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高中数学人教版选修2-3同步练习:1.2.2《排列与组合》


课时训练 3
一、选择题 1.的值为( A.36 解析:=120. ). B.45 C.120

组合

D.720

2.(2014 大纲全国高考)有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组, 则不同的选法共有( A.60 种 ). B.70 种 C.75 种 D.1

50 种

解析:从 6 名男医生中选出 2 名有种选法,从 5 名女医生中选出 1 名有种选法,故共有· ×5=75 种选法,选 C. 3.从 5 名男同学、4 名女同学中选出 3 名同学组队参加课外活动,要求男、女同学都有,则不同的方案个 数有( A.140 )个. B.100 C.80 D.70

解析:(排除法)=70,故选 D. 4.(2014 山东日照高三一模)从 8 名女生和 4 名男生中,抽取 3 名学生参加某档电视节目,如果按性别比例 分层抽样,则不同的抽取方法数为( A.224 B.112 ). C.56 D.28

解析:根据分层抽样,从 8 个人中抽取男生 1 人,女生 2 人,所以取 2 个女生 1 个男生的方法有=112. 5.将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中,若每个信封放 2 张,其中标号为 1,2 的卡片放 入同一信封,则不同的放法共有( A.12 种 B.18 种 ). C.36 种 D.54 种

解析:将标号为 1,2 的卡片放入一个信封,有=3 种,将剩下的 4 张卡片放入剩下的 2 个信封中,有=6 种,共 有· =3×6=18 种. 6.(2014 安徽高考)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为 60° 的共有( A.24 对 B.30 对 C.48 对 D.60 对 )

解析:正方体六个面的对角线共有 12 条,则有=66 对,而相对的两个面中的对角线其夹角都不是 60° ,则共 有 3×=18 对,而其余的都符合题意,故有 66-18=48 对. 二、填空题 7.某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议,甲需 2 人参加,乙、丙各需 1 人参加,从 10 人中选派 4 人参加 这三个会议,不同的安排方法有 种.

解析:从 10 人中选派 4 人有种方法,对选出的 4 人具体安排会议有种方法,由分步乘法计数原理知,不同 的选派方法有=2 520 种.

1

8.(2014 上海奉贤高三二模)将外形和质地一样的 4 个红球和 6 个白球放入同一个袋中,将它们充分混合 后,现从中取出 4 个球,取出一个红球记 2 分,取出一个白球记 1 分,若取出 4 个球总分不少于 5 分,则有 种不同的取法. 解析:依题意由取出 4 个球总分不少于 5 分取法的计算,可以通过将总的情况减去小于 5 分的情况.由于 总的情况有=210 种.小于 5 分只有都取到白球这种情况.所以共有=15 种.所以取出 4 个球总分不少于 5 分,有 195 种不同的取法. 9.某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友,每位朋友 1 本,则不同的 赠送方法共有 种.

解析:依题意,就所剩余的 1 本进行分类: 第 1 类,剩余的是 1 本画册,此时满足题意的赠送方法有 4 种; 第 2 类,剩余的是 1 本集邮册,此时满足题意的赠送方法有=6 种. 因此,满足题意的赠送方法共有 4+6=10 种. 三、解答题 10.(2014 山东淄博一中 4 月月考)平面内有 12 个点,其中有 4 个点共线,此外再无任何 3 点共线,以这些点 为顶点,可得多少个不同的三角形? 解:我们把从共线的 4 个点中取点的多少作为分类的标准: 第一类:共线的 4 个点中有 2 个点作为三角形的顶点,共有· =48(个)不同的三角形; 第二类:共线的 4 个点中有 1 个点作为三角形的顶点,共有· =112(个)不同的三角形; 第三类:共线的 4 个点中没有点作为三角形的顶点,共有=56(个)不同的三角形. 由分类计数原理,不同的三角形共有 48+112+56=216(个). 11.有 4 个不同的球,4 个不同的盒子,把球全部放入盒内. (1)共有多少种放法? (2)恰有一个盒子不放球,有多少种放法? (3)恰有一个盒子放 2 个球,有多少种放法? (4)恰有两个盒子不放球,有多少种放法? 解:(1)一个球一个球地放到盒子里去,每个球都可有 4 种独立的放法,由分步乘法计数原理知,放法共有 44=256 种. (2)为保证“恰有一个盒子不放球”,先从 4 个盒子中任意拿出去 1 个,即将 4 个球分成 2,1,1 三组,有 种分法;然后再从 3 个盒子中选一个放 2 个球,其余 2 个球两个盒子全排列即可.由分步乘法计数原理知, 共有放法· · · =144 种.

2

(3)“恰有一个盒子放 2 个球”,即另外的 3 个盒子放 2 个球,而且每个盒子至多放 1 个球,即另外三个 盒子中恰有一个空盒.因此“恰有一个盒子放 2 个球”与“恰有 1 个盒子不放球”是一回事,故也有 144 种 放法. (4)先从 4 个盒子中任意拿走两个有种拿法,问题转化为“4 个球,两个盒子,每个盒子必放球,有多少 种放法?”从放球数目看,可分为(3,1),(2,2)两类.第一类:可从 4 个球中先选 3 个,然后放入指定的一个盒子 中,有· 种放法;第二类:有种放法.因此共有· =14 种放法.由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子不放球”的 放法有· 14=84 种. 12.六本不同的书,按照以下要求处理,各有几种分法? (1)一堆一本,一堆两本,一堆三本; (2)甲得一本,乙得两本,丙得三本; (3)一人得一本,一人得两本,一人得三本; (4)平均分成三堆; (5)平均分给甲、乙、丙三人. 解:(1)先在六本书中任取一本,作为一堆,有种取法;再从余下的五本书中任取两本,作为一堆,有种取法;再 从余下三本中取三本作为一堆,有种取法,故共有分法· · =60 种. (2)由(1)知,分成三堆的方法有· · 种,而每种分组方法仅对应一种分配方法,故甲得一本,乙得两本,丙得 三本的分法亦为· · =60 种. (3)由(1)知,分成三堆的方法有· · 种,但每一种分组方法又有种不同的分配方案,故一人得一本,一人得 两本,一人得三本的分法有· · · =360 种. (4)把六本不同的书分成三堆,每堆两本,与把六本不同的书分给甲、乙、丙三人,每人两本的区别在 于,后者相当于把六本不同的书平均分成三堆后,再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人,因此,设 把六本不同的书平均分成三堆的方法有 x 种,那么把六本不同的书分给甲、乙、丙三人每人两本的分法 就有 x· 种.而六本书分给甲、乙、丙三人每人两本的分法可以理解为:三个人一个一个地来取书,甲从六 本不同的书中任取出两本的方法有种,甲不论用哪一种方法取得两本书后,乙再从余下的四本书中取书 有种方法,而甲、乙不论用哪一种方法各取两本书后,丙从余下的两本中取两本书,有种方法,所以一共 有· · =90(种)方法,所以 x· · =90,x=15,即平均分成三堆有 15 种分法. (5)由(4)知平均分给甲、乙、丙三人有 90 种分法.

3


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