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高中数学课件:第一章 1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球


读教材·填要点
课前预习·巧设计

第 一 章 立 体 几 何 初 步

1.1.3 1.1

小问题·大思维

考点一 圆柱 考点二
名师课堂·一点通

空 间 几 何 体

、圆

考点三 考点四 解题高手
NO.1课堂强化

锥、
圆台 和球
创新演练·大冲关

No.2课下检测

[读教材·填要点]
1.圆柱、圆锥、圆台和球的概念
名 称 结构特征 相关概念 图 形

以 矩形的一边 所

(1)轴:旋转轴叫做所围成的几 何体的轴;(2)高:在 旋转轴 上
这条边的长度



在的直线为旋转

轴,将矩形旋转

一周而形成的 柱 曲面 所围成的几

(3)底面:垂直于 轴 的边旋转而 成的 圆面
(4)侧面:不垂直于轴 的边旋转 而成的曲面; (5)母线:无论转到什么位置 这条边 都叫作侧面的母线

何体叫作圆柱

名 称

结构特征

相关概念 (1)轴:旋转轴叫做所围成的





以直角三角形的 几何体的轴;(2)高:在 旋转

一条直角边 所 轴 上这条边的长度 在的直线为旋转 (3)底面:垂直于 轴 的边旋 圆 轴,将直角三角 转而成的 圆面
锥 形旋转一周而形 (4)侧面:不垂直于轴 的边 成的 曲面 所围 圆锥 旋转而成的曲面 置,这条边 都叫作侧面的母 线

成的几何体叫作 (5)母线:无论转到什么位

名 称

结构特征 以直角梯形 垂

相关概念 (1)轴:旋转轴叫做所围成的





几何体的轴;(2)高:在 旋转 直于底边的腰 轴 上这条边的长度 所在的直线为 (3)底面:垂直于 轴 的边旋 圆 旋转轴,将直 转而成的 圆面 台 角梯形旋转一 不垂直于轴 的边旋 (4)侧面: 周而形成的 曲 转而成的曲面 面 所围成的几 (5)母线:无论转到什么位置 何体叫作圆台 ,这条边都叫作侧面的母线

名 称

结构特征

相关概念

图形

以半圆的 直径 所在 的直线为 旋转轴, 将半圆旋 转一周所 球 形成的 曲 面 叫做球 面,球面 所围成的 几何体叫 作球体, 简称球

(1)球心:半圆的 圆心 (2)球的半径:连接球心和球面上任意一点的 线段 (3)球的直径:连接球面上两点并且过 球心 的线段. (4)球面的集合定义:球面可以看作空间中 到一个定 点 的距离等于 定长的点的集合 (5)大圆与小圆:球面被 经过球心的 平面截得的圆叫 做球的大圆;被 不经过球心 的平面截得的圆叫做球 的小圆 (6)球面距离:在球面上两点之间的最短距离就是经 过这两点的 大圆 在这两点间的一段 劣弧 的长度. (7)一个公式:球小圆的圆心O′,球心O,|OO′|= d,球小圆半径r,球半径为R,则d2=R2-r2

2.旋转体

由一个平面图形绕着一条直线旋转而产生的曲面围
成的几何体叫旋转体.圆柱、圆锥、圆台、球等都属于 旋转体. 3.组合体 由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成的几何体

叫组合体.

[小问题·大思维] 1.若将矩形绕某一条直线旋转而形成圆柱,则这条直线

如何确定?
提示:圆柱是由矩形绕其一边旋转一周而形成的曲面 所围成的几何体,除此之外,还可以将矩形绕其两对 边的中点连线旋转半周得到圆柱. 2.垂直于圆柱的轴的截面有什么特点?

提示:垂直于圆柱的轴的截面是与底面平行且相等的圆.

3.圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是什么样的图形?
提示:矩形、等腰三角形、等腰梯形. 4.任意一个圆柱、圆锥、圆台去掉两个底面,沿任意一条 母线剪开,展开各是什么图形? 提示:矩形,扇形,扇环.

5.若将等腰三角形绕某一条直线旋转而形成圆锥,则这条
直线如何确定? 提示:圆锥是由直角三角形绕其一条直角边旋转一周而 形成的曲面所围成的几何体,除此之外,还可以将等腰 三角形绕底边上的中线所在直线旋转半周而形成圆锥.

6.若将等腰梯形绕某一条直线旋转而形成圆台,则这条

直线如何确定?
提示:圆台可以看作是由等腰梯形绕其对称轴旋转半 周得到的. 7.半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周形成的几何体 是球吗? 提示:不是.是球面. 8.多面体与旋转体的主要区别是什么?

提示:多面体是由多个多边形围成的几何体,旋转体
是由平面图形绕轴旋转而形成的几何体.

9.圆柱、圆锥、圆台之间有什么联系?一般的柱体、锥体、

台体呢?
提示:圆柱、圆锥、圆台都是旋转体,当圆台的一个底 面变为与另一个底面同样大时,圆台变为圆柱;当圆台 的一个底面缩为一个点时,圆台变为圆锥. 对于一般的柱体、锥体、台体之间的联系如下:

[研一题] [例1] 下列叙述正确的个数是 ( )

①以直角三角形的一边所在的直线为轴旋转所得到的

旋转体是圆锥;
②以直角梯形的一腰所在的直线为轴旋转所得到的几 何体是圆台; ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆; ④用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.

A.0 C.2

B.1 D.3

[自主解答]

①应以直角三角形

的一条直角边所在直线为旋转轴旋 转才可得到圆锥,以直角三角形的 斜边所在直线为旋转轴旋转得到的 几何体为两个同底的圆锥连在一起的几何体,如图1, 故①错;②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为旋

转轴旋转可得到圆台,以直角梯形的不垂直于底的腰所
在直线为旋转轴旋转得到的几何体为一个圆台一侧挖去 一个同上底的圆锥,另一侧补上一个同下底的圆锥,如 图2,故②错;③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面, 而不是圆,故③错;④用平行于圆锥底面的平面去截圆 锥,可得到一个圆锥和一个圆台,用不平行于圆锥底面 的平面不能得到,故④错.故选A.

[答案] A

[悟一法]
对旋转体定义的理解要准确,认清不同几何体的旋

转轴,截面的作用有所不同.判断时要抓住几何体的结
构特征,认真分析,对比判断.球与球面是完全不同的 两个概念,球是几何体,而球面是曲面.

[通一类] 1.下列说法中正确的个数是 ( )

①半圆弧以其直径为轴旋转所成的曲面叫球; ②空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合叫

球面;
③球面和球是同一个概念; ④经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆. A.1 C.3 B.2 D.4

解析:半圆弧以其直径为轴旋转所成的曲面叫球面,球

面围成的几何体,叫球,①不正确;②正确;球面和球
是两个不同的概念,③错误;若球面上不同的两点恰好 为最大的圆的直径的端点,则过此两点的大圆有无数个, 故④错误. 答案:A

[研一题]

[例2]

一个圆锥的高为2cm,母线与轴的夹角为30°,

求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积. [自主解答] 画出圆锥的轴截面.

如图,设圆锥SO的底面直径为AB, SO为高,SA为母线, 则∠ASO=30°.在Rt△SOA中,

2 3 AO=SO· tan30° 3 (cm). = SO 2 4 3 SA=cos30° = = 3 (cm). 3 2 1 4 3 ∴S△ASB=2SO· 2AO= 3 (cm2). 4 3 ∴圆锥的母线长为 3 cm, 4 3 圆锥的轴截面的面积为 3 cm2.

[悟一法]

(1)圆柱、圆锥、圆台的轴截面将其母线、高、上下
底面半径有机地结合在一起,充分利用轴截面可进行相 关元素间的计算. (2)在研究和处理旋转体的相关问题时,通常作出几 何体的轴截面,如圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩 形、等腰三角形、等腰梯形,这些轴截面集中反映了旋 转体的各主要元素.

[通一类] 2.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面半径之比 为1∶4,母线长是10 cm,求圆锥的母线长.
解:设圆锥的母线长为 y cm,圆台上、下底面半 径分别为 x cm, cm, 4x 作圆锥的轴截面如图所示: 在 Rt△SOA 中,O′A′∥OA, ∴SA′∶SA=O′A′∶OA. 即(y-10)∶y=x∶4x, 1 解得:y=133, 1 ∴母线长为 133 cm.

[研一题]

[例3]

观察下列几何体,分析它们是由哪些基本几

何体组成的,并说出主要结构特征.

[自主解答]

图①是由长方体及四棱锥组合而成的,

图②是由球、棱柱、棱台组合而成的. [悟一法] 组合体的结构特征有两种组成 (1)是由简单几何体拼接而成;

(2)是由简单几何体截去或挖去一部分构成.要仔细
观察组合体的组成,柱、锥、台、球是最基本的几何体.

[通一类] 3.指出图中的两个奖杯分别是由怎样的几何体组成的.

解:图①是由两个圆柱,一个圆台组合而成的; 图②是由一个圆锥,一个圆柱,一个圆台组合而成的.

[研一题] [例4] 地球半径为R,在北纬30°的圆上,A点经度

为东经120°,B点的经度为西经60°,则A、B两点的球

面距离是多少? [自主解答] ∵点A、B都在北纬30°的圆上,A点
经度为东经120°,B点的经度为西经60°,

∴A、B两点的连线是30°纬线圆的直径,
设球心为O,小圆的圆心为O1,

过 B 作 BE 垂直于赤道平面于 E, 则∠BOE=30° . ∵OO1 垂直于赤道面, ∴∠O1OB=60° , ∴∠AOB=120° ,

? =2πR. ∴过点 A、B 的球大圆的劣弧长 AB
3 2π 即 A、B 两点的球面距离为 R. 3

[悟一法] 要求A、B两点的球面距离,需求出过A、B两点的大 圆劣弧所对的圆心角,因此需要通过角的转化求出∠AOB 的大小.

[通一类] 4.设地球半径为 R,若甲地位于北纬 45° ,东经 120° ,乙 地位于南纬 75° ,东经 120° ,则甲、乙两地的球面距离 为 A. 3R 5π C. 6 R π B.6R 2π D. 3 R ( )

解析:由题意可知甲、乙两地在同一经线圈上,南北跨度 120° 2π 为 45° +75° =120° ,则两地球面距离为 2πR· = 3 R. 360°

答案:D

已知球的两个截面的面积分别为5π和8π,它们位于
球心的同一侧,且相距为1,求球的半径.
[解] 如图所示,作出球的一个大圆.

法一:设球的半径为 R,截面圆半径为 r1,r2,由于两
2 截面的面积分别为 5π 和 8π,∴5π=πr2,8π=πr2, 1

∴r2=5,r2=8, 1 2 由两截面距离为 1 得 1= R2-r2- R2-r2 1 2 = R2-5- R2-8,解得 R=3.

法二:设球的半径为 R,截面圆半径为 r1,r2,OO2=x, 由法一知 r2=5,r2=8, 1 2
??1+x?2=R2-5, ? ∴? 2 ?x =R2-8 ?



两式相减得 x=1.∴R2=9,即 R=3.


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