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高中数学竞赛训练六


数学竞赛训练六
一、选择题 1. 一条直线与一个直二面角的两个面所成的角分别是 ? 1 和 ? 2 ,则有 A. ?1 ? ? 2 ? 90? B. ( D. )

?1 ? ? 2 ? 90?

C.

?1 ? ? 2 ? 90?

?1 ? ? 2 ? 90?

2. 设 P 是圆 C 内的一点但不同于圆心,过点 P 作圆 C 的所有弦,则这些弦的中点的轨迹 是 ( ) A.一个圆 B.一个椭圆 C.除去一点的一个圆 D.除去一点的一个椭圆 3. 设 ?an ? ( n ? 1) 是公差小于 0 的等差数列, 前 n 项的和记为 S n , 则有 A. nan ? S n ? na1 B. na1 ? S n ? nan C. S n ? S n?1 D. S n ? S n?1 ( D.直线 ( ) ) ( )

4. 方程 2 x 2 ? 2 y 2 ? x ? 3 y ? 1 ? 0 所表示的曲线是 A.圆 5. B.椭圆 C.双曲线

x 、 y , z 均为正数,是不等式 x 3 ? y 3 ? z 3 ? 3xyz 成立的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.不充分不必要条件 6. 直角三角形的三边长都是整数且成等差数列, 则其中一边的长可能是 ( ) A. 71 B. 81 C. 91 D. 101 7. 如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则其离心率为 ( ) A. 8.

3 4
2

B.

2 3

C.

则实数 a 的值是 y ? log1 ( x 2 ? ax ? a) 的递增区间是 ? ?,1 ? 3 , B. 2 ? 2 3 或 1 ? 3 C. 2 或 2 ? 2 3

?

3 5

D.

?

9 10
( D. 2 或 2 ? 3 )

A. 2 或 1 ? 3 9. 设复数 z 使得

z 10 及 的实部和虚部的绝对值均是小于 1 的正数,若 z 在复平面内对应 10 z 的点的集合是图形 C , 则 C 的面积是 ( ) 25 25 ? ? A. 100 B. 75 ? C. 75 ? D. 100 ? 2 4
10. 方程组 ? A. 6 组 二、填空题

? xz ? 2 yt ? 3 的整数解 ?x, y, z, t ?共有 ? xt ? yz ? 1
B. 5 组 C. 4 组 D. 2 组





1. 定义在实数集上的函数 f ( x) 满足 f ? x ? 是 ;

? ?

1? 1 2 ,则 f ( x) 的表达式 ?? x ? 2 (x ? 0) x? x

2. 方程 arctan 3. 不等式

x( x ? 1) ? arcsin

x2 ? x ?1 ?

?
2

的解是



1 1 ? 的解集是 2 ? 1 1 ? 2 x ?1
x

; ;

4. 满足 z ? i ? z ? i ? 2 的复数 z ,在复平面上对应的点的轨迹是 5. 在

?

5

3?3 5

?

100

展开式中,共有

个项为有理项; ;

6. 方程组 ?

?x 2 ? y 2 ? z 有唯一的一组实数解 ?x, y, z ? ,则 a 的值为 ?x ? y ? z ? a

7. 三棱锥 P ? ABC 的侧面和底面都成 45 ? 角,?ABC 的一个内角 B ? 60? ,两边 a 、c 是 方程 3x ? 27x ? 32 ? 0 的两根,则此三棱锥的高是
2

; ; ;

8. 设 x 、 y 为实数,则 cos(x ? y) ? 2 cos x ? 2 cos y 的最小值为

9. 递增的正整数数列 ?an ? 满足 a7 ? 120,并且 an?2 ? an ? an?1 ,则 a8 的值是

10. 设 f ( x) ? x 4 ? ax3 ? bx2 ? cx ? d ,其中 a 、 b 、 c 、 d 为实常数,如果 f (1) ? 10 ,

f (2) ? 20 , f (3) ? 30 ,则 f (10) ? f (?6) 的值为




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