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广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题


绝密★启用前

试卷类型:A

2013 年深圳市高三年级第二次调研考试 数学(理科)
本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名和考生号填写 在答题卡指定位置上.用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上,将 条形

码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处” . 2. 选择题每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使

2013.4

4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、

参考公式:锥体体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高. 3
P( AB) ? P( A) P( B | A) .

如果在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的条件概率记为 P( B | A) ,那么

一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. i 为虚数单位,则 i ? 等于 A.0 B. 2i C. 1 ? i D. ? 1 ? i

1 i

2.已知集合 A ? {0 , 1} ,则满足条件 A ? B ? {2 , 0 , 1 , 3} 的集合 B 共有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

2013 年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)试题



5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回.



错涂、多涂的答案无效.

资 源



用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

第1页 共6页

3.下列四个函数中,既是定义域上的奇函数又在区间 内单调递增的是 ( 0, 1 ) A. y ?

x

B. y ? e ? e
x

?x

C. y ? x sin x

D. y ? lg

1? x 1? x

4.一支田径队有男运动员 56 人,女运动员 42 人,若用分层抽样的方法从全体运动员中 抽出一个容量为 28 的样本,则样本中女运动员的人数为 A.9 5.已知双曲线 B.10 C.11 D.12

x2 y2 ? ? 1 的渐近线方程为 y ? ? 3x ,则以它的顶点为焦点,焦点为 a 2 b2
2 2 3 2
y y ? cos x
O

顶点的椭圆的离心率等于 A.

1 2

B.

C.

D.1

6.已知 x ? R ,则 x ? 1 是 | x ? 1 | ? | x ? 1 |? 2 | x | 的 A.充分非必要条件 C.充要条件 B.必要非充分条件



D.既非充分也非必要条件

y ? sin x

7.由曲线 y ? sin x , y ? cos x 与直线 x ? 0 , x ?



π 2

资 源

π 2

x

A.1

B.
2

π 4
3 4



所围成的平面图形(图 1 中的阴影部分)的面积是 C.

图1

2 2 3
5

D. 2 2 ? 2
2

8.在 1 ? (1 ? x) ? (1 ? x) ? (1 ? x) ? (1 ? x) ? (1 ? x) 的展开式中,含 x 项的系数是 A.10 B.15 C.20 D.25

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题, 每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题:第 9、10、11、12、13 题为必做题.
正视图 侧视图
1 2

1 1

9.某简单组合体的三视图如图 2,其中正视图与 侧视图相同(尺寸如图,单位:cm) ,则该组 合体的体积是 cm3(结果保留 ? ) .
俯视图

图2

2013 年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)试题

第2页 共6页

10.若直线 y ? kx 与曲线 y ? ln x 相切,则 k ? 11.执行图 3 中程序框图表示的算法,其输出的结果



开始

s ? 0 , t ? 1, n ? 0

s为



(注:框图中的“=” ,即为“←”或为“: =” ) 12.已知向量 a ? (1 , ? 2) , M 是平面区域

s ? s ? t ? 2n

t ? 1? t n ? n ?1


n ? 8?


?x ? 0 , y ? 0 ? ?x ? y ? 1 ? 0 ?2 x ? y ? 4 ? 0 ?
内的动点, O 是坐标原点,则 a ? OM 的最小值是 .

输出s

结束

图3

13.在 n ? n 的方格中进行跳棋游戏.规定每跳一步只能向左,或向右,或向上,不能向 下,且一次连续行走的路径中不能重复经过同一小方格.

“☆”位置结束的所有不同路径的条数.如图 4,给出了





n ? 3 时的一条路径.则

资 源



设 f (n) 表示从左下角“○”位置开始,连续跳到右上角



f (3) ?

; f (n) ?




图4

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能从中选做一题. 14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中, 圆 ? ? 3 cos ? 上的点到直线 ? cos(? ? 15. (几何证明选讲选做题) 如图 5, P 是圆 O 外一点, PT 为切线, T 为切点, 割线 PAB 经过圆心 O , PT ? 2 3 , PB ? 6 , 则 ?PTA ? .
图5

?
3

) ? 1 的距离的最大值是



T

P

A

O

?

B

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第3页 共6页

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. (本小题满分 12 分) 16. 已知△ ABC 中, a 、 b 、 c 分别为角 A 、 B 、 C 的对边, sin ( 2C ? ) ? 且a ?b ?c .
2 2 2

? 2

1 , 2

(1)求角 C 的大小; (2)求

a?b 的取值范围. c

(本小题满分 12 分) 17.

作是指“从箱中随机取出一个球,如果取出的是红球,则把它放回箱中;如果取出的是白 球,则该球不放回,并另补一个红球放到箱中. ” (1)求进行第二次操作后,箱中红球个数为 4 的概率; (2)求进行第二次操作后,箱中红球个数的分布列和数学期望.

2013 年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)试题



一个箱中原来装有大小相同的 5 个球,其中 3 个红球,2 个白球.规定:进行一次操



资 源



第4页 共6页

18. (本小题满分 14 分) 如图 6,已知四边形 ABCD 是矩形, AB ? 2BC ? 2 ,三角形 PAB 是正三角形,且 平面 ABCD ? 平面 PCD . (1)若 O 是 CD 的中点,证明: BO ? PA ; (2)求二面角 B ? PA ? D 的余弦值.

A

B
O

D

P

C

已知数列 {an } , {bn } 满足: a1 ? 0 , b1 ? 2013 ,且对任意的正整数 n , a n , an ?1 ,

bn 和 an ?1 , bn ?1 , bn 均成等差数列.
(1)求 a 2 , b2 的值; (2)证明: {a n ? bn } 和 {an ? 2bn } 均成等比数列; (3)是否存在唯一的正整数 c ,使得 an ? c ? bn 恒成立?证明你的结论.

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(本小题满分 14 分) 19.

资 源



图6

第5页 共6页

20. (本小题满分 14 分) 的距离与到直线 y ? 4 的距离之和为 5. 已知动点 M 到点 F( 0 ,1 ) (1)求动点 M 的轨迹 E 的方程,并画出图形; (2)若直线 l : y ? x ? m 与轨迹 E 有两个不同的公共点 A 、 B ,求 m 的取值范围; (3)在(2)的条件下,求弦长 | AB | 的最大值.
y 8
7 6
5

4
3

y?4

2 1 F (0 , 1)
? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 O ?1

1

2

3

4

5

x



资 源

?2

定义 ? ( x , y)=|e ? y | ? y | x ? ln y | ,其中 x ? R , y ? R ? .
x

(1)设 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ? ( x , a) ,试判断 f ( x) 在定义域内零点的个数; (2)设 0 ? a ? b ,函数 F ( x) ? ? ( x , a) ? ? ( x , b) ,求 F ( x) 的最小值; (3)记(2)中的最小值为 T (a , b) ,若 {an } 是各项均为正数的单调递增数列, 证明:
n

? T (a , a
i ?1 i

i ?1

) ? (a n?1 ? a1 ) ln 2 .

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(本小题满分 14 分) 21.



图7

第6页 共6页


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