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固定收益证券的估值、定价与计算 课件 (11)


固定收益证券
第12章:债券衍生品

主讲教师:李磊宁
? 单位:中央财经大学金融工程系 ? 主讲课程:《金融工程学》/《固定收益证券》

? 联系方式:
√电子邮件:lileining3631@126.com

内容提要

1 债券远期
2 债券期货 3 债券期权

债券远期
? 债券远期合约

√债券远期是交易双方约定在未来某一日期,以约定价格 和数量买卖标的债券的金融合约。 √债券远期交易的一个重要功能就是为债券现券交易提供做 空机制。当市场利率上涨时,债券持有者将面临债券价格 下跌的风险,通过做空远期合约,债券持有者可以用远期 合约的盈利抵补债券现券市值的损失。

债券远期
? 债券远期的定价

√两个组成部分:一是确定债券远期理论价格,二是确定 远期合约的价值。 √市场报价是“市场远期价格”,在远期合约到期前的某 个时刻,这个价格由远期市场上的供求以及某些复杂因素 (如投机)决定,并不一定是“远期理论价格”——这个 价格的成立要求金融市场满足无套利条件,即根据这个远 期价格,交易者无法在即期合约和远期合约之间进行无风 险套利。 √远期合约的价值是交易者进入远期买卖合约,成为多头 或者空头后,由合约本身带来的潜在的损益。

债券远期
? 远期价格与即期价格

在当前时刻(零时刻),某零息债券当前的市场价格为S0, 以该债券为交割债券,有效期为T的债券远期合约的理论 价格为F0 ,则两者之间有如下的关系(其中r为无风险利 率。 )

F0 ? S 0 e

rT

远期价格高于即期价格,因为直接购买债券并持有一段时间 会导致产生持有成本(主要是财务成本),而做多远期可 以避免持有成本。

债券远期
? 例子:假设一个30天期限的远期合约,标的债券为

1 年 的 贴 现 债 券 , 设 30 天 期 的 无 风 险 收 益 率 为 2.25%,而标的债券的现在价格为97元。根据远 期合约期间不支付收益的债券远期价格公式, T=30/365=0.082年,r=2.25%,S0=97元,则每 百元面值债券的远期价格为

F ? S0 e

rT

? 97 ? e

0.0225? 0.082

? 97.1791

债券远期
? 附息债券有可能在远期合约期间发生票面利息的支付,属 于“有收益”资产。因此,在定价时要减去这个收益。 ? 设当前时刻(零时刻)某附息债券的市场价格为S0,以该 债券为交割债券,有效期为T的债券远期合约的理论价格 为F0,r为无风险利率,则两者之间有如下的关系

F0 ? ( S 0 ? I )e rT

其中I为远期合约期间标的债券分得的票面利息的贴现值。

债券远期
? 例子:假设一个5年期债券,现在达成该券的270天远期 合约,标的债券的现在价格为102元。每百元面值债券在 6个月(0.5年)和12个月(1年)后,将收到4.14元的利 息,并且6个月和12个月的无风险利率为2.1%和2.5%, 270天期限的无风险利率为2.4%。由于T=270/365=0.74 年,r=2.4%,S0=102元,则 I ? 4.14 ? e?0.5?0.021 ? 4.14 ? e?1?0.025 ? 8.1345
F ? ( S0 ? I )erT ? (102 ? 8.1345) ? e0.024?0.74 ? 95.5474

债券远期
? 债券远期合约的价值

远期合约的价值在合约产生的时候为零,以后会随着时间 的推移发生变化,要么为正价值,要么为负价值。对于一 方为价值,对于另一方就是相等数额的负价值。影响远期 合约价值的主要因素就是远期价格。 设当前以零息债券为标的债券的远期债券的价格为F0,K是 远期合约的交割价格,交割日(远期合约到期日)为T, 无风险利率为r,f为当前远期合约的价值。

f ? ( F0 ? K )e ? rT

f ? S 0 ? Ke

? rT

债券远期
? 例子:假设一个30天期限的远期合约,标的债券为1年的 贴现债券,设30天期的无风险收益率为2.25%,而标的债 券的现在价格为97元。根据远期合约期间不支付收益的 债 券 远 期 价 格 公 式 , T=30/365=0.082 年 , r=2.25% , S0=97元,远期合约的交割价格为96元,则远期合约的价 值为

f ? S0 ? Ke? rT ? 97 ? 96e?0.0225?0.082 ? 3.1733

债券远期
? 如果远期合约的标的债券为附息债券,则远期合 约的价值表示为
f ? S 0 ? I ? Ke ? rT

这里I为远期合约有效期间内标的债券分得的票息的贴现值。

债券远期
? 例子:假设一个5年期债券,现在达成该券的270天远期 合约,标的债券的现在价格为102元。每百元面值债券在 6个月(0.5年)和12个月(1年)后,将收到4.14元的利 息,并且6个月和12个月的无风险利率为2.1%和2.5%, 270天期限的无风险利率为2.4%。由于T=270/365=0.74 年,r=2.4%,S0=102元,远期合约的交割价格为94元, 则

I ? 4.14 ? e?0.5?0.021 ? 4.14 ? e?1?0.025 ? 8.1345
f ? S0 ? I ? Ke? rT ? 102 ? 8.1345 ? 94e?0.024?0.74 ? 1.5202

债券远期
? 以收益比率的方式表达带息资产的分红数额大小,则
f ? S 0 e ? qT ? Ke ? rT

? 这里q是债券票息与债券购买价格之比,相当于债券的 “当期收益率”。 ? 例子:设一个5年期债券,现在达成该券的270天远期合 约,标的债券的现在价格为102元,以连续复利表示的票 息率为2.5%,即q=2.5%,270天期限的连续复利无风险 利率为2.4%。由于T=270/365=0.74年,r=2.4%, S0=102元,远期合约的交割价格为100元,则根据远期 合约期间支付收益的债券远期价格公式,得每份远期合约 的价值为。e? qT ? Ke ? rT ? 102e ?0.025?0.74 ? 100e ?0.024?0.74 ? 1.8907 f ? S0

债券期货
? 债券期货合约

以债券为交割标的物的期货合约为债券期货合约。我国目 前没有债券期货交易。美国、日本、英国和一部分欧洲国 家的债券期货交易比较活跃,特别是美国芝加哥商业交易 所集团(CME group)的国债期货交易居于世界领先地 位。了解期货合约的内容是分析债券期货的第一步。

债券期货
? 合约主要内容

√合约规模:表明一张期货合约的面值大小。除了2年期 国债期货合约规模为200000美元外,其余各个期货合约 规模都是100000美元 √交割范围:指符合交割条件的美国国债。 √发票价格:空方交割后收到的现金额,也即多方交割时支 付的现金额。 √交割范围:指符合交割条件的美国国债。

√合约月份:顾客在任何一个时点上可以参与的所有期货交 易品种的交割月份。所有这些交易品种都是随着时间的推 移循环往复的。 √报价方式:期货报价方式与国债现货报价方式相同。

债券期货
? 转换因子与最便宜交割债券 √设TIA(total invoice amount)为多方支付的总发票价格,

PIA(principal invoice amount)为含在总发票价格中 的本金发票价格,AI(accrued interest)为交割债券的累 计利息,CF(conversion factor)为转换因子, FS(futures settlement )为期货结算价格。空方每交割一 张时,多方支付的现金总额为

TIA ? PIA ? AI PIA ? FS ? CF ? 1000

债券期货
? 这里的1000的作用是将百分比报价转换成面值为10万的 期货合约的面值,累计利息是指交割债券自上个票息日开 始到交割日累计下来的票面利息额。 ? 由上式看出,多方支付的价款由期货结算价格与转换因子 共同决定。 ? 转换因子是假设可供交割的债券面值为1元,然后用6%的 到期收益率计算出来的该债券在交割月份第一天的净价格。 每一个可交割的债券都有其特定的转换因子。显然,如果 某个可交割债券的票息率恰好为6%,则其转换因子为1; 如果一个可交割债券的票息率大于6%,则其转换因子大 于1;票息率小于6%的可交割债券的转换因子小于1。

债券期货
? 例子:某可交割的国债票息率8%,还有18年零4个月到 期,根据计算转换因子的相关规定,该国债的到期日假定 为18年零3个月,先用6%的贴现率计算出该债券在距今3 个月以后的(全)价格是 36 4 100 4?? ? ? 125 .83 t 36 (1 ? 3%) t ?1 (1 ? 3%)

? 然后再把这个价格贴现到现在,得到今天的价格。本例中 的贴现率是 (1 ? 3%) ? 1 ? 1.4889 %

债券期货
? 所以,今天债券的价格是125.83/(1+1.4889%)=123.99。 由于这个价格是全价,所以还要减去3个月的累计利息2 元,这样以来,净价是123.99-2=121.99。所以,该债券 的转换因子是121.99/100=1.2199。

债券期货
? 一旦知道了转换因子,交易者很容易根据公式计 算出发票价格。

? 例如,2007年9月到期的美国中期国债期货合约 的当前价格为106-19,交割债券为票面利率为51/8,到期日为2016年的国债,转换因子是 0.9424。本金发票价格为 106.59375?0.9424?1000=100453.95。假设交割 债券自上个票息日开始,直到交割日为止的累计 利息(百元面值)为2.4元,则10万面值累计利息 为2.4?1000=2400(元)。则总发票价格 =100453.95+2400=102853.95。

债券期货
? 规定转换因子的目的之一,是为了空方无论选择 什么样的交割债券,对交易双方的福利没有影响。 但实践中人们发现,由于交割债券现货价格与本 金发票价格之间存在差距,所以会发生由交割行 为本身产生的损益问题。

债券期货
? 例子:2007年7月24日,某空方交易者看到某期货合 约结算报价是106-19,有A、B两只债券可供交割,A 是票息率为4-3/4,2014年到期,当前报价为99.50元, 转换因子是0.9335;B是票息率为5-1/8,2016年到期, 当前报价为101.42187元,转换因子为0.9424。用SA 代表A债券的本金发票价格与债券现货价格之差,SB 代表B债券的本金发票价格与债券现货价格之差,则

SA ? 106 .59375 ? 0.9335 ? 1000 ? 99.5 ? 1000 ? 5.27 SB ? 106 .59375 ? 0.9424 ? 1000 ? 101 .42187 ? 1000 ? ?967 .92

债券期货
? 最便宜交割债券(cheapest to deliver security, 以下简称CTD),就是存在于一组可交割债券中 的,使空方交割收益最大化的债券,或者是使空 方交割损失最小化的那只(或者若干只)债券。 ? 上例两只可交割的债券中,A债券就是最便宜交 割债券。国债期货价格的变化,与CTD的变化有 着密切的关系。

债券期货
? 期货价格的决定

? 设当前时刻(零时刻)最便宜交割债券的市场价 格为S0,有效期为T的债券期货合约的理论价格 为F0,I为最便宜交割债券的在期货合约期间的累 计利息贴现值,则债券期货的价格是

F0 ? ( S 0 ? I )e rT

债券期货
? 例子:某国债合约品种的CTD是票息率为10%的债券,每 年付息两次,转换因子是1.400。假定该国债期货合约到 期日为270天以后。CTD的上个票息日是60天以前,下个 票息日是122天以后,再下个票息日是305天以后。当前 利率期限结构是扁平的,利率为8%。假定CTD的价格当 前为110美元。求当前期货合约的理论价格为多少?

债券期货

60日

122日

148日

35日

票 息 日

当前

票 息 日

期货到期日

票 息 日

270日
例子中的期货合约的时间表

债券期货
? 求期货价格可以转化为求CTD在期货合约到期时的理论价 格(净价格)。为此,先求得当前时刻的CTD的全价格为
60 110 ? ? 5 ? 111 .648 60 ? 122

? 对于122天(0.3342年)后收到的利息5元来讲,其现值 5e ?0.08?0.3342 ? 4.868 为

(111 .648 ? 4.868)e 0.08?0.7397 ? 113 .290 ? CTD在期货合约到期日时的理论价格为

债券期货
? 这个价格并没有考虑第2个票息日到交割日之间共148天 的累计利息,所以把这个累计利息减去后,得到CTD的净 148 价格 113 .290 ? 5 ? ? 109 .246 148 ? 35

? 根据转换因子的定义以及它与期货价格的关系,期货的价 格等于交割债券的净价格除以转换因子
109 .246 ? 78.033 1.400

债券期货
? 债券期货的应用

? 套期保值
? 设N是合理的保值工具数量,B是债券组合保值期末的市 值,DP是债券组合保值期末的久期,F是期货价格,DF 是期货交割债券保值期末的久期,则

BDP N? FDF

债券期货
? 例子:某投资者手中有1000万美元市值的政府债券,债 券组合的久期为6.8。由于担心未来利率上涨,该投资者 做空利率期货合约来规避风险。当前有关期货报价为 93.0625,期货合约的面值为10万美元。投资者保值工具 是国债期货合约,其CTD的久期为9.2。所以,

BDP 10000000 ? 6.8 N? ? ? 79.42 FDF 93062 .5 ? 9.2

债券期货
? 如果知道了相关债券的基点值(一般用PVBP代表),也 可以按照所谓“基于基点值的套期保值”方法,这一方法 与“基于久期工具的套期保值”方法本质是一回事,因为 基点值就是债券组合当收益率变动为一个基点时的金额久 期。基于基点值的套期保值的公式是 PVBPP N? ? CFCTD PVBPCTD ? 其中,PVBPp是债券组合的基点值,而PVBPCTD是 CTD的基点值,而CFCTD代表CTD的转换因子。

债券期货
? 例如,2007年7月25日,某投资者拥有面值1000万的美 国国债“5-1/8%-16”(代表票息率5-1/8%、2016年到期 的美国国债,下同),该债券的基点值(每百万面值)为 713.50美元,打算采用同年9月份期货合约作为保值工具。 前面已经提到过,该合约的CTD是国债“4-3/4%-14”, 该债券的基点值(每百万面值)为572.30美元,转换因子 为0.9335。合适的保值比率为 713 .50 N? ? 0.9335 ? 1.1638 572 .30 ? 这表明每1元保值对象需要1.1638面值的期货合约 来保值,对于1000万美元面值的“5-1/8%-16”债券而言, 需要的期货合约为116张合约。

债券期货
? 调整债券组合利率敏感度 ? 设N代表合理的期货合约数量,DT代表目标久期, DI 代表组合初始久期,BI 代表组合市值,Dctd 代 表CTD久期,Bctd 代表CTD市值,CFCTD 代表CTD 转换因子,则
? ( DT ? DI ) BI N ?? ? Dctd ? Bctd ? ? ? CFCTD ?

债券期货
? 例子:债券组合由一只债券组成,该债券剩余期限5年, 票息率6%,YTM=5.5%,当前价格为102.16,久期为 4.28。目前国债期货的CTD是剩余年限16年、票息率为 7%、YTM为6.25%的债券。当前CTD的价格为107.519, 久期是9.79,转换因子是0.910632。目标是通过做多期 货合约,使债券组合的久期达到7,适当的期货合约数量 ? (7 ? 4.28) ? 102 .16 ? 是N ?? ? ? 0.910632 ? 0.2403 ? 9.79 ? 107 .519 ?

? 说明组合中的每1元市值债券对应的期货合约的市值是 0.2403,如果我们的组合市值为100000元,需要做多

债券期货
? 基差套利
? 基差=现货价格-调整后的期货价格。调整后的期货价格= 期货报价?转换因子。 ? 例如,2007年7月24日,人们发现美国两只国债(即前面 提到过的两只国债,一只国债票息率4%-3/4%,剩余年限 14年,另一国债票息率5-1/8%,剩余年限16年)的现货 价格与期货价格以及转换因子,这样,运用公式马上可以 得到它们的基差,计算过程见下表。

债券期货
4-3/4%-14 5-1/8%-16

国债现货价格 -期货价格

99-16 106-19

101-13 106-19

? 转换因子
(调整后的期货价格) =基差

0.9335
≈99-162

0.9424
≈101-15

≈?0.2/32nds $5.26

≈31/32nds ($967.92)

交割收益

债券期货
? 现货市场条件的变化,总是使得在一定条件下某些债券容 易成为CTD。 ? 如果市场利率大大高于6%,久期大的债券交割的可能性 大,而当市场利率大大低于6%时,久期小的债券交割的 可能性大。 ? 这是因为当利率在高位并且继续上涨时,久期大的债券下 降的幅度大,持有的风险大,于是人们倾向于交割这样的 债券以规避持有风险;相反地,当利率处于低位并继续下 降时,久期小的债券上涨幅度小,久期大的债券上涨幅度 大,所以人们倾向于交割久期小的债券,保留久期大的债 券,以增加收益。

债券期货
? 这意味着,基差随着市场条件的变化而改变。于是,一些 交易者希望从基差的变化中获利。通过比较现货价格与调 整后的期货价格,交易者实施“贱买贵卖”的策略,可以 实现无风险(低风险)利润。具体策略分为“购买基差” 与“出售基差”两种。

债券期货
? 购买基差,即购买债券现货的同时做空期货,然后根据情 况准备对冲或者交割。当交易者预测未来整体市场利率水 平下降时(特别是下降到6%以下时),可以通过购买久 期大的债券的同时做空期货,并作好交割准备,这样就可 以完成套利过程。如果利率届时果然下降,交易者事前购 买的久期大的债券价格就有了可观的涨幅,如果这个涨幅 (在减去债券持有成本以后)超过了期货空头合约的涨幅 (意味着空头亏损)则可以平仓期货空头合约,同时出售 债券现货,锁定交易利润。而如果债券现货的涨幅小于期 货空头合约的涨幅,则可以进行抛售原有的久期大的债券 的同时,另选择一种久期小的债券进行交割,因为此时久 期小的债券一般为CTD。这就相当于抛售了基差大的债券, 购买了基差小的债券,而收获了基差的变动收益。

债券期货
? 销售基差,即销售债券现货的同时做多期货合约并做好交 割准备的策略。当交易者预测未来整体利率水平倾向于上 涨(特别是预测上涨超过6%)时,往往采取该策略。此 时,交易者抛售久期大的债券,同时做多期货等待交割。 一旦将来利率上涨,空方会选择久期大的债券进行交割。 这就相当于先高价卖掉债券以后,又通过交割的程序将它 们按照较低的价格买了回来,从而实现了套利。

债券期权与利率期权
? 利率期权合约:以各类债券收益率为标的物的期权。美国 芝加哥期权交易所(Chicago Board Options Exchange,简称CBOE)是全球最大的期权市场,也是 利率期权的主要交易地。CBOE现有4种利率期权品种可 供交易:分别是以美国13周国债贴现率为标的,以美国5 年期、10年期、30年期国债到期收益率为标的物的期权。 利率期权全部为欧式期权,分为看涨期权与看跌期权,到 期采用现金结算制度。

债券期权与利率期权
? 标的:以IRX为例,表示最近刚发行的美国13周 国债的贴现率,就是期权标的。

? 标的价值:是收益率(贴现率)的10倍。比如, 最新发行的30年期国债的到期收益率为7%,则 该品种期权(TYX)标的价值就是7×10=70。当 国债收益率发生变化时,标的价值必然发生变化。 如30年期国债收益率由7%下降到6.4%时,相应 的期权标的价值的变动为70-64=6,即6个点。

债券期权与利率期权
? 乘数:这里的100为乘数,以便于计算标的价值 的变动以及随之产生的期权盈亏。例如,某交易 者当前持有1份将要到期的TYX看涨期权,购买期 权时的执行价格为75,该期权当前按照78的标的 价值结算。该交易者的收益(不算期权费和其他 税费)是(78-75)×100=300(美元)。当然, 如果标的价值跌落到75以下,交易者就没有收益。

? 执行价格:约定按照这个价格与结算价格比较而 计算盈亏。执行价格按照一定的规则事先约定。

债券期权与利率期权
? 例子:美国30年期长期国债收益率为7%,当前对应的 TYX的标的价值为70。剩余期限为3个月,执行价格为70 的TYX的报价为1.5美元。某交易者预计美国30年期长期 国债收益率即将上涨,他为此购买了5份TYX利率看涨期 权,总共花费为1.5×100×5=750(美元)。本例中,交 易者的盈亏平衡点是70+1.5=71.5美元,大致地说,美国 30年期长期国债收益率在期权到期日如果高于这个数字, 交易者赢利,反之,则亏损。

债券期权与利率期权
上例中三种可能的到期结算场景以及盈亏 结算价格=75>71.5 70<结算价格=71< 71.5 收益=(71-70) ×100×5-750=-250 结算价格≤70

收益=(75-70) ×100×5-750=1750

收益≤750

债券期权与利率期权
? 可以采用“价差交易”的办法,即通过同时买卖同种期权 来管理利率风险。 ? 例如,如果交易者预计美国30年期国债收益率会有一定 的上涨,他可以采取“出售价差”的策略,出售一个看跌 期权的同时,购买一个到期日相同,执行价格较低的看跌 期权。“出售价差”的目的是限制风险并取得收入。这一 策略的最大损失是两个执行价格的差额再减去销售价差的 收入。

债券期权与利率期权
? 例子:假如前例中的TYX的执行价格依然是70,市场普遍 预计国债30年期收益率将从7%上涨到7.5%。交易者销售 1张剩余期限3个月,执行价格为75的TYX看跌期权合约 (期权价格为4.75),同时购买1张同样剩余期限,执行 价格为70的TYX看跌期权合约(期权价格为1.25)。交易 者上述策略的收入是4.75×100-1.25×100=350。该策略 的最大亏损是(75-70)-(4.75- 1.25)=1.5,即最大损失是 1.5×100=150。该策略的盈亏平衡点是71.5。

债券期权与利率期权
结算价格 =67.5<70(对 应收益率 6.75%) 70<结算价格 =70.5<71.5 (对应收益率 7.05%) 71.5<结算价 格=74.5<75 (对应收益率 7.45%) 75<结算价 格=76 (对应收益 率7.6%)

期权空头收 期权空头收益= 益=(67-75) (70.5-75) ×100=-750 ×100=-450
期权多头收 期权多头收益 益=(70-67.5)=0 ×100=250 净收益=500+350=净收益=450+350=-100

期权空头收益 期权空头收 =(74.5-75) 益=0 ×100=-50
期权多头收益 期权多头收 =0 益=0 净收益=50+350=300 净收益=350

债券期权与利率期权
? 上表显示,出售价差策略的最大损失是150,随 着结算价格的上涨(长期国债利率的上涨)策略 的净收益开始上升,最后当结算价格很高时(大 于75),策略实现了最大的利润350。出售价差 策略属于比较温和的策略,通过主动放弃一部分 高风险收益,来获得安全有限的收益,这与单纯 购买或者出售期权有所不同。

债券期权与利率期权
? 债券期权大多数属于欧式期权,因此其定价可以参照欧式 期权定价公式来进行。 ? 如果债券期权是以债券的收益率期权为表现形式的,则可 以先根据债券价格和到期收益率之间的换算公式换算除债 券价格,再利用欧式期权定价公式计算。

债券期权与利率期权
c ? P(0, T )[ FB N (d1 ) ? KN (d 2 )] p ? P(0, T )[ KN (?d 2 ) ? FB N (?d1 )] d1 ?
2 ln( FB / K ) ? ? B T / 2

B0 ? I FB ? P(0, T )

?B T

, d 2 ? d1 ? ? B T

c和p分别代表欧式看涨期权和欧式看跌期权,P(0,T)代表 期权有效期间的贴现因子,K代表执行价格(可以为全价执行 价格,也可以是净价执行价格。前者意味着不考虑累计利息, 而后者意味着计算累计利息),T代表期权有效期,?B代表债 券价格未来(期权到期时的)波动率,FB代表债券在期权到期 日时的价格 。这里B0代表债券当前价格,I代表期权有效期间 债券发放的票息的贴现值。

债券期权与利率期权
? 例子:试计算欧式债券看涨期权的价值。该欧式债券看涨 期权有效期9个月,基础资产为面值1000美元,剩余期限 为9.75年,票息率为5.6%(1年付息2次)的美国国债, 当前债券的价格(全价)为920美元。期权执行价格为 1000美元,9个月的无风险利率为6.5%,债券价格9个月 以后的年波动率为9%。预计将在2个月和8个月后分别收 到两笔28美元的利息,假设2个月的无风险利率为4%,8 个月的无风险利率为6%,那么这两笔利息的现值是
I ? 28e ?1 / 6?0.04 ? 28e ?2 / 3?0.06 ? 54.72

? 债券在期权到期时的价格为
FB ? (920 ? 54.72)e 0.065?0.75 ? 908 .51

债券期权与利率期权
? P(0,T)=0.9524。本例中“期权执行价格为1000美元” 有两种理解:一是理解为全价执行价格,直接代入公式计 算即可。还有一种理解为净价执行价格,此时必须计算期 权到期时已经累计起来的利息,所以 K=1000+28?0.16667=1004.67。则将这些数字期权定价 公式。可以分别计算出两种情况下看涨期权的价值是 12.11美元和11.00美元。

债券期权与利率期权
? 利率上限与利率下限 ? 利率上限与利率下限都属于“利率期权”,即期 权的标的物是利率。由于债券很大程度上也可以 看作是利率衍生物,所以利率期权可以看作是债 券的衍生品中的一类。

债券期权与利率期权
? 合约的特点 ? 利率上限是这买卖双方达成的一项协议,该协议规定买方支付了一笔 费用之后,有权从卖方那里获取由实际利率超过上限利率引起的利息 支付。

债券期权与利率期权
? 例如,某借款人(利率上限的买方)打算按照LIBOR利 率借款100000元,期限3年,LIBOR利率每半年重设一次。 假设该借款人希望支付的最大年利率为4%,他可以考虑 购买上限利率为4%的利率上限。如果购买利率上限后, LIBOR利率下一期上涨到了5%,则他能够从利率上限的 卖方那里获取的利息为:100000?(5%-4%)?0.5=500 (元)。如果又过了一期,LIBOR利率为3%,则买方从 卖方那里获取的利息为零。

债券期权与利率期权

5% 5% 4% 3%

3%

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

一个假设的3年期利率上限合约。

债券期权与利率期权
? 定价
? 利率上限的价格,是各个子期限期权价格的总和。所以, 定价问题就是求得各个子期限看涨期权的价格问题。令L 为合约面值,合约期限为T,R*为上限利率,利率重设日 为t1,t2,…,tn-1,tn,tn+1=T。令Rk为(tk,tk+1)期间的市场 利率,1?k?n。那么在tk+1时刻买方得到的支付是一个看 涨期权在tk+1时刻的价格

L? k max( Rk ? R * ,0)

? k ? (t k , t k ?1 )

债券期权与利率期权
? 若Rk服从对数正态分布(期权定价模型的前提条件), 其波动率是?k,则一个子期间看涨期权的价格是 L? k P(0, t k ?1 )[ Fk N (d1 ) ? R ? N (d 2 )]
d1 ? d2 ? ln( Fk / R ? ) ? ? k2 t k / 2

? k tk
ln( Fk / R ? ) ? ? k2 t k / 2

? k tk

? d1 ? ? k t k

? 其中Fk是(tk,tk+1)期间的远期利率,P(0,tk+1)是 (0,tk+1)期间的贴现因子。相应地,这个子期间利率下 L? k P(0, t k ?1 )[ R ? N (?d 2 ) ? Fk N (?d1 )] 限的期权价格为

债券期权与利率期权
? 例子:某利率上限的本金金额为10000,上限利率为6% (1年支付2次),合约生效已经过了一年,利率重设期 为6个月,参考利率为LIBOR。假设LIBOR互换利率期限 结构为水平形状,为5%(1年支付2次),3个月远期利 率的波动率为10%,所有期限的连续复利率为5.5394%。 根据上述公式,Fk=0.05,?k=0.1,L=10000,R*=0.06, tk,=1,tk+1=1.5,P(0,tk+1)=exp(0.055394?0.5)=0.9727,?k=0.5。

债券期权与利率期权

ln(0.06 / 0.05) ? 0.12 ? 1 / 2 d1 ? ? ?1.7732 0.1 ? 1 d 2 ? d1 ? 0.1 ? ?1.8732
而这个子期间看涨期权的价格就是
0.5 ?10000 ? 0.9727[0.05 N (?1.7732 ) ? 0.06 N (?1.8732 )] ? 1.1563

把每个子期间的期权的价值相加总, 就得到了整个利率上限的价值。


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