 1

x

(2)图象确定系数 a 确定开口, c 确定与 y 轴交点,对称轴与 a,c 共同决定 b,与 x 轴的交点个数确定 ? ,对 称轴与 1 和 ? 1的大小决定 2a+b 和 2a-b,图象上的特殊点的函数值确定特殊代数式的值 (2011 四川重庆,7,4 分)已知抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如 图所示,则下列结论中正确的是( ) A. a>0 B. b<0 C. c<0 D. a+b+c>0
2
2

(2011 甘肃兰州,9,4 分)如图所示的二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象中,刘星同学观察 得出了下面四条信息: (1) b ? 4ac ? 0 ; (2)c>1; (3)2a-b<0; (4)a+b+c<0。你认为
2

其中错误的有 ..

A.2 个

B.3 个

C.4 个

D.1 个

. 已 知 二 次 函 数 的 图 象 如 图 所 示 , 则 化 简 |a + b + c|-|a - b + c| + |2a + b| - |2a - b|=_________ y 1 1 O 1 x

(2011 山东日照,17,4 分)如图,是二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象的一部分, 给出下列命题 : a+b+c=0;②b>2a;③ax +bx+c=0 的两根分别为-3 和 1 其中正确的命题 ① 是 .(只要求填写正确命题的序号)
2 2

2

(2011 江苏宿迁,8,3 分)已知二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象如图,则下列结论中 正确的是( )A.a>0 C.c<0 B.当 x>1 时,y 随 x 的增大而增大
2

D.3 是方程 ax +bx+c=0 的一个根

18

图象的应用(数形结合) 例: (2011 江苏无锡,10,3 分)如图,抛物线 y = x + 1 与双曲线 y =坐标是 1,则关于 x 的不等式 x + 1A.x > 1 y
A
2 2

k 的交点 A 的横 x
)

k < 0 的解集是 x
C.0 < x < 1

( D.? 1 < x < 0

B.x < ? 1

x

(第 10 题)

练 习 : 已 知 函 数 y ? ax ? bx ? c 的 图 象 如 图 ( 7 ) 所 示 , 那 么 关 于 x 的 方 程
2

ax2 ? bx ? c ? 2 ? 0 的根的情况是(



y

0
?3
图(7)

x

例:关于 X 的方程 k ? x ? 2 x ? 3 有四个根,则 K 的范围是________
2

练习:关于 X 的方程 k ? x ? 2 x ? 3 有四个根,则 K 的范围是________
2

19

二次函数考点培优
★★★二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点: 开口方向,对称轴,顶点,与 x 轴的交点,与 y 轴的交点. ★★二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0) 一般式:y=ax2+bx+c,三个点 顶点式:y=a(x-h)2+k,顶点坐标对称轴

4ac ? b 2 b 4a ) 顶点坐标(- 2a , .
顶点坐标(h,k) ★★★a b c 作用分析 │a│的大小决定了开口的宽窄,│a│越大,开口越小,│a│越小,开口越大, a,b 的符号共同决定了对称轴的位置,当 b=0 时,对称轴 x=0,即对称轴为 y 轴,当 a,b

b b 同号时,对称轴 x=- 2a <0,即对称轴在 y 轴左侧,当 a,b?异号时,对称轴 x=- 2a >0,
即对称轴在 y 轴右侧, (左同右异 y 轴为 0) c?的符号决定了抛物线与 y 轴交点的位置,c=0 时,抛物线经过原点,c>0 时,与 y 轴交于 正半轴;c<0 时,与 y?轴交于负半轴,以上 a,b,c 的符号与图像的位置是共同作用的,也 可以互相推出. 交点式:y=a(x- x1)(x- x2), (有交点的情况) 与 x 轴的两个交点坐标 x1,x2

h?
对称轴为

x1 ? x 2 2

二次函数解析式及定义型问题(顶点式中考要点) 1.把二次函数的图象向左平移 2 个单位,再向上平移 1 个单位,所得到的图象对应的二次 函数关系式是 y ? ( x ? 1) ? 2 则原二次函数的解析式为
2

2.二次函数的图象顶点坐标为(2,1) ,形状开品与抛物线 y= - 2x2 相同,这个函数解析式 为________。 3.如果函数 y ? (k ? 3) x 4.(08 绍兴)已知点 ( A.若 B.若 C.若 )
k 2 ?3 k ? 2

? kx ? 1是二次函数,则 k 的值是______


( x1,y1 )

( x2,y2 )

均在抛物线 y ? x ? 1 上,下列说法中正确的是
2

y1 ? y2

,则

x1 ? x2

x1 ? ? x2

,则

y1 ? ? y2
y1 ? y2

0 ? x1 ? x2

,则

20

D.若

x1 ? x2 ? 0

,则

y1 ? y2
2

5.(兰州 10) 抛物线 y ? x ? bx ? c 图像向右平移 2 个单位再向下平移 3 个单位, 所得图像 的解析式为 y ? x ? 2 x ? 3 ,则 b、c 的值为
2

A . b=2, c=2 C . b= -2,c=-1
2

B. b=2,c=0 D. b= -3, c=2
2

★6.抛物线 y ? (m ? 1) x ? (m ? 3m ? 4) x ? 5 以 Y 轴为对称轴则。M= 7.二次函数 y ? ax ? a ? 5 的图象顶点在 Y 轴负半轴上。 且函数值有最小值, m 的取值 则
2

范围是

y ? (a ? 5) x a 8.函数
它是二次函数.
2

2

? 4 a ?5

? 2x ?1 ,

当 a ? _______时, 它是一次函数; 当 a ? _______时,

9.抛物线 y ? (3x ? 1) 当 x
2

时,Y 随 X 的增大而增大

10.抛物线 y ? x ? ax ? 4 的顶点在 X 轴上,则 a 值为

★11.已知二次函数 y ? ?2( x ? 3) , X 取 x1 和 x 2 时函数值相等, X 取 x1 + x 2 时函数值 当 当
2



12.若二次函数 y ? ax ? k ,当 X 取 X1 和 X2( x1 ? x2 )时函数值相等,则当 X 取 X1+X2
2

时,函数值为

13.若函数 y ? a( x ? 3) 过(2.9)点,则当 X=4时函数值 Y=
2

★14.若函数 y ? ?( x ? h) ? k 的顶点在第二象限则,
2

h

0 ,k

0

15.已知二次函数当 x=2 时 Y 有最大值是1.且过(3.0)点求解析式?
21

16.将 y ? 2 x ? 12 x ? 12 变为 y ? a( x ? m) ? n 的形式,则 m? n =_____。
2 2

★17.已知抛物线在 X 轴上截得的线段长为6.且顶点坐标为(2,3)求解析式?(讲解对 称性书写)

一般式交点式中考要点 18.如果抛物线 y=x2-6x+c-2 的顶点到 x 轴的距离是 3,那么 c 的值等于( (A)8 (B)14 (C)8 或 14 (D)-8 或-14



19.二次函数 y=x2-(12-k)x+12,当 x>1 时,y 随着 x 的增大而增大,当 x<1 时,y 随着 x 的增 大而减小,则 k 的值应取( ) (A)12 (B)11 (C)10 (D)9

20.若 b ? 0 ,则二次函数 y ? x ? bx ? 1的图象的顶点在
2

( A



(A)第一象限(B)第二象限 (C)第三象限(D)第四象限 21.不论 x 为何值,函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的值恒大于 0 的条件是( A.a>0,△>0 B.a>0, △<0 C.a<0, △<0 D.a<0, △<0
2

)

★22.已知二次函数 y ? (a ? 1) x ? 3x ? a(a ? 1) 的图象过原点则 a 的值为

23.二次函数 y ? x ? 3x ? 4 关于 Y 轴的对称图象的解析式为
2

关于 X 轴的对称

图象的解析式为 关于顶点旋转180度的图象的解析式为
22

24. 二次函数 y=2(x+3)(x-1)的 x 轴的交点的个数有__个,交点坐标为_______。

25.已知二次函数 y ? ax ? 2 x ? 2 的图象与 X 轴有两个交点,则 a 的取值范围是
2

26.二次函数 y=(x-1)(x+2)的顶点为___,对称轴为

_。

27.抛物线 y=(k-1)x2+(2-2k)x+1,那么此抛物线的对称轴是直线_________,它必定经过 ________和____

28.若二次函数 y ? 2 x ? 6 x ? 3 当 X 取两个不同的值 X1 和 X2 时, 函数值相等, X1+X2= 则
2

29.若抛物线 y ? x ? 2 x ? a 的顶点在 x 轴的下方,则 a 的取值范围是(
2



A. a ? 1 C. a ≥1

B. a ? 1 D. a ≤1

1 30.抛物线 y= (k2-2)x2+m-4kx 的对称轴是直线 x=2,且它的最低点在直线 y= - 2 +2 上,求函
数解析式。

31.已知二次函数图象与 x 轴交点(2,0)(-1,0)与 y 轴交点是(0,-1)求解析式及顶点坐标。

32.y= ax2+bx+c 图象与 x 轴交于 A、B 与 y 轴交于 C,OA=2,OB=1 ,OC=1,求函数解析 式
23

32. ★★★★★抛物线 y ? ? x ? 6 x ? 5 与 x 轴交点为 A,B, 在 B 左侧)顶点为 C.与 Y (A
2

轴交于点 D (1)求△ABC 的面积。

33(2)若在抛物线上有一点 M,使△ABM 的面积是△ABC 的面积的2倍。求 M 点坐标(得分 点的把握)

34(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q,使得△QAC 的周长最小?若存在,求出 Q 点的坐标;若不存在,请说明理由.

35(4)在抛物线上是否存在一点 P,使四边形 PBAC 是等腰梯形,若存在,求出 P 点的坐标; 若不存在,请说明理由

二次函数图象与系数关系+增减性 36.二次函数 y ? ax ? bx ? c
2

图象如下,则 a,b,c 取值范围是

37 已知 y=ax2+bx+c 的图象如下,
24

则:a____0 b___0 c___0 a+b+c____0, a-b+c__0。2a+b____0 b2-4ac___0 4a+2b+c
2

0

38.二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象如图所示. 有下列结论: ① b ? 4ac ? 0 ;
2

② ab ? 0 ; ③ a ?b ? c ? 0; ④ 4a ? b ? 0 ; ⑤当 y ? 2 时, x 等于 0 . ⑥ ax ? bx ? c ? 0 有两个不相等的实数根
2

⑦ ax ? bx ? c ? 2 有两个不相等的实数根
2

⑧ ax ? bx ? c ? 10 ? 0 有两个不相等的实数根
2

⑨ ax ? bx ? c ? ?4 有两个不相等的实数根
2

其中正确的是(


2

39.(天津市)已知二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象如图所示,下列结论:① abc ? 0 ; ② b ? a ? c ; 4a ? 2b ? c ? 0 ; 2c ? 3b ; a ? b ? m(am ? b) , m ? 1 的实数) ③ ④ ⑤ ( 其中正确的结论有( A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 ) 。

40.小明从右边的二次函数 y ? ax ? bx ? c 图象中,观察得出了下面的五条信息:① a ? 0 , y c ? 0 ,③函数的最小值为 ?3 ,④当 x ? 0 时, y ? 0 ,⑤当 0 ? x1 ? x2 ? 2 时, y1 ? y2 .你 ②
2

认为其中正确的个数为( A.2 B.3 C.4 D.5



25

0
?3

2

x

41.已知二次函数 y ? ax ? bx ? c ,其中 a,b,c 满足 a ? b ? c ? 0 和 9a ? 3b ? c ? 0 ,则该二
2

次函数图象的对称轴是直线 . 42.直已知 y=ax2+bx+c 中 a<0,b>0,c<0 ,△<0,函数的图象过

象限。

A(?
43.若

13 5 1 , y1 ), B(? , y 2 ), C ( , y3 ) 2 4 4 4 为二次函数 y ? x ? 4 x ? 5 的图象上的三点,则
y3
的大小关系是( B. D. )

y1



y2



A. C.

y1 ? y2 ? y3 y3 ? y1 ? y2

y2 ? y1 ? y3 y1 ? y3 ? y2
2

44.在同一平面直角坐标系中,一次函数 y ? ax ? b 和二次函数 y ? ax ? bx 的图象可能为 ( ) y

y

y

y

O
A .

x

O
B .
2

x

O
C .

x

O
D .

x

45.二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象如图所示,则直线 y ? bx ? c 的图象不经过( A.第一象限 y B.第二象限 C.第三象限 O D.第四象限 46.抛物线 y=ax2+bx+c 的图象如图,OA=OC,则 (A) ac+1=b y (B) ab+1=c C (C)bc+1=a (D)以上都不是
2



x
( )

A O

x )

47.已知二次函数 y=a x +bx+c,且 a<0,a-b+c>0,则一定有( A

b2 ? 4ac >0 B b2 ? 4ac =0

2 2 C b ? 4ac <0 D b ? 4ac ≤0

48.若二次函数 y=ax2+bx+c 的顶点在第一象限,且经过点(0,1)(-1,0) , ,则 S=a+b+c 的 变化范围是 ( ) (A)0<S<2 (B) S>1 (C) 1<S<2 (D)-1<S<1

26

0) 0) ( x , 49.(10 包头)已知二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象与 x 轴交于点 (?2, 、 1 ,且
2

1 ? x1 ? 2

2) ,与 y 轴的正半轴的交点在 (0, 的下方.下列结论:① 4a ? 2b ? c ? 0 ;②
个.

a ? b ? 0 ;③ 2a ? c ? 0 ;④ 2a ? b ? 1 ? 0 .其中正确结论的个数是

50.(10 四川自贡)y=x2+(1-a)x+1 是关于 x 的二次函数,当 x 的取值范围是 1≤x≤3 时,y 在 x=1 时取得最大值,则实数 a 的取值范围是( ) 。 A.a=5 B.a≥5 C.a=3 D.a≥3 二次函数与方程不等式 51.y=ax2+bx+c 中,a<0,抛物线与 x 轴有两个交点 A(2,0)B(-1,0) ,则 ax2+bx+c>0 的解是____________; ax2+bx+c<0 的解是____________ 52.已知二次函数 y=x2+mx+m-5,求证①不论 m 取何值时,抛物线总与 x 轴有两个交点;② 当 m 取何值时,抛物线与 x 轴两交点之间的距离最短

1 53.如果抛物线 y= 2 x2-mx+5m2 与 x 轴有交点,则 m______
54.(大连)右图是二次函数 y1=ax2+bx+c 和一次函数 y2=mx+n 的 图像,?观察图像 写出 y2≥y1 时,x 的取值范围_______.

1 55. (10 山东潍坊)已知函数 y1=x2 与函数 y2=- 2 x+3 的图象大致如图,若 y1<y2,
则自变量 x 的取值范围是( ) .

3 3 A.- 2 <x<2 B.x>2 或 x<- 2 3 3 C.-2<x< 2 D. x<-2 或 x> 2
56. (10 江苏 镇江)实数 X,Y 满足 x ? 3x ? y ? 3 ? 0 则 X+Y 的最大值为
2

.

57.(10 山东日照)如图,是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分,其对称轴为直线 x=1,若 其与 x 轴一交点为 A 0)则由图象可知, (3, , 不等式 ax2+bx+c<0 的解集是 .

形积专题1.
27

58.(中考变式)如图,抛物线 y ? ? x ? bx ? c 与 x 轴交与 A(1,0),B(-3,0)两点,顶点为 D。交 Y 轴于 C (1)求该抛物线的解析式与△ABC 的面积。
2

59.(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点 M,使△MBC 是以∠BCM 为直角的直角三角形, 若存在,求出点 P 的坐标。若没有,请说明理由

60.(3)若 E 为抛物线 B、C 两点间图象上的一个动点(不与 A、B 重合),过 E 作 EF 与 X 轴垂 直,交 BC 于 F,设 E 点横坐标为 x.EF 的长度为 L, 求 L 关于 X 的函数关系式?关写出 X 的取值范围? 当 E 点运动到什么位置时,线段 EF 的值最大,并求此时 E 点的坐标?

61.(4)在(5)的情况下直线 BC 与抛物线的对称轴交于点 H。当 E 点运动到什么位置时,以 点 E、F、H、D 为顶点的四边形为平行四边形?

62.(5)在(5)的情况下点 E 运动到什么位置时,使三角形 BCE 的面积最大?

28

63.(6)若圆 P 过点 ABD。求圆心 P 的坐标?

64.(09 武汉)如图,抛物线 y ? ax ? bx ? 4a 经过 A(?1 0) 、C (0, 两点,与 x 轴交于另一 , 4)
2

点B. (1)求抛物线的解析式; (2)已知点 D(m,m ? 1) 在第一象限的抛物线上,求点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标;

65. 已知二次函数 y=x -(m +8)x+2(m +6),设抛物线顶点为 A,与 x 轴交于 B、C 两点,问是 否存在实数 m,使△ABC 为等腰直角三角形,如果存在求 m;若不存在说明理由。

2

2

2

66.(08 湛江)如图所示,已知抛物线 y ? x ? 1 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C.
2

求 A、B、C 三点的坐标. 过 A 作 AP∥CB 交抛物线于点 P,求四边形 ACBP 的面积.

y
P

A

o

B

x

C 图 11 67.在 x 轴上方的抛物线上是否存在一点 M,过 M 作 MG ? x 轴点 G,使以 A、M、G 三点为顶 点的三角形与 ? PCA 相似.若存在,请求出 M 点的坐标;否则,请说明理由.

29

二次函数极值问题
2 68.二次函数 y ? ax ? bx ? c 中, b ? ac ,且 x ? 0 时 y ? ?4 ,则(
2



A.

y最大 ? ?4

B.

y最小 ? ?4

C.
2

y最大 ? ?3
2

D.

y最小 ? ?3

69.已知二次函数 y ? ( x ? 1) ? ( x ? 3) 70.(2008 年潍坊市)若一次函数 ( A.最大值 ) C.最小值
2

,当 x=_________时,函数达到最小值。 的图像过第一、三、四象限,则函数

B..最大值

D.有最小值

71.若二次函数 y ? a( x ? h) ? k 的值恒为正值, 则 _____. A. a ? 0, k ? 0 C. a ? 0, k ? 0
2

B. a ? 0, h ? 0 D. a ? 0, k ? 0

72.函数 y ? ? x ? 9 。当-2<X<4 时函数的最大值为 73.若函数 y ? x ? 2 x ? 3 ,当 ? 4 ? x ? ?2 函数值有最 值为
2

二次函数应用利润问题 74.(2007 年贵阳市)某水果批发商销售每箱进价为 40 元的苹果,物价部门规定每箱售价 不得高于 55 元,市场调查发现,若每箱以 50 元的价格调查,平均每天销售 90 箱,价格每 提高 1 元,平均每天少销售 3 箱. (1)求平均每天销售量 y (箱)与销售价 x (元/箱)之间的函数关系式. 分) (3 (2)求该批发商平均每天的销售利润 w (元)与销售价 x (元/箱)之间的函数关系式. (3 分) (3)当每箱苹果的销售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?(4 分)

75 随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展,对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计 划投资种植花卉及树木,根据市场调查与预测,种植树木的利润 y1 与投资量 x 成正比例关 系, 如图 12-①所示; 种植花卉的利润 y 2 与投资量 x 成二次函数关系, 如图 12-②所示 (注: 利润与投资量的 单位:万元)

30

(1)分别求出利润 y1 与 y 2 关于投资量 x 的函数关系式; (2)如果这位专业户以 8 万元资金投入种植花卉和树木,他至少获得多少利润?他能获取 的最大利润是多少? 76.(09 洛江)我区某工艺厂为迎接建国 60 周年,设计了一款成本为 20 元 ∕ 件的工艺品 投放市场进行试销.经过调查,其中工艺品的销售单价 x (元 ∕ 件) 与每天销售量 y (件)之间满足如图 3-4-14 所示关系. (1)请根据图象直接写出当销售单价定为 30 元和 40 元时相应的日销售量; (2)①试求出 y 与 x 之间的函数关系式; ②若物价部门规定,该工艺品销售单价最高不能超过 45 元/件,那么销售单价定为多少时, 工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?最大利润是多少?(利润=销售总价-成本总 价) 。

77.(泰安)某市种植某种绿色蔬菜,全部用来出口.为了扩大出口规模,该市决定对这种 蔬菜的种植实行政府补贴,规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元.经调查,种植 亩数 y (亩)与补贴数额 x (元)之间大致满足如图 3-4-13①所示的一次函数关系.随着 补贴数额 x 的不断增大,出口量也不断增加,但每亩蔬菜的收益 z (元)会相应降低,且 z 与 x 之间也大致满足如图 3-4-13②所示的一次函数关系.

y/亩 1200 800 3000 2700

z/元

(1)在政府未出台补贴措施前,该市种植这种蔬菜的总收益额为多少? x/元 O x/元 O 100 50 (2)分别求出政府补贴政策实施后,种植亩数 y 和每亩蔬菜的收益 z 与政府补贴数额 x 之 ② 间的函数关系式; ① (3)要使全市这种蔬菜的总收益 w (元)最大,政府应将每亩补贴数额 x 定为多少?并求 出总收益 w 的最大值. 二次函数应用几何面积问题与最大最小问题 78.(韶关市)为了改善小区环境,某小区决定要在一块一边靠墙(墙长 25m)的空地上修 建一个矩形绿化带 ABCD,绿化带一边靠墙,另三边用总长为 40m 的栅栏围住若设绿化带的 BC 边长为 xm,绿化带的面积为 ym?. 求 y 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; 当 x 为何值时,满足条件的绿化带的面积最大?
B A

25m

C

图4

D

31

79.若要在围成我矩形绿化带要在中间加一道栅栏,写出此时 Y 与 X 之间的函数关系式,并 写出自变量 X 的取值范围。 当 X 为何值时,绿化带的面积最大?

二次函数与四边形及动点问题 80.如图,等腰梯形 ABCD 中,AB=4,CD=9,∠C=60°,动点 P 从点 C 出发沿 CD 方向向点 D 运动,动点 Q 同时以相同速度从点 D 出发沿 DA 方向向终点 A 运动,其中一个动点到达端点 时,另一个动点也随之停止运动. (1)求 AD 的长; (2)设 CP=x,问当 x 为何值时△PDQ 的面积达到最大,并求出最大值;

81.(3)探究:在 BC 边上是否存在点 M 使得四边形 PDQM 是菱形?若存在,请找出点 M,并 求出 BM 的长;不存在,请说明理由.

82.如图: 在一块底边 BC 长为 80 ㎝、BC 边上高为 60 ㎝的三角形 ABC 铁板上截出一块矩形 铁板 EFGH , 使矩形的一边 FG 在 BC 边上, 设 EF 的长为 x ㎝, 矩形 EFGH 的面积为 y cm . (1) 试写出 y 与 x 之间的函数关系式 (2) 当 x 取何值时, y 有最大值? 是多少?
2

32

83.(09·泰安)如图 3-4-29 所示,矩形 ABCD 中,AB=8,BC=6,P 是线段 BC 上一点(P 不 与 B 重合) 是 DB 上一点,且 BP=DM,设 BP=x,△MBP 的面积为 y,则 y 与 x 之间的函数 ,M 关系式为 。

84.如图,在等边三角形 ABC 中,AB=2,点 D、E 分别在线段 BC、AC 上(点 D 与点 B、C 不重 0 合) ,且∠ADE=60 . 设 BD=x,CE=y. (1)求 y 与 x 的函数表达式; (2)当 x 为何值时,y 有最大值,最大值是多少?
A

E B D C

85. 已 知 : 如 图 , 直 角 梯 形 ABCD 中 , AD∥ BC, ?A ? 90 , BC ? CD ? 10 ,
?

4 (DM/CD=4/5) 5 (1)求梯形 ABCD 的面积; (2)点 E,F 分别是 BC,CD 上的动点,点 E 从点 B 出发向点 C 运动,点 F 从点 C 出发向 点 D 运动, 若两点均以每秒 1 个单位的速度同时出发, 连接 EF . △EFC 面积的最大值, 求 并说明此时 E,F 的位置. sin C ?

A

D

F
B E M
N
C
是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片, 为原点,点 轴的正半轴上, , . ,将纸片沿 翻折,使点 落在 边上的点 处,求 在

86.(08 兰州)如图, 轴的正半轴上,点 在 (1)在 边上取一点 两点的坐标;

33

87.(2)如图 19-2,若 上有一动点 (不与 重合)自 点沿 方向向 点匀 速运动,运动的速度为每秒 1 个单位长度,设运动的时间为 秒( ) ,过 点作 的平行线交 于点 ,过点 作 的平行线交 于点 .求四边形 的面积 与时间 之间的函数关系式;当 取何值时, 有最大值?最大值是多少?

88(3)在(2)的条件下,当 为何值时,以 求出相应的时刻点 的坐标.

为顶点的三角形为等腰三角形,并

89.(2010 湖南长沙)如图,在平面直角坐标系中,矩形 OABC 的两边分别在 x 轴和 y 轴上,

OA ? 8 2cm, OC ? 8cm ,现有两动点 P、Q 分别从 O、C 同时出发,P 在线段 OA 上沿 OA 方
向以每秒 2 cm 的速度匀速运动,Q 在线段 CO 上沿 CO 方向以每秒 1cm 的速度匀速运动.设 运动时间为 t 秒. (1)用 t 的式子表示△OPQ 的面积 S;

90.(2)求证:四边形 OPBQ 的面积是一个定值,并求出这个定值;

91.(3)当△OPQ 与△PAB 和△QPB 相似时,抛物线 y ?

1 2 x ? bx ? c 经过 B、P 两点,过线 4

段 BP 上一动点 M 作 y 轴的平行线交抛物线于 N,当线段 MN 的长取最大值时,求直线 MN 把 四边形 OPBQ 分成两部分的面积之比.
34

92.如图在△ABC 中, 与 BC 垂直。 AB AB=12.BC=24.动点 P 从点 A 开始沿 AB 方向向 B 点以 2/S 的速度运动。动点 Q 从 B 点开始沿 BC 向 C 点以 4/S 的速度运动,如果 P、Q 分别同时从 AB 出发。 (1)如果△PBQ 的面积为 S,写出 S 与运动时间 t 的关系式及 t 的取值范围。当 t 为何值时 面积 S 最大,最大是多少?

(2)在 P、Q 运动过程中当 t 为何值时△PQB 与△ABC 相似

93.(2010 福建福州)如图,在△ABC 中,∠C=45°,BC=10,高 AD=8,矩形 EFPQ 的一 边 QP 在 BC 边上,E、F 两点分别在 AB、AC 上,AD 交 EF 于点 H. (1)求证: = 设 EF=x,当 x 为何值时,矩形 EFPQ 的面积最大?并求其最大值;

AH EF ; (2) AD BC

( 第 94.(3)当矩形 EFPQ 的面积最大时,该矩形 EFPQ 以每秒 1 个单位的速度沿射线 QC 匀速运 21 动(当点 Q 与点 C 重合时停止运动),设运动时间为 t 秒,矩形 EFFQ 与△ABC 重叠部分的面 题) 积为 S,求 S 与 t 的函数关系式.

35

36

二次函数的定义
(考点:二次函数的二次项系数不为 0,且二次函数的表达式必须为整式) 1、下列函数中,是二次函数的是 . 2 2 2 ①y=x -4x+1; ②y=2x ; ③y=2x +4x; ④y=-3x; 2 ⑤y=-2x-1; ⑥y=mx +nx+p; ⑦y =(4,x) ; ⑧y=-5x。 2 2、在一定条件下,若物体运动的路程 s(米)与时间 t(秒)的关系式为 s=5t +2t,则 t= 4 秒时,该物体所经过的路程为 。 2 2 3、若函数 y=(m +2m-7)x +4x+5 是关于 x 的二次函数,则 m 的取值范围为 。 m -2 4、若函数 y=(m-2)x +5x+1 是关于 x 的二次函数,则 m 的值为 。 6、已知函数 y=(m-1)x
m2 +1

+5x-3 是二次函数,求 m 的值。
2

二次函数的对称轴、顶点、最值
(技法:如果解析式为顶点式 y=a(x-h) +k,则最值为 k;如果解析式为一般式 y=ax2+bx+c 2 4ac-b 则最值为 4a 1.抛物线 y=2x2+4x+m2-m 经过坐标原点,则 m 的值为 。 2 2.抛物 y=x +bx+c 线的顶点坐标为(1,3) ,则 b= ,c= . 2 3.抛物线 y=x +3x 的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2 4.若抛物线 y=ax -6x 经过点(2,0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) A. 13 B. 10 C. 15 D. 14 2 5.若直线 y=ax+b 不经过二、四象限,则抛物线 y=ax +bx+c( ) A.开口向上,对称轴是 y 轴 B.开口向下,对称轴是 y 轴 C.开口向下,对称轴平行于 y 轴 D.开口向上,对称轴平行于 y 轴 1 2 6.已知抛物线 y=x +(m-1)x- 的顶点的横坐标是 2,则 m 的值是_ . 4 7.抛物线 y=x2+2x-3 的对称轴是 。 8.若二次函数 y=3x2+mx-3 的对称轴是直线 x=1,则 m= 。 n 9.当 n=______,m=______时,函数 y=(m+n)x +(m-n)x 的图象是抛物线,且其顶点在 原点,此抛物线的开口________. 10.已知二次函数 y=x2-2ax+2a+3,当 a= 时,该函数 y 的最小值为 0. 11.已知二次函数 y=mx2+(m-1)x+m-1 有最小值为 0,则 m= ______ 。 12.已知二次函数 y=x2-4x+m-3 的最小值为 3,则 m= 。 函数 y=ax +bx+c 的图象和性质 1.抛物线 y=x +4x+9 的对称轴是 。 2 2.抛物线 y=2x -12x+25 的开口方向是 ,顶点坐标是 。 3.试写出一个开口方向向上,对称轴为直线 x=-2,且与 y 轴的交点坐标为(0,3)的抛 物线的解析式 。 4.通过配方,写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标: 1 2 1 2 2 (1)y= x -2x+1 ; (2)y=-3x +8x-2; (3)y=- x +x-4 2 4
2 2

5.把抛物线 y=x +bx+c 的图象向右平移 3 个单位,在向下平移 2 个单位,所得图象的解析 2 式是 y=x -3x+5,试求 b、c 的值。 6.把抛物线 y=-2x +4x+1 沿坐标轴先向左平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位,问所得的 抛物线有没有最大值,若有,求出该最大值;若没有,说明理由。
2

2

37

7.某商场以每台 2500 元进口一批彩电。如每台售价定为 2700 元,可卖出 400 台,以每 100 元为一个价格单位,若将每台提高一个单位价格,则会少卖出 50 台,那么每台定价为多少 元即可获得最大利润?最大利润是多少元?

函数 y=a(x-h) 的图象与性质
1.填表: 抛物线
y ? ?3? x ? 2 ?
y ?
2
2

2

开口方向

对称轴

顶点坐标

1 ? x ? 3?2 2
2 2

2.已知函数 y=2x ,y=2(x-4) ,和 y=2(x+1) 。 (1)分别说出各个函数图象的开口方、对称轴和顶点坐标。 2 2 2 (2)分析分别通过怎样的平移。可以由抛物线 y=2x 得到抛物线 y=2(x-4) 和 y=2(x+1) ? 3.试写出抛物线 y=3x 经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。 2 (1)右移 2 个单位; (2)左移 个单位; (3)先左移 1 个单位,再右移 4 个单位。 3 1 2 4.试说明函数 y= (x-3) 的图象特点及性质(开口、对称轴、顶点坐标、增减性、最值) 。 2 1 2 5.二次函数 y=a(x-h) 的图象如图:已知 a= ,OA=OC,试求该抛物线的解析式。 2
2

二次函数的增减性
1.二次函数 y=3x2-6x+5,当 x>1 时,y 随 x 的增大而 ;当 x<1 时,y 随 x 的增 大而 ;当 x=1 时,函数有最 值是 。 2.已知函数 y=4x2-mx+5,当 x> -2 时,y 随 x 的增大而增大;当 x< -2 时,y 随 x 的增大 而减少;则 x=1 时,y 的值为 。 3.已知二次函数 y=x2-(m+1)x+1, x≥1 时, 随 x 的增大而增大, m 的取值范围是 当 y 则 . 1 5 4.已知二次函数 y=- x2+3x+ 的图象上有三点 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)且 3<x1<x2<x3, 2 2 则 y1,y2,y3 的大小关系为 .

二次函数的平移
技法:只要两个函数的 a 相同,就可以通过平移重合。将二次函数一般式化为顶点式 y=a(x 2 -h) +k,平移规律:左加右减,对 x;上加下减,直接加减 3 6.抛物线 y= - x2 向左平移 3 个单位,再向下平移 4 个单位,所得到的抛物线的关系式 2 为 。 7.抛物线 y= 2x2, ,可以得到 y=2(x+4}2-3。 2 8.将抛物线 y=x +1 向左平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位,所得到的抛物线的关系式 为 。 9. 如 果 将 抛 物 线 y=2x2 - 1 的 图 象 向 右 平 移 3 个 单 位 , 所 得 到 的 抛 物 线 的 关 系 式 为 。 10.将抛物线 y=ax2+bx+c 向上平移 1 个单位,再向右平移 1 个单位,得到 y=2x2-4x-1 则 a= ,b= ,c= . 2 11.将抛物线 y=ax 向右平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位,移动后的抛物线经过点(3, -1),那么移动后的抛物线的关系式为 _.

函数的交点
11.抛物线 y=x2+7x+3 与直线 y=2x+9 的交点坐标为
38



12.直线 y=7x+1 与抛物线 y=x2+3x+5 的图象有

个交点。 。

函数的的对称
13.抛物线 y=2x2-4x 关于 y 轴对称的抛物线的关系式为 14.抛物线 y=ax2+bx+c 关于 x 轴对称的抛物线为 y=2x2-4x+3,则 a= b= c=

函数的图象特征与 a、b、c 的关系
1.已知抛物线 y=ax2+bx+c 的图象如右图所示,则 a、b、c 的符号为( ) A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b>0,c=0 C.a>0,b<0,c=0 D.a>0,b<0,c<0 2 2.已知抛物线 y=ax +bx+c 的图象 2 如图所示,则下列结论正确的是( ) A.a+b+c> 0 B.b> -2a C.a-b+c> 0 D.c< 0 3.抛物线 y=ax2+bx+c 中,b=4a,它的图象如图 3,有以下结论: 2 ①c>0; ②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0 ④b -4ac<0 ⑤abc< 0 ;其中正确 的为( ) A.①② B.①④ C.①②③ D.①③⑤ 2 4.当 b<0 是一次函数 y=ax+b 与二次函数 y=ax +bx+c 在同一坐标系内的图象可能是 (



5.已知二次函数 y=ax +bx+c,如果 a>b>c,且 a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的 ( )
y O A
2

2

y
1

y
1

y
1

x

O B

x

O C

x

O D

1

x

6.二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图 5 所示,那么 abc,b -4ac, 2a+b,a+b+c 四个代数式中,值为正数的有( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 c 7.在同一坐标系中,函数 y= ax2+c 与 y= (a<c)图象可能是图所示的( ) x

2

A 8.反比例函数 y= ( )

B

C

D

k 2 2 的图象在一、三象限,则二次函数 y=kx -k x-1c 的图象大致为图中的 x

A C D
39

B

k 2 中,当 x> 0 时,y 随 x 的增大而增大,则二次函数 y=kx +2kx 的图象 x 大致为图中的( ) 9.反比例函数 y=

A B C D 2 10.已知抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号; ②当 x=1 和 x=3 时,函数值相同; ③4a+b=0; ④当 y=-2 时, x 的值只能取 0; 其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2 11.已知二次函数 y=ax +bx+c 经过一、三、四象限(不经过原点和第二象限)则直线 y =ax+bc 不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

二次函数与 x 轴、 轴的交点 y (二次函数与一元二次方程的关系)
1. 如果二次函数 y=x +4x+c 图象与 x 轴没有交点,其中 c 为整数,则 c= (写 一个即可) 2 2. 二次函数 y=x -2x-3 图象与 x 轴交点之间的距离为 2 3. 抛物线 y=-3x +2x-1 的图象与 x 轴交点的个数是( ) A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点 2 4. 如图所示,二次函数 y=x -4x+3 的图象交 x 轴于 A、B 两点, 交 y 轴于点 C, 则△ ABC 的面积为( ) A.6 B.4 C.3 D.1 2 5. 已知抛物线 y=5x +(m-1)x+m 与 x 轴的两个交点在 y 轴同侧,它们的距离平方等于 49 为 ,则 m 的值为( ) 25 A.-2 B.12 C.24 D.48 2 6. 若二次函数 y=(m+5)x +2(m+1)x+m 的图象全部在 x 轴的上方,则 m 的取值范围是 2 7. 已知抛物线 y=x -2x-8, (1)求证:该抛物线与 x 轴一定有两个交点; (2)若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B,且它的顶点为 P,求△ABP 的面积。
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函数解析式的求法
一、已知抛物线上任意三点时,通常设解析式为一般式 y=ax +bx+c,然后解三元方程组求 解; 1.已知二次函数的图象经过 A(0,3) 、B(1,3) 、C(-1,1)三点,求该二次函 数的解析式。 2.已知抛物线过 A(1,0)和 B(4,0)两点,交 y 轴于 C 点且 BC=5,求该二次函 数的解析式。
2

二、已知抛物线的顶点坐标,或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时,通常设 2 解析式为顶点式 y=a(x-h) +k 求解。 3.已知二次函数的图象的顶点坐标为(1,-6) ,且经过点(2,-8) ,求该二次函 数的解析式。 4.已知二次函数的图象的顶点坐标为(1,-3) ,且经过点 P(2,0)点,求二次函数的 解析式。
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三、已知抛物线与轴的交点的坐标时,通常设解析式为交点式 y=a(x-x1)(x-x2)。 5.二次函数的图象经过 A(-1,0) ,B(3,0) ,函数有最小值-8,求该二次函数 的解析式。 6.已知 x=1 时,函数有最大值 5,且图形经过点(0,-3) ,则该二次函数的解析 式 。 2 7 . 抛 物 线 y=2x +bx+c 与 x 轴 交 于 ( 2 , 0 ) ( - 3 , 0 ) 则 该 二 次 函 数 的 解 析 、 , 式 。 2 2 8.若抛物线 y=ax +bx+c 的顶点坐标为(1,3) ,且与 y=2x 的开口大小相同,方向相反,则 该二次函数的解析式 。 2 9.抛物线 y=2x +bx+c 与 x 轴交于(-1,0)(3,0) 、 ,则 b= ,c= . 10.若抛物线与 x 轴交于(2,0)、 (3,0) ,与 y 轴交于(0,-4),则该二次函数的解析 式 。 11.根据下列条件求关于 x 的二次函数的解析式 (1)当 x=3 时,y 最小值=-1,且图象过(0,7) 3 (2)图象过点(0,-2) (1,2)且对称轴为直线 x= 2 (3)图象经过(0,1) (1,0) (3,0) (4)当 x=1 时,y=0; x=0 时,y= -2,x=2 时,y=3 (5)抛物线顶点坐标为(-1,-2)且通过点(1,10) 11.当二次函数图象与 x 轴交点的横坐标分别是 x1= -3,x2=1 时,且与 y 轴交点为(0, -2) ,求这个二次函数的解析式 2 12.已知二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴交于(2,0)、 (4,0) ,顶点到 x 轴的距离为 3, 求函数的解析式。 1 11 13.知二次函数图象顶点坐标(-3, )且图象过点(2, ) ,求二次函数解析式及图象 2 2 与 y 轴的交点坐标。 14.已知二次函数图象与 x 轴交点(2,0), (-1,0)与 y 轴交点是(0,-1)求解析式及顶点坐标。 1 15.若二次函数 y=ax2+bx+c 经过(1,0)且图象关于直线 x= 对称,那么图象还必定经 2 过哪一点? 16.y= -x2+2(k-1)x+2k-k2,它的图象经过原点,求①解析式 ②与 x 轴交点 O、A 及顶 点 C 组成的△OAC 面积。 1 17.抛物线 y= (k2-2)x2+m-4kx 的对称轴是直线 x=2,且它的最低点在直线 y= - x+2 2 上,求函数解析式。

二次函数应用
(一)经济策略性 1.某商店购进一批单价为 16 元的日用品,销售一段时间后,为了获得更多的利润,商店决 定提高销售价格。经检验发现,若按每件 20 元的价格销售时,每月能卖 360 件若按每件 25 元的价格销售时,每月能卖 210 件。假定每月销售件数 y(件)是价格 X 的一次函数. (1)试求 y 与 x 的之间的关系式. (2)在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下,问销售价格定为多少时,才能使每月获 得最大利润,每月的最大利润是多少?(总利润=总收入-总成本) 2.有一种螃蟹,从海上捕获后不放养最多只能活两天,如果放养在塘内,可以延长存活时 间,但每天也有一定数量的蟹死去,假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变,现有一经 销商,按市场价收购了这种活蟹 1000 千克放养在塘内,此时市场价为每千克 30 元,据测 算,以后每千克活蟹的市场价每天可上升 1 元,但是放养一天需各种费用支出 400 元,且 平均每天还有 10 千克蟹死去,假定死蟹均于当天全部售出,售价都是每千克 20 元。 (1)设 X 天后每千克活蟹的市场价为 P 元,写出 P 关于 X 的函数关系式。
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(2)如果放养 X 天后将活蟹一次性出售,并记 1000 千克蟹的销售额为 Q 元,写出 Q 关于 X 的函数关系式。 (2)该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获最大利润(利润=销售总额—收购成本— 费用) ,最大利润是多少? 3.某商场批单价为 25 元的旅游鞋。为确定 一个最佳的销售价格,在试销期采用多种价格 进性销售,经试验发现:按每双 30 元的价格销售时,每天能卖出 60 双;按每双 32 元的价 格销售时,每天能卖出 52 双,假定每天售出鞋的数量 Y(双)是销售单位 X 的一次函数。 (1)求 Y 与 X 之间的函数关系式; (2)在鞋不积压,且不考虑其它因素的情况下,求出每天的销售利润 W(元)与销售单 价 X 之间的函数关系式; (3)销售价格定为多少元时,每天获得的销售利润最多?是多少?

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